Exemplos de Problemas de Controle de Topologia

Nesta seção, apresentaremos dois exemplos de problemas de controle de topologia: Topologia de Energia Mínima e Subgrafo de Difusão de Consumo Mínimo de Energia.

Topologia de Energia Mínima - Minimum Energy Topology

Conectividade é um dos requisitos básicos para o funcionamento de uma rede. As necessidades de conexão, no entanto, podem diferir dependendo da aplicação. Pode- se, por exemplo, desejar que a conexão entre cada par de nós seja simétrica, ou seja, se um nó u pode receber mensagens de um nó v, então v deve também poder receber mensagens de u. Desta forma, pode-se desejar que o grafo que representa a rede seja conexo (quando se assumem grafos não direcionados) ou fortemente conexo (quando se assumem grafos direcionados). Pode-se desejar também que a rede seja k-conexa, ou seja, que existam k caminhos disjuntos (em vértices) entre cada par de nós.

Os problemas de controle de topologia relacionados a estes requisitos são, portanto, determinar a menor potência associada a cada nó de forma a que o requisito seja aten- dido. Os parâmetros de otimização podem ser distintos, como, por exemplo, minização de grau de cada nó e minimização do gasto de energia total induzido pela topologia.

O problema de se obter um subgrafo conexo ou fortemente conexo com minimi- zação de energia é chamado de Topologia de Energia Mínima (CHENG et al., 2003).

Seja G = (V, E) um grafo ponderado. Seja r : V → R+uma função de atribuição de raio de alcance (range) a cada nó de V . O problema Topologia de Energia Mínima consiste em se encontrar um subgrafo H = (V, E0) de G (E0 ⊆ E), induzido por r, que seja conexo (no caso de o grafo G ser não direcionado) ou fortemente conexo (no caso de G ser direcionado) e que minimizeP

v∈V r(v). Este problema é NP-Difícil, tanto para grafos direcionados (CLEMENTI; PENNA; SILVESTRI, 1999) como para não direcionados (CHENG et al., 2003).

Para o caso de grafos não direcionados e pesos de arestas definidas como t.d(u, v)α, em que t é uma constante real, d(u, v) é a distância euclidiana entre dois nós u e v e α é um valor natural, uma definição de potência obtida a partir do cálculo de uma árvore de cobertura de custo mínimo (MST, do inglês Minimum Spanning Tree) tem uma razão de aproximação de 2 (CHENG et al., 2003). Ou seja, a soma dos custos associados a uma solução para o problema a partir do cálculo de uma MST é menor ou igual a duas vezes a soma das potências dos nós atribuídas por uma solução ótima.

Subgrafo de Difusão de Consumo Mínimo de Energia - Minimum Energy Consumption Broadcast Subgraph (MECBS)

Diferentes enfoques para o problema de difusão (broadcasting) com eficiência energé- tica em redes sem fio já foram propostos. Este problema consiste em, dado um nó fonte s, determinar uma potência de transmissão para cada nó da rede, de modo que: (a) a topologia resultante contenha uma árvore de cobertura com raiz em s; e (b) a soma dos custos associados aos nós seja minimizada.

Este problema foi formulado como o problema Subgrafo de Difusão de Consumo Mínimo de Energia(MECBS, do inglês Minimum Energy Consumption Broadcast Sub- graph) (CLEMENTI et al., 2001a). Seja G = (V, E) um grafo direcionado ponderado com função de custo das arestas w : E → R+_{. Uma atribuição de alcance (range} assignment) para G é uma função r : V → R+. O grafo de transmissão induzido por G e r é definido como Gr= (V, E0), onde:

E0 = ∪v∈V{(v, u) : (v, u) ∈ E ∧ w(v, u) ≤ r(v)}

O MECBS é então definido como se segue: dado um nó fonte s ∈ V , encontre uma atribuição de alcance r para G tal que Grcontenha uma árvore de cobertura direcionada sobre G com raiz em s e tal que cost(r) =P

v∈V r(v) seja minimizado.

O MECBS é um problema NP-Difícil (CLEMENTI et al., 2001a) e tem sido exten- samente estudado. Entretanto, a maioria dos trabalhos se concentra em versões do pro- blema com custos de arestas simétricos (w(u, v) = w(v, u)). Algoritmos centraliza-

dos (e.g., BIP (WIESELTHIER; NGUYEN; EPHREMIDES, 2002)), distribuídos mas não localizados (e.g., (GHOSH, 2008)) e localizados (RTCP e RBOP (CARTIGNY; SIMPLOT-RYL; STOJMENOVIC, 2003), LBOP, LBOP-T e RBOP-T (CARTIGNY et al., 2005), TR-LBOP e TRDS (INGELREST; SIMPLOT-RYL; STOJMENOVI ´C, 2006) e LBIP (INGELREST; SIMPLOT-RYL, 2008)) para versões específicas do pro- blema foram propostos. Em particular, BIP é um algoritmo de aproximação centrali- zado eficiente (INGELREST; SIMPLOT-RYL, 2008; CALAMONERI et al., 2008).

Algoritmos de aproximação também foram desenvolvidos para o caso de MECBS com custos assimétricos. Algoritmos centralizados foram propostos por Liang (2002), Calinescu e outros (2003) e Ghosh (2008). Os algoritmos apresentados por Calinescu e outros (2003) e Ghosh (2008) fornecem aproximações logarítmicas para o MECBS e melhoram a razão de aproximação do algoritmo apresentado por Liang (2002). O al- goritmo apresentado por Calinescu e outros (2003) fornece uma razão de aproximação de 2(ln(n − 1) + 1). O algoritmo apresentado por Ghosh melhora um pouco este resul- tado, obtendo uma razão de aproximação de 3/2(ln(n − 1) + 1). Não existe algoritmo que ofereça uma razão de aproximação que seja (1 − ) ln n para qualquer  > 0, a menos que P = N P (n denota o número de nós) (CLEMENTI et al., 2001b; WAN et al., 2002; CLEMENTI et al., 2001a). Portanto, estes algoritmos são assintoticamente ótimos.

Pelo que conhecemos, algoritmos distribuídos que consideram assimetria são so- mente os apresentados por Li e outros (2006), Ambühl e outros (2004) e Barboza e Assis (2011). Li e outros (2006) apresentam um algoritmo centralizado e um distri- buído para construir uma arborescência de difusão (broadcast) com atraso de trans- missão limitado. O algoritmo não é localizado (é baseado em algoritmos distribuídos para se calcularem caminhos de mínimo custo, árvores de cobertura direcionadas de custo mínimo e busca em profundidade). No algoritmo proposto por Ambühl e outros (2004), os custos das arestas são definidos como o resultado da multiplicação da potên- cia de transmissão pelo custo de energia unitário (energy unit cost), assim restringindo a forma como os custos das arestas podem ser diferentes. O algoritmo descrito (caso multidimensional, α > 1) também não é localizado.

Adicionalmente, Cagalj, Hubauxh e Enz (2002) definiram uma versão do problema com grafos direcionados e custos de arestas potencialmente assimétricos. No entanto, o algoritmo distribuído apresentado é baseado no algoritmo de árvore de cobertura de custo mínimo GHS, que assume grafos não direcionados (CORMEN et al., 2001). Ca- lamoneri e outros (2008) modelam os diferentes níveis de transmissão dos transcepto- res (em um ambiente homogêneo). Assimetria poderia ser modelada incluindo-se todos os níveis de transmissão de todos os dispositivos de rádio usados em uma determinada

rede. No entanto, o número de tais níveis seria muito grande se considerarmos, por exemplo, assimetria devido a custos de overhearing (a restrição de Θ(log(n/logn)) níveis assumida no artigo não se aplicaria no caso geral).

Por fim, Barboza e Assis (2011) descrevem um algoritmo localizado para o MECBS com custos assimétricos, chamado Localized algorithm for energy-efficient broadcast based onLocal Minimum Cost Arborescences (LMCA). O LMCA suporta maior flexi- bilidade na atribuição de custos das arestas do que o algoritmo proposto por Ambühl e outros (2004), em que custos de arestas que saem de um mesmo nó estão associados a um mesmo custo de energia unitário. Barboza e Assis (2011) descrevem também uma variação do LMCA baseada no cálculo localizado de arborescências de caminhos de custo mínimo, chamada de Localized algorithm for energy-efficient broadcast based on Local Minimum Cost Paths (LMCP). Nas simulações apresentadas no artigo, o LMCA obteve melhor desempenho.

CAPÍTULO

6

Desenvolvimento de Sistemas de