Exemplos

Como exemplo, apresentamos seis s´eries temporais geradas pelo m´etodo descrito e possuindo diferentes valores do expoente de Hurst assumidos a priori. Os valores de H foram escolhidos de forma a representar duas s´eries temporais apresentando anti-correla¸c˜ao, H = 0.1 e H = 0.3, uma s´erie completamente aleat´oria, sem correla¸c˜ao, portanto, H = 0.5, duas s´eries apresentando correla¸c˜ao positiva com H = 0.7 e H = 0.9.

Assim, como mostramos na se¸c˜ao 2.1.1, grande parte das s´eries temporais em econo- mia apresentam um comportamento do tipo f Bm, da mesma forma, s´eries temporais em sistemas astrof´ısicos, e em outros sistemas f´ısicos, apresentam um comportamento simi- lar relativo `as tendˆencias de longo prazo, como notado por Press (1978). Dessa forma, a

60 Cap´ıtulo 3. Descri¸c˜ao do simulador de ru´ıdo astrof´ısico

simula¸c˜ao de sinais que possuem caracter´ısticas semelhantes as encontradas em ru´ıdos as- trof´ısicos reais nos possibilitar˜ao uma melhor compreens˜ao a respeito dos fenˆomenos f´ısicos que lhes deram origem.

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E exatamente a possibilidade de compreendermos melhor esses fenˆomenos que nos im- pulsiona. Podemos, por exemplo, modelar o ru´ıdo detectado em s´eries temporais com trˆansito planet´ario e, assim, compreender o fenˆomeno do trˆansito por outra ´otica fora das t´ecnicas e procedimento convencionais amplamente encontrados na literatura da as- trof´ısica, por exemplo, a fun¸c˜ao de auto-correla¸c˜ao ou o periodograma Lomb-Scargle de Freitas et al. (2013). Vale lembrar que a modula¸c˜ao rotacional de estrelas tamb´em, assim como os processos de granula¸c˜ao e aqueles j´a citados na se¸c˜ao 2.3, podem ser realizados pelo mesmo princ´ıpio. Como dito acima, a Figura 3.8 apresenta o perfil temporal dos cinco diferentes sinais sint´eticos, cada qual contendo um n´ıvel distinto de autocorrela¸c˜ao quantificado pelo expoente de Hurst caracter´ıstico.

Figura 3.8: S´eries temporais para diferentes valores de H gerados a partir do simulador RAFH. Notemos as caracter´ısticas de n˜ao-estacionaridade presentes nesses tipos de ru´ıdos. Percebemos, tamb´em, que a tendˆencia de longo termo aumenta com o aumento do valor de H.

Se¸c˜ao 3.4. Descri¸c˜ao do simulador RAFH 61

Sendo o ru´ıdo Browniano fracion´ario formado por uma soma cumulativa de um processo Gaussiano, podemos gerar outras s´eries a partir da diferencia¸c˜ao dessas ´ultimas. Essas novas s´eries s˜ao os chamados ru´ıdos Gaussianos fracion´arios f Gn. (Mandelbrot, 1982) usou f Bm e f Gn para modelar processos estoc´asticos fractais. Neste contexto, apresentamos cinco s´eries temporais do tipo f Gn geradas a partir das s´eries presentes na Figura 3.9, respectivamente identificadas pelo valor de H indicado dentro da janela de cada gr´afico.

Figura 3.9: Ru´ıdo do tipo f Gn para diferentes valores de H. Aqui, fica expl´ıcita a diminui¸c˜ao das caracter´ısticas de n˜ao-estacionaridade e da tendˆencia de longo termo - salvo para o caso H = 0.9.

Cap´ıtulo

4

M´etodos para estimar o expoente de Hurst

Existem v´arios m´etodos para estimar o expoente de Hurst, por exemplo: (a) o espectro de potˆencia da transformada wavelet (Simonsen et al., 1998), (b) a an´alise R/S (Weron, 2002) e (c) o espectro do potˆencia da transformada de Fourier (Simonsen et al., 1998). Na presente disserta¸c˜ao, escolhemos usar os dois ´ultimos m´etodos por quest˜oes de simplicidade computacional. Um apanhado geral sobre os m´etodos empregados que usam o conceito de auto-similaridade pode ser encontrado em Gong et al. (2005).

4.1

Estimando H via an´alise R/S

O m´etodo que apresentaremos nesta se¸c˜ao foi primeiramente proposto por Mandelbrot e van Ness (1968), os quais, por sua vez, se basearam nas an´alises hidrol´ogicas realizadas por Hurst (1951). A descri¸c˜ao computacional do parˆametro H foi baseada no trabalho de Weron (2002) que ser´a analisado mais adiante.

Em astrof´ısica, a estat´ıstica R/S foi usada, com ˆexito consider´avel, recentemente em um estudo abrangente sobre as propriedades estat´ısticas de cintila¸c˜oes de raios-X para vari´aveis catacl´ısmicas com o intuito de associ´a-las a parˆametros f´ısicos (Anzolin et al., 2009). Esse trabalho caracterizou a cintila¸c˜ao de uma amostra de 97 curvas de luz de rais-X de diversos tipos de objetos atrav´es do telesc´opio espacial XM M − N ewton.

Antes de passarmos para a descri¸c˜ao deste m´etodo, sublinhamos que a grande des- vantagem da an´alise R/S ´e o fato de que nenhuma teoria de distribui¸c˜ao assint´otica foi derivada para o parˆametro de auto-similaridade H (Gong et al., 2005).

Se¸c˜ao 4.1. Estimando H via an´alise R/S 63

4.1.1 Descri¸c˜ao do m´etodo

A an´alise que retratamos come¸ca com a sele¸c˜ao de uma s´erie temporal de comprimento L e, em seguida, a subdividimos em d subs´eries de comprimentos n. Depois disso, para cada subs´erie m = 1, ..., d prosseguimos da seguinte forma:

• Encontramos a m´edia Em e o desvio padr˜ao Sm;

• Normalizamos os dados Zi,m subtraindo a m´edia Xi,m = Zi,m− Em para i = 1, ..., n;

• Criamos a s´erie temporal cumulativa Yi,m =

Pi

j=1Xj,m para i = 1, ..., n;

• Encontramos o intervalo Rm = maxY1,m, .., Yn,m − minY1,m, ..., Yn,m em cada

subs´erie;

• Redimensionamos o intervalo Rm/Sm para cada subs´erie e plotamos em fun¸c˜ao de

“n”.

Mandelbrot (1975) mostrou que a estat´ıstica R/S assintoticamente segue uma lei de potˆencia do tipo:

(R/S)n ∼ cnH. (4.1)

Dessa forma, o valor de H pode ser determinado executando-se uma simples regress˜ao linear ao longo de uma amostra,

log(R/S)n = log(c) + H log(n) (4.2)

Deste modo, podemos plotar (R/S)n contra n em um gr´afico log − log. Se o processo

for classificado como ru´ıdo branco, ent˜ao o coeficiente angular da aproxima¸c˜ao linear deve ser 0.5. Se o processo for persistente, ent˜ao o coeficiente angular encontrado deve ser maior que 0.5, em caso de anti-percistˆencia, por sua vez, devemos determinar um valor menor que 0.5.

Nesse contexto, determinando o coeficiente angular da aproxima¸c˜ao linear do gr´afico log − log, teremos uma estima¸c˜ao para o parˆametro H. Para valores realmente muito gran- des de N podemos esperar que o coeficiente angular convirja para H = 0.5 uma vez que a mem´oria entre dois pontes diminui quando a separa¸c˜ao entre eles fica infinitamente grande.