4.5 Fun¸c˜ ao resolvente para equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
4.5.1 Exemplos
A seguir obtemos a decomposi¸c˜ao por s´eries de Fourier para 3 casos.
1) Condi¸c˜oes de contorno f(0)=f(L)=0
Para esse caso temos que fixar os parˆametros κ = 0(ρ = 1), θ = 0, ϕ = 0 e dessa forma temos U dada por
U = 1 0 0 1 . (4.5.7)
Logo, a fun¸c˜ao resolvente possui a forma Φ(x, p) = 1
p Z x
0
sin [p(x − y))]f (y)dy +(pL)
2cos px
pω0
Z L
0
cos [p(L − y)]f (y)dy, (4.5.8) onde
ω0 = 2(pL)2sin pL. (4.5.9)
Se calcularmos agora a integral de Φ(x, p) em rela¸c˜ao a p por um contorno fechado C no plano complexo p 1 2πi I C Φ(x, p)2pdp, (4.5.10) sendo C o contorno fechado que cont´em todos esses p´olos, ou seja os ponto em que w0 = 0,
podemos aplicar a f´ormula de Cauchy e escrever f (x) =
N
X
n=0
Res(Φ(x, p)), (4.5.11) os p´olos nesse caso s˜ao dados por
pn =
nπ
L , (4.5.12)
e desse modo obtemos a decomposi¸c˜ao por senos ´e dada por f (x) = ∞ X n=1 sinnπx L 2 L Z L 0 sinnπy L f (y)dy. (4.5.13)
b) Condi¸c˜oes de contorno f ’(0)=f ’(L)=0.
Para esse caso temos que fixar os parˆametros κ = 0(ρ = 1), θ = π, ϕ = 0 e portanto U = − 1 0 0 1 . (4.5.14)
Al´em disso, temos Φ(x) = 1
p Z x
0
sin [p(x − y))]f (y)dy +2 sin px pω0
Z L
0
sin [p(L − y)]f (y)dy, (4.5.15) onde
ω0 = −2 sin pL, (4.5.16)
seguindo o procedimento utilizado no caso anterior e sabendo que para esse caso os p´olos s˜ao dados por
pn =
nπ
L , (4.5.17)
obtemos a decomposi¸c˜ao por cossenos dada por f (x) = 1 L Z L 0 f (y)dy + ∞ X n=1 cosnπx L 2 L Z L 0 cosnπy L f (y)dy. (4.5.18) c) Condi¸c˜oes de contorno peri´odicas
As condi¸c˜oes de contorno peri´odicas possuem a forma
f (0) = f (L), f0(0) = f0(L). (4.5.19) Para esse caso temos que fixar os parˆametros ρ = 0(κ = 1), θ = π2, η = −π2 e portanto
U = − 0 1 1 0 . (4.5.20)
A fun¸c˜ao resolvente ´e dada por Φ(x) = 1
p Z x
0
sin [p(x − y)]f (y)dy+ 1 2p
Z L 0
cos [p(x − y)] cot (pL
2 ) − sin [p(x − y)]
f (y)dy, onde
ω0 = 2pL(1 − cos pL), (4.5.21)
seguindo o procedimento utilizado no caso anterior e sabendo que para esse caso os p´olos s˜ao dados por
pn=
2nπ
obtemos a decomposi¸c˜ao por seno-cosseno dada por f (x) = 1 L Z L 0 f (y)dy + ∞ X n=1 cosnπx L 2 L Z L 0 cosnπy L f (y)dy + ∞ X n=1 sinnπx L 2 L Z L 0 sinnπy L f (y)dy. (4.5.23)
Cap´ıtulo 5
Conclus˜ao
Nesta monografia, utilizamos a teoria de von Neumann e determinamos os subes- pa¸cos e ´ındices de deficiˆencia e mostramos a existˆencia de uma fam´ılia quadri-param´etrica de extens˜oes auto-adjuntos do hamiltoniano de Schr¨odinger no intervalo finito. Foi cons- tru´ıda a fam´ılia de hamiltonianos de Schr¨odinger auto-adjuntos com o uso do formalismo AIM. Al´em disso, foi apresentado o esquema de prova da completeza dos conjuntos das autofun¸c˜oes de Schr¨odinger que ´e crucial para constru¸c˜ao de fun¸c˜oes de Green. Por fim, foram determinadas as fun¸c˜ao de Green para a equa¸c˜ao de Schr¨odinger para o caso com condi¸c˜oes de contorno auto-adjuntas arbitr´arias. Como verifica¸c˜ao desse resultado foram determinadas as s´eries de Fourier pelo conjuntos de autofun¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odin- ger para alguns casos frequentemente utilizados. A determina¸c˜ao das s´eries de Fourier foi feita atrav´es do m´etodo de integra¸c˜ao por contorno no plano complexo λ. Para efeito de compara¸c˜ao com resultados conhecidos, mostramos que, em condi¸c˜oes de contorno parti- culares, a forma geral da s´erie de Fourier ´e reduzida as habituais s´eries por cosseno, seno ou seno-cosseno. As fun¸c˜oes de Green apresentadas nesse trabalho podem ser utilizadas para resolver equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem n˜ao homogˆeneas com condi¸c˜oes de contorno n˜ao separadas, como por exemplos a equa¸c˜ao de Schr¨odinger.
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