A B
C
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes.
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas. 01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.
01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM. A B M C D
02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD.
03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes.
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.
A B M C D A B M C D A B M C D
Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Congruência de triângulos.
Exercícios complementares da aula 03.
B C
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes.
AM MC (L) M é ponto médio BM MD (L) M é ponto médio AMB CMD (A) OPV Pelo caso L.A.L. , tem-se D ABM D CDM (CQD)
AM MC (L) - dado do enunciado A C (A) - dado do enunciado
AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABM D CDM BM MD Portanto M é ponto médio de BD (CQD)
BM MD (L) - dado do enunciado A C (A) - dado do enunciado
AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ABM D CDM AB CD (CQD)
AM MC (L) - M é ponto médio de AC BM MD (L) - M é ponto médio de BD AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABM D CDM B D
Se B e D são ângulos alternos internos, então AB // CD (CQD)
CAB DAB (A) - AB é bissetriz ACB ADB (A) - dado do enunciado AB AB (L) - lado comum
Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ABC D ABD AC AD (CQD) A
A
B D C E
F
G
06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
A
B D E C
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC também é um triângulo isósceles.
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero. A B C F D E A B C D E
08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen- tes.
A
B D C E
F
G
06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
B D E C
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC também é um triângulo isósceles.
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero. A B C F D E A B C D E
08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen- tes. BD = CE do enunciado Portanto BD + DC = CE + DC BC = ED (L) conclusão acima AC = FD (L) do enunciado B = E = 90º (A) da figura Pelo caso especial, tem-se DABC = DFED
Os ângulos ACB e EDF são congruentes Então o triângulo DCG é isósceles (CQD)
AD AE (L) - triângulo isósceles BD CE (L) - dado do enunciado
BDA CEA (A) - o triângulo ADE é isósceles Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABD D ACE AB AC
Portanto o triângulo ABC é isósceles (CQD)
A
DAC BAE BAC DAE (Têm o mesmo incremento DAB) BAC DAE (A) - Resultado da análise acima
ABC ADE (A) - dado do enunciado AB AD - dado do enunciado Pelo caso A.L.A. , tem-se D ABC D ADE (CQD)
Se AF CE BD , então AD CF BE = (AC - AF) AF BD CE (L) - dado do enunciado
AD CF BE (L) - Resultado da análise acima A B C = 60º (A) - o triângulo ABC é equilátero Pelo caso L.A.L. , tem-se
D AFD D CEF D BDE FE ED DF Portanto o triângulo DEF é equilátero (CQD)
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.
A
B C
D E
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases.
A B
C D
E F
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango. A B C D M k k k k A B C D E F G H J K L M
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.
A
B C
D E
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases.
A B
C D
E F
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango. A B C D M k k k k A B C D E F G H J K L M
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
Nos triângulos ABM e ADM, tem-se AB AD (L) losango
AM AM (L) lado comum
BM MD (L) o losango é um paralelogramo Pelo caso L.L.L. , tem-se
D ABM D ADM
Se os ângulos BAM e DAM são congruentes, então AM é bissetriz. Se AMB AMD e BMD = 180º, então AMB = AMD = 90º (CQD)
a 90 - a a
LEJ MEK (A) - propriedade dos triângulos EJ EK (l) - dado do enunciado
EJL EKM = 90º (A) - dado da figura Pelo caso A.L.A. , tem-se
D EJL D EKM (CQD)
F
Seja FC // AB
Sejam D, E e F pontos colineares AE EC (L) - E é ponto médio de AC ADE CFE (A) - ângulos alternos internos AED CEF (A) - ângulos opostos pelo vértice Pelo caso A.L.AO
.
, tem-seD ADE D CFE CF AD e DE EF Mas, AD DB porque D é ponto médio. Então AD BD CF
Se CF BD e CF // BD , então BCFD é um paralelogramo. BC DF e DE EF , entãoDE // BC e DE = BC / 2 (CQD)
G
BF FC (L) - F é ponto médio de BC ABF GCF (A) - ângulos alternos internos AFB CFG (A) - ângulos opostos pelo vértice Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABF D GCF AB CG e AF FC (F é ponto médio de BC). Então EF é base média do triângulo ADG.
Portanto, pela propriedade da base média do triângulo (exercício anterior) tem-se EF // DC // AB e EF AB + DC 2 DC + CG = 2 = (CQD)