Existˆ encia de solu¸ c˜ oes - CAMILA ISOTON CONDIÇÕES NECESSÁRIAS E SUFICIENTES DE OTIMALIDADE

O objetivo deste cap´ıtulo é garantir a existência de solu¸cões para o problema (MOP).

Para isto, vamos considerar o problema de otimiza¸cão multiobjetivo abstrato, isto é, cuja estrutura de ordena¸cão dos vetores do espa¸co R^p é mais geral que a compara¸cão de vetores ≤ e <, que utilizamos até aqui. Para tais problemas, consideraremos um resultado de existência de solu¸cões, o qual será particularizado para o problema (MOP).

Defini¸cão 6.1 Dizemos que uma rela¸cão binária ≺ em Y ⊂ R^p é uma rela¸cão de domina¸cão (ou rela¸cão de preferência) se é transitiva e não-reflexiva. Dados x, y ∈ Rp, se x y (ou, ainda y ≺ x) diremos que x domina y.

Defini¸cão 6.2 Seja ≺ uma rela¸cão de domina¸cão em Y. Diremos que y^∗ ∈ Y é um elemento eficiente de Y se não existe y ∈ Y tal que y ≺ y^∗. Denotamos E (Y, ≺) ao conjunto dos elementos eficientes de Y.

Consideremos agora o problema (MOP) formulado anteriormente.

Com esta terminologia, ter´ıamos Y = f (X) e, a rela¸cão de domina¸cão em Y será definida por:

y₁ = f (x₁) ≺ y₂ = f (x₂) ⇐⇒ y₁ ≤ y₂.

Além disto, se y^∗ = f (x^∗) é elemento eficiente de Y = f (X) então x^∗ é solu¸cão eficiente de (MOP). Neste caso, E (Y, ≺) = {y ∈ Rp : y = f (x^∗), x^∗ é solu¸cão eficiente de (MOP)}. Defini¸cão 6.3 Sejam Y ⊂ Rp e ≺ uma rela¸cão de domina¸cão em Y. A multiaplica¸cão

D : Y ⇒ R^p

y 7→ D(y) = {d ∈ R^p : y ≺ y + d} ∪ {0} ´e chamada estrutura de domina¸c˜ao em Y.

O conjunto dos elementos eficientes de Y, também pode ser denotado E (Y, D). Retornemos ao problema multiobjetivo (MOP). Neste caso, a estrutura de do-mina¸cão em Y = f (X) é rela¸cão de domina¸cão ≤, e dada por

D(y) = {d ∈ R^p : 0 ≤ d} ∪ {0} = R^p+.

Recordemos que: D ⊂ Rp é um cone se, para cada λ ∈ R, λ ≥ 0 temos λD ⊂ D. Se, além disto, tivermos D + D ⊂ D, o cone D é um cone convexo.

Um cone D ´e dito um cone ponteado se D ∩ (−D) = {0}. 39

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Figura 6.1: Cone Ponteado C

Particularmente interessantes s˜ao as estruturas de domina¸c˜ao em Y onde D(·) ≡ D (constante e igual a um cone em Y ).

Observa¸cão 10 Lembremos que a rela¸cão de ordem ≺ é assimétrica se, e somente se, ∀ x, y ∈ Y, x y ⇒ y 6 x.

Proposi¸cão 6.4 Suponha que a estrutura de domina¸cão em Y é D(·) ≡ D (constante) e que D é um cone em Y e que ≺ é a rela¸cão de ordem associada. Então:

(i) ≺ é assimétrica se, e somente se, D é ponteado; (ii) ≺ é transitiva se, e somente se, D é convexo. Demonstra¸cão.

(i) (⇒) Seja ≺ assimétrica e suponha, por contradi¸cão, que o cone D não é ponteado. Então, existe z 6= 0 tal que z, (−z) ∈ D. Assim, temos 0 z e 0 (−z). Sendo ≺ assimétrica z 6 0 e (−z) 6 0, implicando que 0 /∈ z + D e 0 /∈ (−z) + D, ou seja, z, (−z) /∈ D, o que é absurdo.

(⇐) Agora, sejam D um cone ponteado e x, y ∈ Y, x 6= y, x y. Ent˜ao, x ∈ y +D e, portanto, x − y ∈ D. Suponha por absurdo, que y x. Ent˜ao, y ∈ x + D, ou seja, y − x = −(x − y) ∈ D e sendo D ponteado, x − y = 0, o que contradiz o fato de x 6= y.

(ii) (⇒) Seja ≺ transitiva e suponha por contradi¸cão, que D não é convexo. Então, existem x, y ∈ D tais que x + y /∈ D (claro que x 6= y). Mas x = (x + y) − y ∈ D, isto é, x + y y. Além disso, y ∈ D, então y ∈ 0 + D implicando que y 0. Logo pela transitividade de ≺, temos que x + y 0. Portanto, x + y ∈ D o que é absurdo.

(⇐) Reciprocamente, sejam D convexo e x, y, z ∈ Y tais que x y e y z. Então, x ∈ y + D e y ∈ z + D, ou seja, (x − y), (y − z) ∈ D. Sendo D convexo (x − y) + (y − z) = x − z ∈ D, isto é, x z e a rela¸cão é transitiva.

Defini¸cão 6.5 Uma estrutura de domina¸cão D é chamada ac´ıclica se ela não possui ciclos, isto é, se para cada m ∈ N, não existem y₁, · · · , y_m ∈ Y tais que

y1 ≺ y2 ≺ · · · ≺ ym ≺ y1.

Retornemos ao estudo das solu¸cões eficientes de (MOP). Neste caso, a rela¸cão de domina¸cão em Rp é dada por ≤ e a correspondente estrutura de domina¸cão é dada por R^p+, a qual é ac´ıclica.

Proposi¸cão 6.6 Se a estrutura de domina¸cão D é chamada ac´ıclica e, se para cada y ∈ Y os conjuntos D(y)\{0} são abertos e, se o conjunto Y é compacto e não vazio, então E (Y, ≺) 6= ∅.

Demonstra¸c˜ao. Suponha por absurdo que E (Y, ≺) = ∅. Ent˜ao, para cada y ∈ Y existe y ∈ Y tal que y y ou equivalentemente

∀y ∈ Y, ∃y ∈ Y : y ∈ y + D(y){0} ou seja

Y ⊂ ^[

y∈Y

(y + D(y){0}).

Como por hipótese D(y){0} são abertos e Y é compacto, então existem y1, · · · , ym ∈ Y tais que Y ⊂ m [ i=1 (yi+ D(yi){0}).

Em particular, para cada j ∈ {1, · · · , m}, existe i ∈ {1, · · · , m} tal que y_j ∈ (y_i + D(y_i){0}), ou seja yi y_j, o que contraria o fato de D ser ac´ıclica. Portanto, E (Y, ≺ ) 6= ∅.

Este resultado não é de grande utilidade na obten¸cão das solu¸cões eficientes de (MOP), pois D(y)\{0} = R^p+\{0} não é aberto.

Agora, estudemos a estrutura de domina¸c˜ao para as solu¸c˜oes fracamente eficientes de (MOP).

Neste caso, a rela¸cão é ordem em Y = f (X) ⊂ R^p é dada por y₁ = f (x₁) ≺ y₂ = f (x₂) ⇐⇒ y₁ < y₂.

e neste caso, a estrutura de domina¸cão é dada por D = intR^p+∪{0}. Logo, para cada y ∈ Y, os conjuntos D(y) = intR^p+ são, trivialmente abertos. E (Y, ≺) = {y ∈ Rp : y = f (x^∗), x^∗ é solu¸cão fracamente eficiente de (MOP)}.

Assim sendo, como consequência da Proposi¸cão 6.6, obtemos um resultado de existência de solu¸cões fracamente eficientes de (MOP).

Corolário 6.7 Suponha que em (MOP) se tenha f cont´ınua e que o conjunto fact´ıvel X é compacto. Então (MOP) possui solu¸cões fracamente eficientes.

Demonstra¸cão. Como f é cont´ınua e X é compacto, então Y = f (X) é compacto. O resultado desejado segue da Proposi¸cão 6.6.

Na realidade, sob as mesmas hipóteses do Corolário 6.7, podemos garantir que (MOP) admite solu¸cões eficientes.

Necessitaremos da seguinte generaliza¸c˜ao do conceito de compacidade:

Defini¸c˜ao 6.8 Sejam D ⊂ Rp um cone e Y ⊂ Rp. O conjunto Y ´e chamado D-semicompacto se cada cobertura aberta de Y , da forma

{(yi− D)^c: yi ∈ Y, i = 1, · · · , n} tem subcobertura finita.

(Estamos denotando por A o fecho de A e por A^c o conjunto complementar de A)

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Proposi¸cão 6.9 Seja D um cone convexo com D ponteado, Y não-vazio e D-semicompacto, então E (Y, D) 6= ∅.

Demonstra¸cão. Como D ⊂ D, então E (Y, D) ⊃ E (Y, D). Por isto, basta considerar o caso em que D é um cone convexo, fechado e ponteado.

Podemos ent˜ao definir:

y₁, y₂ ∈ Y, y₁ ≤_D y₂ ⇐⇒ y₂ − y₁ ∈ D.

Além disto, y ∈ E (Y, D) se, e somente se, y é minimal em (Y, ≤_D). Vamos provar que Y é indutivo: Por absurdo, suponha que existe bY = {yi : i ∈ I} ⊂ Y, totalmente ordenado e que não admite limitante inferior em Y. Então, não existe y ∈ Y tal que y ≤_D y_i, i ∈ I. Ou seja, para todo y ∈ Y, existe i ∈ I tal que y 6≤_D y_i, ou equivalentemente,

i∈I

(yi − D) ∩ Y = ∅. Logo, para cada y ∈ Y, existe i ∈ I tal que y /∈ yi − D, isto ´e,

Y ⊂ ^[

i∈I

(y_i − D)c = ^[

i∈I

(y_i − D)c. Portanto, sendo Y um conjunto D-semicompacto, existem yi ∈ bY , i = 1, · · · , m tais que

Y ⊂

[

i=1

(y_i− D)c. (6.1)

Por outro lado, sendo bY totalmente ordenado, podemos supor y₁ ≤_D y₂ ≤_D · · · ≤_D y_n donde segue que

y₁− D ⊂ · · · ⊂ y_n− D e, portanto

(y₁− D)^c⊃ · · · ⊃ (y_n− D)^c. (6.2) Logo, segue de (6.1) e (6.2),

Y ⊂ (y₁− D)c. (6.3)

Mas, y₁ ∈ Y e y₁ = y₁+ 0 ∈ y₁+ D, o que contraria (6.3). Portanto, Y ´e indutivo e, pelo Lema de Zorn (veja [11]), (Y, ≤_D) admite elemento minimal, o qual est´a em E (Y, D) 6= ∅. Logo, E (Y, D) 6= ∅.

E, como consequˆencia imediata da Proposi¸c˜ao (6.9), obtemos:

Corolário 6.10 Suponha que em (MOP) se tenha f cont´ınua e que o conjunto fact´ıvel X é compacto. Então (MOP) possui solu¸cões eficientes.

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