Expans˜ ao Assint´ otica do Funcional de Forma

Agora, objetiva-se estabelecer a expans˜ao assint´otica do funcional e obter sua de- rivada topol´ogica. De fato, introduzindo o ans¨atz (7.2.61) no funcional de forma associado ao problema perturbado (7.1.6), tem-se

JΩ(uε) = 1 2 Z Ω (u + f (ε)g +_euε− zd)2 = 1 2 Z Ω (u − zd)2+ f (ε) Z Ω (u − zd)g + o(f (ε)) . (7.2.67)

Agora, reescrevendo o sistema adjunto (7.1.5) como Z ω\BR ∇v · ∇η + Z ∂BR A(v)η + Z Ω ∇v · ∇η + Z Ω vη = − Z Ω (u − zd)η ∀η ∈ H01(D) . (7.2.68) Tomando g como fun¸c˜ao teste na equa¸c˜ao acima tem-se a seguinte igualdade

Z ω\BR ∇v · ∇g + Z ∂BR A(v)g + Z Ω ∇v · ∇g + Z Ω vg = − Z Ω (u − zd)g . (7.2.69)

Por outro lado, tomando v como fun¸c˜ao teste em (7.2.64), tem-se Z ω\BR ∇g · ∇v + Z ∂BR A(g)v + Z Ω ∇g · ∇v + Z Ω gv = − Z ∂BR B(u)v . (7.2.70) Combinando tais igualdades obt´em-se o seguinte resultado importante

Z

Ω

(u − zd)g =

Z

∂BR

B(u)v = hB(u), vi∂BR = 2∇u(bx) · ∇v(bx) , (7.2.71) onde foram consideradas as simetrias das formas bilineares e a representa¸c˜ao (7.2.30), que ´e v´alida devido `a regularidade el´ıptica interior de u e v. Finalmente, introdu- zindo esse ´ultimo resultado em (7.2.67), a expans˜ao assint´otica topol´ogica do funci- onal de forma resulta em

ψ(χε(x)) = ψ(χ) + 2f (ε)∇u(b bx) · ∇v(bx) + o(f (ε)) . (7.2.72) Portanto, a derivada topol´ogica ´e imediatamente identificada, sendo dada por

T (x) = 2∇u(_{b b}x) · ∇v(_bx) ∀_bx ∈ ω , (7.2.73) onde a fun¸c˜ao f (ε) = πε2_{. Cabe lembrar que u ´e solu¸c˜ao do problema direto (7.1.2)}

e v ´e solu¸c˜ao do problema adjunto (7.1.5), ambos definidos no dom´ınio original n˜ao perturbado D.

para o caso aqui analisado.

2. Repita toda a an´alise apresentada neste Cap´ıtulo considerando o seguinte problema acoplado el´ıptico n˜ao linear

 



Encontre u ∈ H₀1(D), tal que Z ω ∇u · ∇η + Z Ω ∇u · ∇η + Z Ω u3η = Z Ω bη ∀η ∈ H01(D) .

Apˆendice A

Derivada em Rela¸c˜ao a um

Dom´ınio Geom´etrico

Este apˆendice objetiva estudar a an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma no contexto da mecˆanica do cont´ınuo. Assim, todos os objetos em estudo s˜ao consi- derados suficientemente suaves, o que significa que as quest˜oes associadas `a regu- laridade n˜ao s˜ao tratadas explicitamente, pois as hip´oteses usualmente adotadas, que tornam um argumento rigoroso, em geral s˜ao ´obvias para matem´aticos e de pouco interesse para engenheiros e f´ısicos. Nesse contexto, n˜ao se emprega qualquer espa¸co funcional no desenvolvimento da teoria aqui apresentada. No entanto, o caso de problemas de valor de contorno el´ıpticos no ˆambito de solu¸c˜oes variacionais (fracas) em espa¸cos funcionais pode ser visto, por exemplo, em [84, 94], onde os resultados obtidos para as derivadas material e de forma s˜ao rigorosamente justifi- cados utilizando uma aplica¸c˜ao do m´etodo da velocidade (speed method ). Al´em do mais, os resultados associados a problemas de valor de contorno em mecˆanica dos flu´ıdos s˜ao obtidos pelo mesmo m´etodo em [88].

A fun¸c˜ao custo (ou funcional de forma), as restri¸c˜oes e as equa¸c˜oes de estado s˜ao escritas em geral como integrais de dom´ınio e/ou de contorno, cujos integrandos podem depender de campos escalares e/ou vetoriais e de seus gradientes de primeira e/ou de segunda ordens, etc. A an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma con- siste no estudo do comportamento desses funcionais em rela¸c˜ao a uma perturba¸c˜ao na forma do dom´ınio de defini¸c˜ao do problema. Para obter a sensibilidade (deri- vada) de uma dada fun¸c˜ao custo em rela¸c˜ao a perturba¸c˜oes na forma, ´e suficiente parametrizar adequadamente o movimento do contorno do dom´ınio geom´etrico e aplicar os conceitos de derivada Gˆateaux e Fr´echet de campos materiais e espaci- ais juntamente com o teorema do transporte de Reynolds. Neste apˆendice, ent˜ao, ´

e apresentado o ferramental b´asico para a an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma do ponto de vista da mecˆanica do cont´ınuo, resultando em uma metodologia sistem´atica e geral aplic´avel para uma ampla classe de problemas.

Do ponto de vista hist´orico, not´aveis desenvolvimentos neste campo foram ob- servados durante a conferˆencia Optimization of Distributed Parameters Structures, realizada em 1981 [41], principalmente devido aos trabalhos de C´ea [19] e Zol´esio [99], em que s˜ao descritos os fundamentos matem´aticos da an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma em espa¸cos de Sobolev por meio de t´ecnicas de varia¸c˜ao suave do contorno (veja tamb´em Haslinger & Neittaanm¨aki 1988 [40], Soko lowski & Zol´esio 1992 [94], Delfour & Zol´esio 2001 [21] e Henrot & Pierre 2005 [42]). Al´em disso, ´e

Figura A.1: Mapeamento Tt entre os dom´ınios original (material) Ω e perturbado

(espacial) Ωt.

poss´ıvel estabelecer estreita rela¸c˜ao entre a an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma e a teoria da mecˆanica do cont´ınuo (vide, a respeito, [96]), que ´e discutida no final deste cap´ıtulo por meio de exemplo associado `a an´alise de defeitos em corpos el´asticos tridimensionais.

A.1

Descri¸c˜oes Material e Espacial

Conside um dom´ınio aberto e limitado Ω ⊂ Rd, com d ≥ 2, cujo contorno, denotado por Γ := ∂Ω, ´e suficientemente regular, i.e., classe C2 ou Lipschitz. Assumindo que o dom´ınio Ω est´a sujeito a uma perturba¸c˜ao regular (ou seja, sua topologia ´

e preservada) representada por um mapeamento suave e invers´ıvel denotado por Tt(X), onde X ∈ Ω e t ∈ [0, δ), com δ ∈ R+, ent˜ao, para cada t, tem-se

Tt: Ω → Ωt com T−1t : Ωt→ Ω . (A.1.1)

Assim, o dom´ınio perturbado Ωt, delimitado por Γt := ∂Ωt, parametrizado com

rela¸c˜ao a t, pode ser escrito da seguinte forma (vide fig. A.1) Ωt:=x ∈ Rd: x = Tt(X), X ∈ Ω e t ∈ [0, δ)

. (A.1.2)

Portanto, x|t=0 = Tt(X)|t=0= X e Ωt|t=0= Ω.

Usando a nota¸c˜ao cl´assica da mecˆanica do cont´ınuo (Gurtin 1981 [37]), Ω e Ωt

representam as configura¸c˜oes material e espacial , respectivamente. Al´em disso, X ∈ Ω e x ∈ Ωt s˜ao tamb´em referidas como as coordenadas Lagrangeanas e Eulerianas,

respectivamente. Considera-se, portanto, o dom´ınio de referˆencia Ω munido do sistema de coordenadas Lagrangeanas e o dom´ınio vari´avel Ωt com o sistema de

coordenadas Eulerianas, em que o dom´ınio Ωt ´e constru´ıdo na forma de fluxo de

um dado campo de velocidade.

Desta forma, o elemento diferencial espacial dx (definido em Ωt) ´e associado ao

elemento diferencial material dX (definido em Ω) como

x = Tt(X) ⇒ dx = ∂XTt(X)dX , (A.1.3)

cuja rela¸c˜ao pode ser escrita de forma compacta como

J(X, t):=∂XTt(X) ⇒ dx = JdX , (A.1.4)

onde J pode ser interpretado como o tensor Jacobiano da transforma¸c˜ao de Ω para Ωt. ´E poss´ıvel, ainda, derivar o mapeamento Tt(X) com rela¸c˜ao a t, para obter

onde, por analogia com a mecˆanica do cont´ınuo, V(X, t) pode ser vista como a descri¸c˜ao material do campo de velocidade que caracteriza a mudan¸ca de forma do corpo.

A completa dependˆencia dos pontos material X ∈ Ω e espacial x ∈ Ωt com

rela¸c˜ao ao parˆametro t ´e dada respectivamente por

T−1_t (Tt(X)) = X e Tt(T−1t (x)) = x . (A.1.6)

Portanto, tomando-se duas fun¸c˜oes g(X, t) e h(x, t), suas descri¸c˜oes espacial e material s˜ao, respectivamente, assim definidas

gt(x) := g(T−1t (x), t) e h

t_{(X) := h(T}

t(X), t) . (A.1.7)

Introduzindo ϕt _{e ϕ}

t para denotar, respectivamente, as descri¸c˜oes material e

espacial de um campo ϕ (escalar, vetorial ou tensorial), a descri¸c˜ao espacial do campo material ϕt_{´e definida como}

[ϕt]_t(x) := ϕt(T−1t (x)) , (A.1.8)

enquanto que a descri¸c˜ao material do campo espacial ϕt´e escrita como

[ϕt]t(X) := ϕt(Tt(X)) . (A.1.9)

Combinando (A.1.8) e (A.1.9) obt´em-se

ϕt(X) = [ϕt(x)]t= ϕt(x)|_x=Tt(X) , (A.1.10) ϕt(x) = [ϕt(X)]t= ϕt(X)| X=T−1_t (x) , (A.1.11) que resulta em ϕt= [ϕt]t=[ϕt]t t e ϕt= [ϕt]t=[ϕt]t  t . (A.1.12)

Muitas vezes ´e usada a seguinte nota¸c˜ao para fun¸c˜oes compostas

ϕt(X) = (ϕt◦ Tt)(X) e ϕt(x) = (ϕt◦ T−1t )(x) , (A.1.13)

que pode ser encontrada em diversas referˆencias sobre o assunto (vide, por exemplo, os livros de Soko lowski & Zol´esio 1992 [94] e Delfour & Zol´esio 2001 [21]).