Experimentos com o MLSTP

Para testar o potencial da formulação (2.49) proposta nesse trabalho optou-se por conduzir uma análise comparativa dos bounds fornecidos por essa nova formulção e aqueles associados ao trabalho de LUCENA et al. (2010). Adicionalmente, foi decidido que seria utilizado o mesmo conjunto de instâncias proposto pelos autores, cujo mecanismo gerador encontra-se descrito em LUCENA et al. (2010).

A Tabela 3.1 sintetiza o resultado dos experimentos conduzidos com as instâncias do max leaf. As duas primeiras colunas, n e d representam, respectivamente, o número de vértices no grafo e a densidade de arestas. Na sequência, tem-se a coluna optque traz o número máximo de folhas para uma árvore geradora no grafo (i.e. a solução ótima do problema MLSTP). A quarta e quinta colunas da tabela trazem um comparativo dos valores da relaxação linear da formulação (2.18) (fortalecida pelo acréscimo das restrições (2.19) e (2.23)) com aqueles da formulação (2.49). As duas últimas colunas da tabela apresentam uma medida da distância entre os limitantes encontrados pelas formulações e a solução ótima do problema.

Importante ressaltar que os valores informados da solução ótima das instâncias e de relaxação linear para a formulação (2.18) foram apresentados por LUCENA et al. (2010), tendo sidos tão somente reproduzidos nesse trabalho.

lp gap (%) n d opt dir automatic dir automatic

50 5 19 19 19,27 0,00 1,42 50 20 43 45,12 45,78 4,93 5,30 50 50 47 48,18 48,33 2,51 4,53 70 5 43 44,41 44,95 3,28 3,60 70 20 63 64,88 65,79 2,98 4,59 70 50 67 68,05 68,85 1,57 3,21 120 5 95 97,52 97,53 2,65 2,98 120 20 112 114,93 116,28 2,62 3,82 120 50 116 118,12 119,99 1,83 4,04 média 2,49 3,72

Tabela 3.1: Comparação dos bounds de relaxação linear  MLSTP

Pelo que se é possível concluir da análise da Tabela 3.1, a formulação (2.18) foi capaz de fornecer os melhores bounds para as instâncias testadas (apresentando um gap de otimalidade médio em torno de 2, 5%), embora o desempenho da formulação (2.49) (que forneceu bounds a uma distância média de 3, 7% das soluções ótimas testadas) a coloque como uma alternativa promissora para a resolução do max leaf. As Tabelas 3.2 e 3.3 tem formatos idênticos e apresentam a performance dos testes conduzidos utilizando a formulação (2.18), fortalecida pelas desigualdades (2.19). A diferença entre elas se dá simplesmente na regra utilizada para escolha dos vértices raizes das arborescências (indicados na coluna r). A Tabela 3.2 foi construída a partir dos resultados obtidos pelos vértices capazes de fornecer a pior relaxação linear para o modelo em cada instância (valores esses são apresentados na coluna root relax.). Na direção oposta, a Tabela 3.3 foi construída a partir dos resultados fornecidos pelos vértices mais atraentes, isso é, aqueles capazes de fornecer a melhor relaxação linear para o modelo. Sintetizando, buscamos contrapor o melhor e o pior caso respectivamente para a formulação (2.18).

Ademais, as duas primeiras colunas das tabelas descrevem as características das instâncias (a quantidade de vértices e a densidade do grafo). A coluna opt apre- senta o número máximo de folhas, solução ótima da instância. As colunas que se seguem, resumem a performance propriamente dita do algoritmo: lb e ub apre- sentam respectivamente os melhores lower bound e o upper bound encontrados; a coluna nodes apresenta o número de nós da árvore B&B pesquisado. As colunas F-cuts e cut sets apresentam as quantidades dos respectivos cortes identicados e, a última coluna, time mostra o tempo em segundos gasto pelo algoritmo. Todas os

n d r opt root relax. lb ub nodes F-cuts cut sets time (s) 50 5 8 19 20,11 19 19,00 0 68 268 0,12 ** 50 20 15 43 45,36 43 43,00 134 3564 1338 27,08 ** 50 50 15 47 48,17 47 47,00 9 612 414 5,07 ** 70 5 65 43 45,25 43 43,00 96 556 1781 13,04 ** 70 20 40 63 65,02 63 63,00 959 22659 16541 2682,33 ** 70 50 33 67 68,13 67 67,00 43 1191 604 15,12 ** 120 5 92 95 98,77 34 98,13 1439 5786 42813 3600,30 120 20 24 112 115,03 111 114,39 300 37419 14372 3600,58 120 50 23 116 118,12 116 118,03 127 37091 8983 3600,10 * Tabela 3.2: Performance da pior raiz para a formulação direcionada nas instâncias do MLSTP

resultados apresentados correspondem aos melhores valores encontrados dentro de um limite de tempo de 3600 segundos. Para facilitar a visualização, após a última coluna de cada tabela utilizamos uma marcação para indicar quando o algoritmo fora capaz de resolver a instância em sua otimalidade dentro da restrição de tempo imposta (**) ou quando o modelo encontrou a solução ótima, não tendo sido capaz de provar a sua otimalidade (*).

Fica evidente, pela análise da tabela, que a escolha da raiz afeta de maneira determinante a performance do algoritmo, tanto na sua capacidade de resolução das instâncias maiores (e mais difíceis) do problema, quanto no esforço empreendido na resolução (vide as diferenças do número de nós pesquisados, bem como da quantidade de desigualdades violadas introduzidas ao modelo, e o respectivo acréscimo no tempo de resolução dessas instâncias). Como regral geral, quanto melhor o limite dual encontrado na resolução do nó raiz da árvore B&B, melhor o desempenho geral do algoritmo, embora essa diferença apresente tendência de redução em função do aumento da densidade do grafo associado à instância  nota-se que a medida que o grafo se torna mais denso, as diferenças de performance entre o pior e o melhor caso tornam-se menos acentuadas.

A Tabela 3.4 apresenta a performance da formulação (2.49) nas instâncias do MLSTP. Essa tabela tem exatamente a mesma conguração das Tabelas 3.2 e 3.3, exceto pela ausência da coluna r, utilizada para indicar os vértices escolhidos como raizes.

A análise comparativa das tabelas apresentadas permite concluir que os resulta- dos obtidos pela utilização da formulação (2.49) foram bastante encorajadores, uma vez que a sua performance foi capaz de rivalizar com a performance da formulação

n d r opt root relax. lb ub nodes F-cuts cut sets time (s) 50 5 20 19 19,50 19 19,00 0 25 55 0,06 ** 50 20 1 43 44,80 43 43,00 55 1157 367 3,32 ** 50 50 27 47 47,98 47 47,00 3 234 232 0,97 ** 70 5 54 43 44,15 43 43,00 5 164 112 0,59 ** 70 20 7 63 64,76 63 63,00 497 8828 4026 327,87 ** 70 50 59 67 67,97 67 67,00 7 1031 360 4,27 ** 120 5 105 95 97,33 95 95,00 138 1823 605 17,75 ** 120 20 67 112 114,75 111 114,17 513 17929 8458 3600,14 120 50 36 116 118,02 116 117,97 186 21379 4197 3600,02 * Tabela 3.3: Performance da melhor raiz para a formulação direcionada nas instâncias do MLSTP

(2.18), no seu melhor caso. Dentro das restrições de tempo impostas ao algoritmo de B&B, ela se mostrou capaz de provar a otimalidade das mesmas instâncias resolvidas pela utilização da formulação (2.18).

Importante ainda destacar a performance dessa formulação para as instâncias mais difíceis testadas (aquelas com 120 vértices). Embora nenhuma das formulações implementadas tivesse sido capaz de provar a otimalidade das soluções encontradas para essas instâncias, ao término do tempo, os gaps de otimalidade fornecidos pela formulação (2.49) foram ligeiramente melhores do que aqueles encontrados pela for- mulação (2.18), indicando que a nova formulação foi capaz de recuperar a ligeira desvantagem inicial (limitante dual fornecido no nó zero da árvore), reforçando a ideia de que a formulação proposta seja realmente promissora.