Experimentos de probabilidade de tempo para al- al-cançar um valor alvo

Esta seção apresenta os experimentos TTTPlots (Time to target plots) como meto-dologia para a comparação das meta-heurísticas GRASP-R e ILS desenvolvidas. Para realizar estes experimentos, as meta-heurísticas foram programadas para encerrar suas execuções tão logo encontrem uma solução com custo menor ou igual a um valor alvo estabelecido. O valor alvo foi definido como a média encontrada pelo GRASP-R nos ex-perimentos apresentados no Apêndice B. As meta-heurísticas foram executadas 200 vezes para cada instância, utilizando-se sementes diferentes para o gerador de números aleató-rios. Estes gráficos indicam uma aproximação da distribuição da probabilidade da variável tempo para alcançar uma solução menor ou igual ao valor alvo. Quanto mais à esquerda está o algoritmo, mais rapidamente ele converge para o valor alvo. Os gráficos apresentam os TTTPlots de 9 instâncias, 3 para cada grupo. Todas as instâncias possuem 10 nós e 20 arestas, mas diferem na configuração do grafo e no número de ruas bloqueadas.

As Figuras 12 - 14 apresentam os TTTPlots de três instâncias com grafos semelhantes, com 5 arestas bloqueadas; os prefixos G1, G2 e G3 indicam o grupo que a instância pertence. A instância G1_0n10r40B5 da Figura 12 possui custo ótimo de 582, o alvo foi definido como 594 (gap de 2%). As meta-heurísticas são capazes de convergir para o alvo em menos de 1,5 segundo com uma probabilidade de 100%, porém a ILS apresenta maior consistência entre as execuções. A instância G2_0n10r40B5 da Figura 13 possui custo ótimo de 654, o valor alvo foi definido como 699 (gap de 6,8%). O resultado das duas meta-heurísticas são semelhantes, com a ILS apresentando uma probabilidade mais alta de atingir o ótimo local mais cedo, mas a convergência com 100% de probabilidade acontece simultaneamente aos 1,6 segundo de execução. A instância G3_0n10r40B5 da Figura 14

possui custo ótimo de 570, o alvo foi definido para o valor ótimo. As meta-heurísticas também apresentam resultados semelhantes, com uma probabilidade de atingir o ótimo em até 1,1 segundo. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 Tempo (s) Probabilidade Instância G1_0n10r40B5 [alvo=594] GRASP-R ILS

Figura 12: TTTPlot da instância G1_0n10r40B5.

As Figuras 15 - 17 apresentam TTTPlots de instâncias com 15 arestas bloqueadas. Estas instâncias estão entre as que o CPLEX levou mais tempo para finalizar a execução. A instância G1_4n10r45B15 da Figura 15 possui custo ótimo de 80660, o alvo foi definido para 80708 (gap de 0,06%); as duas meta-heurísticas têm uma performance equivalente, mas a ILS atinge o alvo com 100% de probabilidade cerca de 2 segundos mais rápido. A instância G2_4n10r45B15 da Figura 16 tem custo ótimo de 80718, o alvo foi definido para 80800 (gap de 0,1%); a ILS mostra-se mais consistente entre as execuções e leva a metade do tempo para atingir o alvo com probabilidade de 100%. A instância G1_4n10r45B15 da Figura 17 possui custo ótimo de 80640, o alvo foi definido para 80658 (gap de 0,02%); nesta instância, o GRASP-R mostrou-se consistentemente melhor que a ILS, consumindo cerca de 38 segundos para atingir o alvo com probabilidade de 100%, enquanto a ILS levou mais de 65 segundos.

As Figuras 18 - 20 também apresentam TTTPlots de instâncias com 15 arestas blo-queadas. Os alvos para estas instâncias foram definidos para o valor ótimo. A instância G1_6n10r45B15 da Figura 18 mostra que a ILS possui uma convergência para o alvo ótimo de 60504 em até 0,6 segundo, enquanto o GRASP-R leva até 1,1 segundo. As ins-tâncias G2_6n10r45B15 e G3_6n10r45B15 das Figuras 19 e 20 mostram que a ILS possui

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 Tempo (s) Probabilidade Instância G2_0n10r40B5 [alvo=699] GRASP-R ILS

Figura 13: TTTPlot da instância G2_0n10r40B5.

variância muito pequena entre as execuções, e consegue achar o ótimo com 100% de pro-babilidade em menos de 1 segundo, enquanto o GRASP-R leva um tempo maior para alcançar o mesmo resultado probabilístico.

Os gráficos de TTTPlots indicam que meta-heurística ILS possui convergência para o alvo mais rápida do que o GRASP-R. Nas instâncias G1_0n10r40B5, G2_0n10r40B5 e G3_0n10r40B5, as meta-heurísticas conseguem atingir o alvo com 100% de probabili-dade em menos de 2 segundos, mas com a ILS apresentando tempos melhores. Para a instância G1_4n10r45B15, o comportamentos das duas meta-heurísticas é praticamente o mesmo e as curvas se sobrepõe durante as execuções. Nas instâncias G1_6n10r45B15, G2_6n10r45B15 e G3_6n10r45B15 o alvo foi definido como o valor ótimo; é possível ver que a ILS possui variância inferior ao GRASP-R durante as execuções, sendo capaz de atingir o alvo com 100% de probabilidade em menos de 1 segundo, indicando uma robustez maior.

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 Tempo (s) Probabilidade Instância G3_0n10r40B5 [alvo=570] GRASP-R ILS

Figura 14: TTTPlot da instância G3_0n10r40B5.

2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 Tempo (s) Probabilidade Instância G1_4n10r45B15 [alvo=80708] GRASP-R ILS

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 Tempo (s) Probabilidade Instância G2_4n10r45B15 [alvo=80800] GRASP-R ILS

Figura 16: TTTPlot da instância G2_4n10r45B15.

10 20 30 40 50 60 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 Tempo (s) Probabilidade Instância G3_4n10r45B15 [alvo=80658] GRASP-R ILS

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 Tempo (s) Probabilidade Instância G1_6n10r45B15 [alvo=60504] GRASP-R ILS

Figura 18: TTTPlot da instância G1_6n10r45B15.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 Tempo (s) Probabilidade Instância G2_6n10r45B15 [alvo=150492] GRASP-R ILS

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 Tempo (s) Probabilidade Instância G3_6n10r45B15 [alvo=30546] GRASP-R ILS

5 Conclusões

Neste trabalho de mestrado, o problema de acessibilidade associado à reparação de vias após desastres de grandes proporções foi tratado. Este problema, inicialmente apre-sentado por Sakuraba, Santos e Prins (2015), consiste em encontrar a melhor programação para recuperar uma rede viária danificada. O problema de decisão associado é NP-difícil, portanto métodos heurísticos foram desenvolvidos. Até onde se sabe, este é o primeiro trabalho a aplicar meta-heurísticas a este problema, e isso implicou em alguns desafios.

O problema pode englobar grafos de milhares de vértices e arestas (tamanhos de cidades reais). Uma grande dificuldade para criar algoritmos é que a avaliação das soluções é realizada por um algoritmo de caminhos mínimos que adiciona pelo menosO(nlgn)ao tempo de execução total, devido a característica dinâmica do problema que faz que com a rede viária mude de estado conforme as vias são reparadas. É preciso sempre garantir que exista uma matriz de caminhos mínimos com as distâncias atualizadas e em sincronia com o estado atual do grafo. Uma falha neste requisito pode gerar situações inválidas que não poderiam acontecer de acordo com as restrições do problema.

Duas meta-heurísticas de sucesso na literatura foram aplicadas: GRASP e ILS. As três heurísticas gulosas presentes na literatura foram analisadas para identificar a que melhor se encaixaria como fase construtiva para o GRASP. Apesar da Heurística de Classificação Lexicográfica ser a que apresenta os melhores resultados dentre as três, ela não é com-patível com o modelo de listas de candidatos do GRASP e não pôde ser utilizada como fase de construção. A escolha da heurística de Ranque sobre a de Economias se deu pela diferença de complexidade, onde a primeira é mais aplicável à grafos maiores devido a sua baixa complexidade computacional. Uma meta-heurística GRASP utilizando a heurística de Ranque como fase construtiva foi desenvolvida e chamada de GRASP-R.

Os algoritmos utilizam um formato de soluções baseado em uma lista ordenada de arestas representando as vias bloqueadas do grafo. A ordem da lista indica a ordem de reparo das vias, com informações sobre os períodos de início e fim e aswork-troopsalocadas

para realizar o reparo. Um método de busca local foi idealizado sobre este formato. A busca local utiliza o movimento swap(s, e₁, e₂) que troca as posições das arestas e₁ e

e₂ na solução, implicando em uma nova ordem de reparação. Para garantir que a nova ordem respeita todas as restrições do problema, a busca local aplica um algoritmo de avaliação determinístico que recalcula as rotas de reparação das máquinas e avalia as soluções modificadas de acordo com a função objetivo.

Uma segunda meta-heurística ILS foi desenvolvida. Diferentemente da GRASP-R, a ILS não precisa recriar uma nova solução em cada iteração. A ILS foi desenvolvida utilizando componentes já existentes: a heurística de Ranque foi utilizada para gerar a solução de partida; o movimento de busca local swap(s, e₁, e₂) foi usado para gerar perturbações; as perturbações alteram aleatoriamente até 30% da solução e são aceitas mesmo se piorarem o valor da função objetivo; a mesma busca local do GRASP-R foi utilizada para refinar as soluções perturbadas.

Os resultados das meta-heurísticas comparados com a Heurística de Classificação Le-xicográfica se mostraram superiores em até 50% para algumas instâncias, com grande parte atingindo o valor ótimo: para a GRASP-R, 221 das 240 instâncias; a ILS atingiu 235 das 240, enquanto os resultados não ótimos estão a menos de 0,01%.

As principais contribuições deste trabalho podem ser resumidas como: (i) dois métodos meta-heurísticos que geram soluções de melhor qualidade do que as heurísticas gulosas da literatura; (ii) desenvolvimento de um modelo de vizinhança 2−opt e busca local para o formato de soluções proposto; (iii) derivação de dois grupos de instâncias a partir do grupo original de Sakuraba et al. (2016), assim como a criação de um grupo de instâncias de tamanho médio.

O comparativo de tempo de GRASP-R em relação à ILS indicam que a criação de soluções a cada iteração é custoso e implica em mais tempo de processamento, embora nem sempre lide a soluções melhores. A ILS é capaz de utilizar uma única solução inicial e aplicar sucessivas perturbações + busca local e atingir resultados melhores do que o GRASP-R. O modelo de vizinhança da busca local é simples, mas é viável mesmo com o grande número de restrições que o problema possui. Uma das expectativas de traba-lhos futuros é a elaboração de outros movimentos de busca local, mais sofisticados. Com esta elaboração, aconselha-se a aplicação dessas novas funções à ILS e também à meta-heurísticas baseadas em tipos parecidos de transformações, como aVariable Neighborhood Search (MLADENOVIĆ; HANSEN, 1997).

vizi-nhanças podem ser desenvolvidas para melhorar ainda mais os resultados. Métodos emer-gentes como matheurísticas (local branching,relax-and-fix, etc) podem ser desenvolvidos. Além disto, a questão da escala real pode ser analisada. Os grafos reais de cidades pos-suem milhares de nós e de arestas. Isto necessita uma otimização das estruturas de dados e uma atenção particular à complexidade de implementação dos algoritmos. Esse foi o ponto que levou à escolha da heurística de Ranque como fase construtiva para as duas meta-heurísticas. Enfim, o problema pode ainda ser estendido para integrar outras carac-terísticas como o roteamento da transferência de destroços até as áreas de descarga e a integração de drones para coordenar as operações, entre outros.

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