Neste capítulo apresentamos os experimentos numéricos da inversão em três modelos para testar o desempenho do método de Lagrangiano Aumentado, usando os tipos de parametrização estudadas para a velocidade.
Os códigos principais estão implementados em Fortran 90. Os pacotes de otimização estão livremente disponíveis em Birgin e Martínez (2005) e utilizamos o Matlab R2009a somente na parte gráfica. Foi utilizado o compilador gfortran 5.4.0 com o otimizador -O3 em uma máquina Dell Precision R5500 & FX100 com 2 processadores Intel Xeon X5675, 12 núcleos cada e 192 GB de RAM. Contudo, não foi feita nenhuma otimização de código e a compilação é serial.
8.1
Parâmetros Fixos
Na simulação numérica estamos utilizando um termo fonte com o sinal da função Ricker com frequência de pico 20 Hz. O contorno absorvente considera 51 pontos nas laterais do modelo com as constantes µ = 140 1/s e κ = 8.3 1/km. Os dados observados foram contaminados com ruídos de 30% do maior valor em módulo da amplitude e filtrados com um passa-banda de fase nula implementado no SU na banda de 2 Hz a 60 Hz. Também consideramos esquemas de sexta ordem espacial para os dados sintéticos observados e de quarta ordem para os dados modelados. A malha usada foi ∆h = 10 m e ∆t = 1 ms em ambos os esquemas para um fator de 10% de dispersão numérica, isto é, β0 = 2.6 para M = 3 e β0 = 2.8 para M = 2, considerando um intervalo de velocidade na faixa de 1.5 km/s a 5.0 km/s. O levantamento sísmico está arranjado na configuração de tiro comum (CS, do inglês Common Shot) do tipo in-line offset, isto é, os receptores estão sobre a mesma profundidade da fonte, sendo que o menor afastamento entre fonte e receptor está a 200 m. No Modelo 1 a aquisição sísmica para o dado observado contém 3 tiros com
espaçamento de 1 km, onde o primeiro tiro está na posição xs = (−3.5 km, 0) para 41 receptores espaçados a cada 120 m. A aquisição para os Modelos 2 e 3 também contém 3 tiros espaçados a cada 1 km, sendo que o primeiro está localizado em xs = (−2.5 km, 0) para um total de 41 receptores com espaçamentos de 70 m.
8.1.1
Problemas Resolvidos
Para os Modelos 1 e 2, resolvemos os problemas de otimização na forma FWI-EC, FWI- GC e FWI-GCS. Neste último, aplicamos variáveis de folgas não negativas que convertem as restrições de desigualdade em igualdade, já que sabemos que restrições de igualdade são mais exigentes na viabilidade do problema. Porém, restrições de desigualdade podem beneficiar o Algencan (Birgin e Martínez, 2014). Também resolvemos o problema na forma FWI-BC apenas no Modelo 1, por ser de baixa complexidade, para analisar o comportamento da minimização em caixa sem influencia de outras restrições. No Modelo 3, os problemas de otimização resolvidos foram os padrões FWI-EC e FWI-GC. Em todos os experimentos foram usados os seguintes parâmetros no Algencan εopt = 10−05 e
εf eas = 10−08 para a otimalidade e viabilidade, respectivamente. Para os Modelos 1 e 2
foram definidos como número máximo de iterações 100 e 50 para a interna e externa; no Modelo 3 reduzimos para 50 e 25, respectivamente.
Para analisar a robustez pelas escolhas da função objetivo pelo funcional que mede o resíduo entre os dados sísmicos, em todos os modelos, consideramos os funcionais QMP, QMPA e Cauchy. Para medir o desempenho do Algencan para os diferentes problemas testados, reportamos em tabelas com as saídas:
• iterin: Número de iterações internas; • iterex: Número de iterações externas; • fcnt: Número de avaliações do funcional; • gcnt: Número de avaliações do gradiente; • ccnt: Número de avaliações das restrições;
• jaccnt: Número de avaliações do jacobiano das restrições; • tempo: Tempo de CPU em horas;
• f( ew): Melhor valor encontrado do funcional;
Capítulo 8. Experimentos Numéricos 156
I 1: Solução encontrada (o que pode não significar um minimizador global); I 0: Número de iterações excedidas;
I -1: Decréscimo insuficiente causado por um passo muito pequeno; I -2: Possível ponto estacionário de inviabilidade;
I -3: Alcance máximo permitido do parâmetro de penalização (ρmax = 10+20); I -4: Falhou.
A falha nesse caso significa que o algoritmo retorna NaN ou Inf em uma das subro- tinas internas. No padrão IEEE isso ocorre quando operações ilegais são feitas, isto é, divisão por zero ou quando a capacidade numérica na representação sofre overflow ou underflow. No entanto, o Algencan tenta sair desse impasse, às vezes com sucesso, mas com a desvantagem de aumentar o tempo computacional. Para as restrições no problema de otimização, utilizamos perfis verticais de velocidade que foram extraídos dos modelos verdadeiros contaminados por um ruído aleatório de 10% do maior valor da velocidade. A parametrização escolhida nos experimentos para avaliar o desempenho do Algencan foi a parametrização na forma estruturada vista na Seção 4.1.
8.2
Modelo 1
O Modelo 1, ilustrado na Figura 8.1, consiste de uma função de velocidade com gradi- ente dada por
c∗(x, z) = 2 + (x + 4)/16 + 2(z + 0.5)/3, (8.1) a região de interesse é concentrada nos pontos em que não há influência do contorno absorvente, sendo que na profundidade existe uma extensão na superfície no valor dos pontos do contorno para não haver atenuação do pulso no momento da “explosão”.
O experimento sísmico é composto por três tiros espaçados a cada 1 km, sendo que a primeira fonte está na posição xs = (−3.5 km, 0) para um total de 41 receptores com espaçamentos de 120 m.
As funções bases para a parametrização foram φ0(x, z) = 1.5, φ1(x, z) = 1, φ2(x, z) = (x + 4)/8 e φ3(x, z) = (z + 0.5)/3. Portanto, o ponto ótimo para a recuperação exata do modelo pela combinação linear é w∗ = (0.5, 0.5, 2). A caixa do problema é dada por Ω = {w ∈ R3| 0 ≤ w
1, w2, w3 ≤ 5} e o ponto inicial usado foi w0 = (0, 0, 0). Desse modo, o modelo de velocidade inicial é constante, c0 = 1.5 km/s. A Tabela 8.1 exibe o desempenho obtido no Algencan resolvendo o problema considerando somente a caixa (FWI-BC). Logo, não temos iterações externas devido ao Lagrangiano Aumentado.
x (km) z (k m ) −4 −2 0 2 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 c (k m / s) 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Figura 8.1: Modelo exato da velocidade com gradiente.
Nesse caso a estimativa final do modelo foi em torno de c( ew; x) ≈ 1.5 km/s, isto é, ew ≈ 0. Esse resultado é esperado devido ao mau condicionamento, já analisado no Capítulo 6. Porém, tivemos dois casos com flags positivas, sendo que o número de avaliações do gradiente foi maior do que o número de avaliações da função objetivo. Essa diferença é devida à chamada interna do Gencan que usa o método do Gradiente Espectral Projetado (SPG, da sigla em inglês Spectral Projected Gradient), utilizado para encontrar a direção de busca em problemas nesse padrão. Esse resultado mostra a importância dos fatores de regularizações para resolver o problema nas formas irrestrita e restrita à caixa.
FWI-BC
função iterin fcnt gcnt tempo (h) f (w)e flag
QMP 5 7 12 0.69 1.670D + 00 1
QMPA 7 66 12 1.45 1.140D + 01 -1
Cauchy 5 7 12 0.69 6.253D + 04 1
Tabela 8.1: Desempenho do Algencan no problema FWI-BC para o Modelo 1. O erro percentual absoluto médio dado por
e = 100 JK J X j=1 K X k=1 c∗j,k − cj,k c∗j,k , (8.2)
ficou cerca de 53%, considerando apenas a região de interesse, para as funções objetivos testadas. A Figura 8.2 exibe o erro relativo ponto a ponto do modelo estimado no Algencan usando o funcional QMP, que revela um erro máximo de 70%. A seção sísmica para o segundo tiro do dado observado é exibida na Figura 8.3 (a). A seção sísmica para o dado modelado, pela estimativa usando o funcional QMP, é exibida na Figura 8.3 (b)
Capítulo 8. Experimentos Numéricos 158
e a diferença, entre as seções, é exibida na Figura 8.3 (c). A escala das amplitudes nas Figuras 8.3 (a), (b) e (c) são iguais. Note que, mesmo estando em um mínimo local, temos uma grande discrepância entre os dados sísmicos. Os resultados para os outros funcionais foram praticamente iguais, não apresentando diferenças significativas.
x (km) z (k m ) −4 −2 0 2 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 E rr o R el a ti vo (% ) 0 10 20 30 40 50 60 70
Figura 8.2: Erro relativo da velocidade obtido pelo Algencan no problema FWI-BC usando o funcional QMP para o Modelo 1.
(a) (b) (c) Afastamento (km) T em p o (s ) 0.2 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 Afastamento (km) T em p o (s ) 0.2 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 Afastamento (km) T em p o (s ) 0.2 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2
Figura 8.3: Seção CS no segundo tiro para o Modelo 1 do problema FWI-BC: (a) Obser- vada; (b) Modelada pela velocidade estimada através do funcional QMP; (c) Diferença.
Adicionamos ao problema de otimização as restrições pelos perfis de velocidades (mar- cações × na Figura 8.1) que estão na coordenada x = 2 km e distribuídos uniformemente em 36 pontos na profundidade com início em 50 m até 1.8 km. As restrições são dadas pelas equações (7.7) e (7.8), onde vqsão as velocidades no perfil. Nos problemas que envol- vem restrições de igualdade e desigualdade, escolhemos somente os 9 primeiros pontos para a função de igualdade e os restantes satisfazem a desigualdade com ε = 0.001 max
A Tabela 8.2 exibe o desempenho do Algencan nos problemas com restrições nos proble- mas propostos. No caso, o problema com restrições de igualdade (FWI-EC) apresentou menor esforço nas chamadas das subrotinas, o que foi refletido no tempo de execução, além de apresentar menores reduções nas funções objetivos. Apesar das flags negativas, a solução final estimada do modelo é boa, com o erro percentual absoluto médio de 0.3% para os três funcionais. No problema FWI-GC tivemos 3.3% para os funcionais QMP e Cauchy e 9.7% para QMPA. Para o problema FWI-GCS, os erros percentuais médios foram cerca de 3.3%, 3.2% e 3.6% para QMP, Cauchy e QMPA, respectivamente. Ou seja, a adição de variáveis de folgas foi vantajosa para o funcional QMPA. Apesar da adição de folgas aumentar o número de variáveis do problema, esse aumento não se refletiu no aumento da complexidade ou do tempo de execução.