Esta subseção apresenta os conceitos primitivos da geometria esférica e, a partir disso, as definições necessárias para eventuais discussões acerca desse modelo de geometria.
Com a finalidade de diminuir confusões sobre retas na geometria euclidiana e na esférica e de não sobrecarregar o texto, daqui em diante, em todos os momentos que aparecer a palavra retaE escrita desta forma (em itálico e com o E
subscrito) estarei me referindo a geometria esférica. Isso vale para retaE ou
qualquer outra nomenclatura que venha a surgir.
Na geometria esférica definimos retaE como sendo uma circunferência
obtida pela interseção de planos que passam pelo centro da esfera com a esfera. Com isso, podemos começar a comparar as geometrias. Observe que uma reta, na geometria euclidiana tem comprimento infinito, enquanto na esférica a retaE terá
comprimento finito e de medida 2𝜋𝑟, em que 𝑟 é a medida do raio dessa esfera. Além disso, é importante constatar que na geometria euclidiana, dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém. Entretanto, na superfície esférica, se esses pontos forem antípodas, haverá infinitas retasE que os contém,
como pode ser visto na figura a seguir. Caso não sejam antípodas, existe uma única retaE.
34 Figura 9 – RetasE – Fonte: Non-Euclidean Adventures on the Lenart Sphere – LÉNÁRT, 1996, p. 49
De fato, se tomarmos dois pontosE distintos 𝐴 e 𝐵 e o centro 𝑂 da esfera,
temos duas situações possíveis. Caso exista uma reta 𝑠 que passe por eles, então, pela geometria euclidiana, existem infinitos planos que os contém e, por conseguinte infinitas retasE que contém 𝐴 e 𝐵, caso não exista uma reta 𝑠 que
passe por esses três pontos, segue da geometria euclidiana, que existe um único plano que os contém. Neste caso, a interseção do plano com a superfície esférica é uma circunferência máxima, pelo teorema 3. Assim, é, na geometria esférica, uma retaE.
Um resultado importante, que segue da definição de retaE, é que não
existem retasE paralelas na geometria esférica. Para provar isso basta verificar que
ao traçar duas retasE distintas, retaE1 e retaE2, tem-se, por construção, dois planos
distintos, 𝜋1 e 𝜋2 respectivamente, que contém o centro da esfera, conforme mostra a figura a seguir. Dessa maneira, esses planos são planos secantes. Isto é, a interseção deles é uma reta que contém o centro da esfera e dois pontos antípodas. Dessa forma, esta reta intercepta as duas retasE nesses pontos
35 Figura 10 - Ilustração de que não existem retasE paralelas – Fonte: Elaborada pelo autor
Assim, começamos a definir os conceitos básicos da geometria esférica que diferem da euclidiana. Outra relação importante é a de que, ao marcar dois pontos sobre uma retaE, esta é dividida em duas partes de medidas diferentes, salvo o
caso em que os pontos são antípodas. Definiremos a menor delas como o arcoE
dos dois pontos. Isto é, arcoE: é o menor arco da circunferência máxima
determinado por dois pontos.
Ao calcular a medida do arcoE estamos calculando o que definiremos como distância esféricaE.
O arcoE que liga dois pontos é também a curva de menor comprimento que
liga dois pontos da superfície esférica. Falando novamente sobre a interdisciplinaridade, essa trajetória pode ser vista em livros de geografia recebendo o nome de ortodromia ou geodésica.
36 A partir do pontoE, da retaE e do arcoE, o próximo conceito geométrico
importante a ser definido é o de ânguloE.
Ângulo entre retasE: O ângulo entre retasE é o ângulo formado entre os
planos que seccionaram a esfera gerando essas circunferências máximas, isto é, o ângulo formado pelos planos que contém essas retasE. Este ângulo, na geometria
euclidiana, é definido como ângulo diédrico.
A fim de elucidar melhor essa definição, vamos considerar alguns exemplos. Sejam tomadas as seguintes retasE: Linha do Equador e a
circunferência suporte do Meridiano de Greenwich (Figura 11 - Linha do Equador e Meridiano de Greenwich)
Figura 11 - Linha do Equador e Meridiano de Greenwich – Fonte: Elaborada pelo autor
Sejam 𝜋1 e 𝜋2 os planos que contém essas retasE (Figura 12 - Planos que contém
a Linha de Equador e o Meridiano de Greenwich). Como esses planos são perpendiculares, temos que o ângulo formado por esses planos é reto. Dessa forma, temos duas retasE que formam um ângulo reto, isto é, são perpendiculares.
37 Figura 12 - Planos que contém a Linha de Equador e o Meridiano de Greenwich – Fonte: Elaborada pelo autor
Definido isso vamos ao próximo tópico: TriânguloE. Dados três pontosE
não colinearesE, a união dos pontos de encontro das retasE, tomadas duas a duas,
e dos arcosE que contém esses pontosE é o que denominamos triânguloE.
Ao traçar três circunferências máximas distintas e nos limitarmos aos
arcosE formados por elas, duas a duas, temos o esboço de um triânguloE:
Figura 13 – Um triânguloE – Fonte: Non-Euclidean Adventures on the Lenart Sphere – LÉNÁRT, 1996, p. 36
A soma dos ângulos internos desse triânguloE é calculada somando-se os
ângulos formados pelas retasE duas a duas.
Exemplo: Na esfera, tracemos três planos, tais que eles contenham o centro e são, dois a dois, perpendiculares. Dessa forma a esfera é dividida em oito partes
38 congruentes (Figura 14 – Um triângulo triretânguloE – Fonte: Non-Euclidean Adventures on the Lenart Sphere - ). Neste caso, o ângulo entre cada uma das
retasE é reto. Assim a soma dos ângulosE é duzentos e setenta graus.
Figura 14 – Um triângulo triretânguloE – Fonte: Non-Euclidean Adventures on the Lenart Sphere - LÉNÁRT, 1996, p. 37
Este é, na verdade, o caso que explica aquela inquietação inicial que foi o fio condutor até agora. Temos um triângulo trirretânguloE uma vez que todos os ângulosE são retos. E, apesar de não ter calculado o comprimento do arcoE, pode-
se demonstrar que as distâncias esféricasE são, neste caso, todas iguais, assim esse triânguloE também é equiláteroE. Com isso, temos um triângulo equiânguloE que
difere daquele estudado na geometria euclidiana. Na euclidiana o triângulo equiângulo apresenta ângulos de medida sessenta graus, enquanto, neste exemplo, os ângulosE do triângulo equiânguloE são retos.
Exemplos menos triviais exigiriam ferramentas matemáticas mais avançadas, como geometria analítica e álgebra linear. Uma vez que este trabalho visa o aluno que teve geometria espacial, mas não geometria analítica, não é esperado fazer demonstrações que envolvem esses conhecimentos. Caso seja do interesse do leitor, no Apêndice I, temos alguns exemplos.
39 6 Sobre as implicações desse conteúdo