Extensões maximais

curvatura R) para a métrica de Schwarzchild é dado por [19, 17],

RαβγρRαβγρ=

48M2

r6 . (3.5)

Quando se avalia o escalar de Kretschmann para r+ = 2M observa-se que RαβγρRαβγρ

é nito para este valor de r. De fato, a divergência de grr está associada a uma es-

colha inapropriada de sistemas de coordenadas. Como veremos a seguir, com um sistema de coordenadas adequado, a métrica é bem comportada em r+. Por outro

lado, no limite r → 0, não só a métrica, mas também o escalar de Kretschmann, divergem. Este ponto está associado a uma singularidade de curvatura real, uma singularidade física.

3.2 Extensões maximais

Conforme exposto no capítulo 2, a Relatividade Geral descreve a gravidade atra- vés uma série de estruturas geométricas. A base é a variedade, equipada com mapas diferenciáveis. Sobre a variedade, a estrutura métrica é denida, estrutura esta que está relacionada com as grandezas associadas à curvatura e torsão de forma que a co- nexão é dada pelos símbolos de Christoel, conforme a expressão (2.10). A dinâmica gravitacional na Relatividade Geral, por sua vez, é denida a partir de equações de campo para as componentes da métrica  as equações de Einstein apresentadas em (2.34) e (2.35).

Do ponto de vista prático, entretanto, a construção de uma geometria que modela um dado cenário físico é feita do local em direção ao global. Nesta abordagem, o ponto de partida são as equações de Einstein em um certo sistema de coordenadas. A solução destas equações diferenciais está denida em um aberto da variedade, mas não necessariamente em toda ela. A solução de Schwarzchild em (3.1) exemplica este ponto. Estritamente falando, a expressão apresentada em (3.1) só é válida para r > r+.

Neste ponto, procura-se estender uma dada solução obtida de forma que a métrica seja denida em variedades maiores, que incluam como subconjunto o aberto inicial. Isto pode ser feito passando-se para outro sistema de coordenadas, e nesta nova carta, redenir o domínio de validade da solução. Desta forma, a variedade é estendida. Quando o processo se completa, ou seja, quando não é mais possível estendermos a variedade, temos uma extensão maximal da geometria. Na abordagem descrita

3.2 Extensões maximais 24

aqui, uma extensão maximal será então caracterizada por um conjunto de sistemas de coordenadas, a partir dos quais os tensores relevantes estarão denidos. Um dado conjunto maximal de cartas é denominado atlas [19, 17].

Nesta seção, apresentaremos um procedimento de extensão para geometrias es- fericamente simétricas e estáticas quando a métrica é escrita em termos do sistema de coordenadas (t, r, θ, φ). Vimos no capítulo 2 que neste sistema de coordenadas, a métrica tem a forma (2.45). Se as funções A(r) e B(r) possuem um zero em r = r+,

este sistema de coordenadas não será válido para r 6 r+. A questão discutida aqui

é como fazer a extensão, de forma que a variedade inclua a superfície r = r+. Os

resultados apresentados aqui serão aplicáveis no caso da solução de Schwarzchild em particular, e em várias outras geometrias de interesse.

A equação (2.45) representa a métrica mais geral possível em um geometria esfericamente simétrica e estática. Denimos a coordenada radial tartaruga1 _r?,

como

dr? dr =

1

pA(r)B(r). (3.6) A denição em (3.6) xa uma função r?_(r), a menos de uma constante arbitrária (a

referência [21] apresenta esta denição para uma métrica com A(r) = B(r)). Um dos pré-requisitos para a aplicabilidade do desenvolvimento apresentado aqui é que a função inversa, r(r?_{), possa ser denida em um dado intervalo de r}?_{. O teorema}

da função inversa garante este ponto se a função 1/pA(r)B(r) é sucientemente diferenciável e possui derivada não nula.

Com base na coordenada r?_{, denimos a seguir as coordenadas tempo avançado}

(x+) e tempo retrasado (x−) como

x− = t − r?, (3.7) x+ = t + r?. (3.8) Da expressão (3.8) e (3.7) tem-se que

t = x+− r?_{, (3.9)}

t = x−+ r?, (3.10)

3.2 Extensões maximais 25

e assim temos que t = t(x±_{, r}?_{). Portanto}

dt = dx±∓ dr?. (3.11) Por outro lado, temos também que

dt = ∂t ∂x±dx ± + ∂t ∂r?dr ? . (3.12)

De acordo (3.11) a última expressão fornece, ∂t ∂r? = −1 , ∂t ∂x+ = 1, ∂t ∂r? = 1 , ∂t ∂x− = 1,

o que mostra que

dt2 = (dr?)2∓ 2dr?_dx±

+ (dx±)2. (3.13) Com o auxilio da expressão (3.6) que dene a coordenada tartaruga, a métrica (2.45) toma a forma

ds2 = A(r?)(dr?)2− dt2_{ + r}2_(r?_)dΩ2_{, (3.14)}

onde a função A(r?_{) é denida com base na composição das funções A(r) e r(r}?₎

conforme

A(r?) = A(r(r?)). (3.15) A partir da expressão para o elemento de linha em termos das variáveis r e r?,

passamos para o desenvolvimento da métrica em termos do sistema de coordenadas (x+, r, φ, θ). Inserindo (3.13) em (3.14) é obtido

ds2 = A(r?)−(dx±)2± 2dr?_dx±_{ + r}2_(r?_)dΩ2_{, (3.16)}

Finalmente, com o auxilio de (3.6), a métrica em termos da carta (x+_{, r, φ, θ)}assume

a forma ds2 = −A(r)d2x++ 2 s A(r) B(r)dx +_{dr + r}2_dΩ2_{, (3.17)}

também no sistema de coordenadas (x−_{, r, φ, θ), a métrica é expressa como:}

ds2 = −A(r)d2x−− 2 s A(r) B(r)dx − dr + r2dΩ2. (3.18)

3.2 Extensões maximais 26

Antecipando uma notação que será usada mais adiante nesta dissertação, escrevemos as expressões (3.17) e (3.18) de forma compacta como

ds2 = −A(r)d2x±± 2 s A(r) B(r)dx ± dr + r2dΩ2. (3.19)

Conforme comentado, se a métrica original, em (2.45), é tal que as funções A(r) e B(r) possuem um zero em r = r+, o sistema de coordenadas (t, r, θ, φ) é válido

somente para r > r+. Vemos porém que esta métrica, quando reescrita em termos

das cartas (x−_{, r, φ, θ) ou (x}+_{, r, φ, θ) conforme as expressões (3.17) e (3.18), é bem}

denida no ponto r = r+ se:

• a função A(r) é bem denida em r = r+,

• a função pA(r)/B(r) tem um limite bem denido em r → r+.

Satisfeitas as condições anteriores, denimos então duas extensões além de r+

postulando que o elemento de linha (3.17) e (3.18) são válidos no aberto estendido r1 < r < r2, onde r1 e r2 são tais que este aberto contenha o ponto r+, r1 < r+ < r2.

Como ilustração, aplicaremos o mecanismo de extensão apresentado para a mé- trica de Schwarzschild (3.1). Temos que a função A(r) é bem denida em r = r+ =

2M e que o limite pA(r)/B(r) = cte é bem denido em r = r+ (neste caso, em

qualquer valor de r). A função coordenada tartaruga r?_{(r) ca}

r?(r) = r + 2M ln r r+

− 1 

. (3.20)

Esta função é contínua, diferenciável e monotonicamente crescente para r > r+.

Desta forma, o teorema da função inversa garante a existência da função r(r?_),

embora a determinação analítica da mesma não seja possível. Os sistemas de coor- denadas (x−_{, r, φ, θ)e (x}+_{, r, φ, θ)que descrevem duas possíveis extensões da métrica}

de Schwarzschild são válidos para 0 < r < ∞.

O desenvolvimento apresentado nesta seção mostra que a superfície r = r+é bem

denida na extensão do espaço-tempo, uma vez que a métrica (2.45) satisfaça certas condições. Veremos na próxima seção algumas das características desta superfície.