Uma forma mais geral do Teorema de Looman-Menchoff foi anunciada por P. Montel em 1913 [18], sem demonstra¸c˜ao. Em 1923, H. Looman publicou uma demonstra¸c˜ao com uma grave incorre¸c˜ao, sanada por D. Menchoff em 1936.
3.1
Os Teoremas de Green e Morera
Paul Montel em uma nota de 1913 no Comptes Rendus, afirmou o seguinte teorema. Teorema 3.1.1. Se a fun¸c˜ao f = u + iv, definida numa regi˜ao D ´e tal que
(i) as derivadas parciais ∂u ∂x, ∂u ∂y, ∂v ∂x, ∂v ∂y existem em D,
(ii) u e v satisfazem as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann em D, (iii) f ´e limitada em D,
ent˜ao f ´e anal´ıtica em D.
Defini¸c˜ao 3.1.2. Dizemos que uma fun¸c˜ao f de duas vari´aveis x, y ´e separadamente
cont´ınua se f ´e cont´ınua em x para cada y fixado e f ´e cont´ınua em y para cada x fixado. Dizemos que f ´e (conjuntamente) cont´ınua se f ´e cont´ınua como fun¸c˜ao de (x, y).
Nota 3.1.3. Note que uma fun¸c˜ao f de duas vari´aveis x, y que ´e separadamente cont´ınua
n˜ao ´e necessariamente (conjuntamente) cont´ınua.
Exemplo 3.1.4. Seja f (z) = xy x2 + y2, para (x, y) 6= (0, 0) 0, para (x, y) = (0, 0).
f ´e descont´ınua na origem mas ´e separadamente cont´ınua em (0, 0).
No entanto, uma fun¸c˜ao separadamente cont´ınua ´e (ao menos) mensur´avel segundo Lebesgue como fun¸c˜ao de (x, y). O teorema abaixo demonstra este fato (veja em Michael e Rennie, [17], p´agina 24).
Teorema 3.1.5. Sejam E um subconjunto mensur´avel do plano e f (x, y) uma fun¸c˜ao definida
no plano tal que f (x, y) = 0 para todo (x, y) /∈ E. Suponha que:
(i) a fun¸c˜ao x ∈ {x; (x, y) ∈ E} 7→ f (x, y) ´e cont´ınua para quase todo y; (ii) a fun¸c˜ao y 7→ f (x, y) ´e mensur´avel para quase todo x.
Ent˜ao f (x, y) ´e mensur´avel no plano.
Recordamos que uma fun¸c˜ao f ´e localmente limitada num aberto D se f ´e limitada em alguma vizinhan¸ca de cada ponto de D. Como analiticidade de uma fun¸c˜ao f em D equivale a analiticidade de f em alguma vizinhan¸ca de cada ponto de D, temos que a condi¸c˜ao (iii) do Teorema de Montel (3.1.1) pode ser substitu´ıda por
(iii)0 f ´e localmente limitada em D.
Como cada fun¸c˜ao cont´ınua ´e localmente limitada, segue que o Teorema 3.1.1 com (iii) substitu´ıdo pela condi¸c˜ao (iii)0, implica o Teorema 2.2.4.
Montel n˜ao provou este resultado em suas notas [18], nem publicou uma prova em outro lugar. Apesar disso, o resultado foi afirmado como um Teorema por Menchoff em [16]. Montel, entretanto, indicou como a prova seria uma “aplica¸c˜ao imediata” de uma vers˜ao generalizada do seguinte resultado cl´assico em diferencial exata.
Teorema 3.1.6. Sejam C um curva fechada simples e K o fecho de seu interior. Se P e Q
s˜ao fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis em K tais que
(i) as derivadas parciais ∂P
∂y, ∂Q ∂x existem em K, (ii) ∂P ∂y = ∂Q ∂x em K,
(iii) P , Q s˜ao cont´ınuas em K, (iv) ∂P ∂y, ∂Q ∂x s˜ao cont´ınuas em K, ent˜ao Z C P dx + Qdy = 0. ´
E f´acil ver que o teorema acima ´e um caso especial de uma vers˜ao do Teorema de Green, dada pelo Teorema 3.1.7 cuja demonstra¸c˜ao ´e constru´ıda fazendo ajustes t´ecnicos e se encontra em Apostol [1], p´agina 289.
Teorema 3.1.7. Sejam C um curva fechada simples e K o fecho de seu interior. Se P e Q
s˜ao fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis em K tais que
(i) as derivadas parciais ∂P
∂y, ∂Q ∂x existem em K, (ii) ∂P ∂y − ∂Q ∂x ´e integr´avel em K, (iii) P , Q s˜ao cont´ınuas em K,
(iv) as derivadas parciais ∂P
∂y, ∂Q ∂x s˜ao cont´ınuas em K, ent˜ao Z C P dx + Qdy = Z Z K ∂P ∂y − ∂Q ∂x dx dy.
Observa¸c˜ao 3.1.8. Embora no resultado acima, a condi¸c˜ao (iv) implique (ii), a condi¸c˜ao (ii) ´e inclu´ıda para maior clareza.
Em 1923, H. Looman no artigo ¨Uber die Cauchy-Riemannchen Differentialgleichun- gen. Nachrichten van der Gesellschaft der Wissenschaften zu G´ottingen, p.97–108, 1923, enfraquecendo as hip´oteses do Teorema 3.1.6, ofereceu uma prova para o Teorema 2.2.4. Infelizmente a prova foi encontrada contendo uma s´eria falha. Este erro aparece nos artigos de P. Montel e H. Looman (veja tamb´em [29]), e n˜ao foi corrigida at´e o artigo de Menchoff [16] aparecer (veja tamb´em [21], p´agina 199).
Tolstoff em [26], foi o primeiro a provar o Teorema de P. Montel. Impl´ıcito em seu trabalho est´a a observa¸c˜ao de que, sempre que temos um teorema ‘tipo’ Green (Teorema 3.1.7) e um teorema ‘tipo’ Morera (Teorema 3.1.9) obtemos um teorema ‘tipo’ Goursat (Teorema 2.1.1). Por exemplo, vejamos como o cl´assico Tteorema de Goursat (2.1.1) segue do
cl´assico Teorema de Green (mais precisamente, de seu corol´ario 3.1.6) e do cl´assico Teorema de Morerea (3.1.9).
Teorema 3.1.9 (Morera). Se a fun¸c˜ao f , definida numa regi˜ao D, ´e tal que
(i) f ´e cont´ınua em D, (ii)
Z
∂R
f (z)dz = 0 para cada retˆangulo R em D , ent˜ao f ´e anal´ıtica em D.
Demonstra¸c˜ao. Ver [22], p´agina 120.
Demonstra¸c˜ao. (Demonstra¸c˜ap do Teorema 2.1.1) Para qualquer retˆangulo R,
Z ∂R f (z)dz = Z ∂R (u + iv)dz = Z ∂R (u + iv)(dx + idy) = Z ∂R
udx + iudy + ivdx − vdy
Usando o Teorema 3.1.6 e as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann (1.3), obtemos Z ∂R f (z)dz = Z ∂R udx − vdy + i Z ∂R udy + vdx = 0.
Portanto pelo Teorema de Morera (3.1.9), f ´e anal´ıtica em D. Esta prova deixa claro que, se podemos reduzir as condi¸c˜oes envolvidas no Teorema de Morera (3.1.9) e aquelas envolvidas no Teorema de Green (3.1.6), podemos obter uma vers˜ao generalizada do Teorema de Goursat (2.1.1).
3.2
Generaliza¸c˜oes dos Teoremas de Green e Morera
Podemos prontamente deduzir o Teorema de Looman-Menchoff (2.2.4) do cl´assico Teorema de Morera (3.1.9) e da seguinte extens˜ao do Teorema de Green (3.2.1) dada por Paul Cohen em [5].
Teorema 3.2.1. Seja R um retˆangulo fechado. Se P e Q s˜ao fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis
(i) as derivadas parciais ∂P ∂x, ∂P ∂y, ∂Q ∂x, ∂Q ∂y existem em R, (ii) ∂Q ∂x − ∂P
∂y ´e integr´avel em R, (iii) P , Q s˜ao cont´ınuas em R,
ent˜ao Z ∂R P dx + Qdy = Z Z R ∂Q ∂x − ∂P ∂y dx dy. (3.1)
Demonstra¸c˜ao. Ver Cohen [5], p´aginas 110 a 112.
Tal prova inverte a ordem cronol´ogica das coisas. As id´eias de Cohen [5] foram inspiradas pela prova do Teorema de Looman-Menchoff (2.2.4).
Foi via implica¸c˜ao Morera + Green ⇒ Goursat que Tolstoff em [27] provou o Teorema de Montel (3.1.1). Primeiro, ele provou uma vers˜ao mais geral de Morera (com continuidade substitu´ıda por: integr´avel, localmente limitada e separadamente cont´ınua), depois provou tamb´em uma vers˜ao mais geral do Teorema 3.1.6, e finalmene combinou estas como na prova acima do Teorema de Goursat (2.1.1), para produzir o Teorema de Montel (3.1.1).
Teorema 3.2.2. Se a fun¸c˜ao f = u + iv, definida numa regi˜ao D, ´e tal que
(i) f ´e integr´avel em D, (ii)
Z
∂R
f (z)dz = 0 para cada retˆangulo R em D , (iii) f ´e localmente limitada em D,
(iv) f ´e separadamente cont´ınua em D, ent˜ao f ´e anal´ıtica em D.
Demonstra¸c˜ao. Ver [8], p´agina 5.
Teorema 3.2.3. Se P e Q s˜ao fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis definida num quadrado K
tais que
(i) as derivadas parciais ∂P
∂x, ∂P ∂y, ∂Q ∂x, ∂Q ∂y existem em K, (ii) ∂P ∂y = ∂Q ∂x em K,
(iii) P , Q s˜ao limitadas em K,
ent˜ao Z
∂R
P dx + Qdy = 0 para cada retˆangulo R em K.
Vemos que os cl´assicos Teoremas de Goursat, Green e Morera podem ser significa- tivamente melhorados. No entanto, podemos encontrar vers˜oes ainda mais generalizadas na literatura.
Conclu´ımos ent˜ao esta se¸c˜ao com uma generaliza¸c˜ao de Morera (3.2.4) dada por Rademacher em RADEMACHER, H., Bemerkungen zu den Cauchy-Riemannschen Differ- entialgleichungen und zum Moreraschen Satz. Math. Z. 4, p.177–185, 1919 e uma de Green (3.2.6) dada por Cafiero em CAFIERO, F., Un’estencione della formula de Green e sue consequence, Richerche Mat. 2, p.91–103, 1953. M. R. 15, p.411, 1954.
Teorema 3.2.4 (Generaliza¸c˜ao do Teorema de Morera). Se a fun¸c˜ao f = u + iv,
definida numa regi˜ao D, ´e tal que (i) f ´e integr´avel em D,
(ii)
Z
∂R
f (z)dz = 0 para cada retˆangulo R em D , (iii) f ´e separadamente cont´ınua em D,
ent˜ao f ´e anal´ıtica em D.
Nota 3.2.5. Veja tamb´em nota (20) em [8], p´agina 13.
Teorema 3.2.6 (Generaliza¸c˜ao do Teorema de Green). Se P e Q s˜ao fun¸c˜oes reais
de duas vari´aveis definidas numa regi˜ao D tais que
(i) as derivadas parciais ∂P
∂x, ∂P ∂y, ∂Q ∂x, ∂Q ∂y existem em D, (ii) ∂Q ∂x − ∂P
∂y ´e integr´avel em D, (iii) P, Q s˜ao limitadas em D,
ent˜ao Z ∂R P dx + Qdy = Z Z R ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy. para cada retˆangulo R em D.
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