Uma solução tradicionalmente utilizada para evitar o excesso no sistema elétrico de componentes harmônicas de corrente pode ser obtida através do uso de filtros passivos sintonizados. Conforme conceitos em circuitos elétricos, os filtros sintonizados são circuitos ressonantes série que, na frequência de sintonia
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73 ou de ressonância, apresentam baixa impedância resistiva. Para frequências menores que a frequência de sintonia eles são capacitivos e, para as frequências superiores àquela frequência são indutivos. Portanto, para a frequência fundamental (que sempre estará abaixo da frequência de sintonia), estes filtros podem operar como compensadores de reativo [32] [33] [34] [35].
3.3.1 O Circuito ressonante série
Seja um circuito elétrico formado por um resistor, um indutor e um capacitor, conectados em série e alimentados por uma fonte de tensão, conforme ilustra a figura 3.4. Ressonância série é uma condição na qual um circuito contendo pelo menos um indutor e um capacitor, apresentará uma impedância de entrada puramente resistiva.
Figura 3.4- Diagrama de um circuito RLC série.
Aplicando-se o conceito de ressonância série ao circuito da figura 3.4, cuja impedância complexa é dada pela equação (3.3), observa-se que, ajustando-
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74 se a frequência da fonte, existirá um valor de frequência em que esta impedância será puramente resistiva.
1 ] = ^ . _ ) 1. X` (3.3)
onde:
• ω – Frequência angular da fonte de alimentação do sistema;
• R – Resistência indicada na figura 3.1; • L – Indutância indicada na figura 3.1;
• C – Capacitância indicada na figura 3.1.
O módulo e a fase da impedância série da expressão (3.3) podem ser assim expressas, conforme equações (3.4) e (3.5), ou seja:
1 9] ^ ._ ) 1. X` (3.4)
O tanc d . _ ) 1 . X⁄
] f (3.5)
onde:
• Z(ω) – Módulo da impedância complexa dada por (3.3), em função da frequência ω;
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75 A condição de ressonância, conforme estabelecida acima, aplicada à equação (3.3) possibilitará a determinação da frequência que anulará a parte imaginária de 1 :
^ . _ ) 1. X` 0 (3.6)
Assim, explicitando-se a frequência ω na equação (3.6), obtém-se a frequência angular de ressonância do circuito série, que é dada por (3.7).
g √_. X1 2. h. 7g (3.7)
onde:
• g – Frequência angular de ressonância do circuito RLC.
Observa-se na equação (3.7) que g é função apenas dos parâmetros L e C do circuito. Portanto, esta frequência g é uma característica típica do circuito RLC série.
Esta condição está ilustrada na figura 3.5, onde se notam os comportamentos do módulo (figura 3.5 (a)) e o ângulo de fase (figura 3.5 (b)) da impedância do circuito da figura 3.4, para um dado circuito RLC série de resistência R=1 , capacitância C=100µF e indutância L=10mH, cuja frequência angular ressonante (ω) é 1000 rad/s.
Pela observação da figura 3.5(a) verifica-se que, na frequência de ressonância, a impedância é mínima. Por outro lado, da figura 3.5(b), conclui-se que o ângulo de 1 anula-se para g. Este fato demonstra que, na
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76 ressonância série, o circuito será puramente resistivo. Observa-se também que, aumentando-se a frequência além de g, os ângulos da impedância serão positivos e cada vez mais próximos de +90 graus. Isto implicará que a impedância será predominantemente indutiva nas altas frequências. Inversamente, para frequências baixas e inferiores à frequência de ressonância, o circuito será predominantemente capacitivo.
(a) 0 5 10 15 20 25 30 35 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 M ó d u lo d a im p e d ân ci a (Ω )
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(b)
Figura 3.5 – Impedância de um circuito RLC série versus frequência. (a) Módulo;
(b) Ângulo.
3.3.2 O fator de qualidade
O fator de qualidade é um parâmetro adimensional e de fundamental importância no dimensionamento do filtro passivo. Definido, tanto para circuitos como para componentes, através da relação entre a máxima energia armazenada nos componentes (reator ou capacitor) e a energia total dissipada (resistor) por período. O referido parâmetro, em geral, é expresso pelo símbolo Q.
Assim, considerando-se o circuito ressonante série da figura 3.5, pode-se expressar o fator de qualidade, à frequência de ressonância g, em função dos valores dos componentes, pela seguinte expressão:
g. _ ] g. X. ]1 (3.8) -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Â n gu lo d a im p e d ân ci a (e m g ra u s)
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78 Na equação 3.8 observa-se o aparecimento de g. _ e 1⁄ g.X, cujas dimensões são de impedância e cujos módulos são iguais para um dado circuito ressonante. Estas grandezas representam a impedância natural do circuito, e aqui ela será designada por 1g conforme a expressão (3.9) a seguir. Ainda em (3.9) é mostrada outra expressão útil para 1g, unicamente em função dos componentes
L e C:
1g g. _ 1
g. X 9_i X (3.9)
A partir das expressões (3.8) e (3.9) pode-se expressar o fator de qualidade Q em função dos componentes L, C e R do circuito, conforme mostra a equação (3.10), ou seja:
1g
] R_ X]⁄ (3.10)
Vale ressaltar que é comum referir-se a fatores de qualidade de reatores, ou de capacitores, como elementos isolados. Nestes casos, os fatores de qualidade são referidos à frequência fundamental e a expressão aplicável será da forma da expressão (3.8) anterior.
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3.3.3 Modelagem do filtro
O modelo de circuito equivalente monofásico de um filtro sintonizado a uma única frequência foi apresentado na figura 3.4. Ressalte-se que, na prática, as conexões destes filtros são trifásicas, em delta ou em estrela-isolada.
O módulo da impedância do circuito RLC série, dada na equação (3.4), pode também ser expresso como 1? , em função das frequências e g de sintonia e dos parâmetros Q e R. Assim, da equação (3.4), colocando-se em evidência a resistência R, obtém-se (3.11):
1? ]. 91 ^ ] ). _ . X. ]`1 (3.11)
Multiplicando-se, na equação (3.11), o numerador e o denominador de cada parcela dentro dos parênteses por g e, em seguida, introduzindo-se o fator
Q, dado por (3.8), obtém-se a equação (3.12) do módulo da impedância do filtro,
ou seja:
1? ]. 91 . ^
g)
g` (3.12)
A equação (3.12) é particularmente útil por permitir a visualização da influência do fator de qualidade sobre a seletividade do filtro sintonizado à frequências g. As curvas da figura 3.6, traçadas com base na equação (3.12), ilustram o efeito da variação de Q sobre a impedância do filtro sintonizado. Da
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80 análise dessa figura conclui-se que, para um dado filtro e mantendo-se inalterada a resistência R, o aumento do fator Q provocará a elevação da impedância desse filtro para as frequências diferentes da frequência de sintonia. Concomitantemente, ainda baseando-se na equação (3.12), verifica-se que, na frequência de sintonia, a impedância do filtro será puramente resistiva e, para este caso, ela será independente do fator Q. Entretanto, é importante ressaltar, que esta condição de sintonia não será, necessariamente, observada na prática. Isto porque o filtro sintonizado estará sujeito ao fenômeno da dessintonização, comum nos sistemas elétricos reais.
Figura 3.6- Impedância versus frequência, para diversos valores do fator Q.
Desse modo, o fator de qualidade dos filtros sintonizados é uma medida do grau de seletividade desses circuitos, quanto às frequências harmônicas. Assim, quanto maior for o fator Q mais seletivo será o filtro, ou seja, ele impedirá cada vez mais a absorção das correntes harmônicas de frequências diferentes daquela de sintonia. Os valores típicos dos fatores de qualidade de filtros sintonizados situam-se na faixa de 30 e 60.
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81 Já para os reatores isolados, os fatores de qualidade usuais situam- se entre 50 e 150.
3.3.4 Dessintonização
Variações de frequência ocorrem em qualquer sistema elétrico devido às pequenas modificações de carga e geração. Nos sistemas elétricos reais, variações da ordem de ±0,15Hz podem ser observadas.
Os filtros sintonizados, em especial, são sensíveis a estas variações que ocorrem na frequência do sistema elétrico, como também a quaisquer outros fatores que tenham alguma influência sobre os valores dos seus componentes. Assim, se um filtro sintonizado é dimensionado para ter uma impedância mínima para uma dada frequência, três fatores independentes contribuem para dessintonizar o circuito para a harmônica correspondente:
• Variação da frequência do sistema C.A.;
• Erro de sintonia inicial, devido ao reator do filtro (dada à própria característica discreta de seus enrolamentos) e também devido aos erros inerentes à medição;
• Variação da capacitância total, devido à variação da temperatura, ou devido à falha de um ou mais elementos de capacitor.
Os capacitores também têm seus valores modificados com o tempo de uso. Porém, as mudanças na capacitância com a temperatura são mais importantes.
A pior hipótese de dessintonização acontecerá quando todos os fatores descritos forem cumulativos. Para quantificar a dessintonização, designa-se a
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82 grandeza denominada desvio equivalente de frequência (δ). Este desvio (δ), causado na frequência de sintonia, é identificado por meio de duas parcelas:
• Desvio relativo da frequência nominal do sistema (δs);
• Desvio relativo aos valores nominais dos componentes do filtro (devido às variações dos próprios componentes, δc).
Assim, o desvio equivalente de frequência será calculado pela adição das duas parcelas, j2 e j/, conforme indica a equação (3.13):
j j2 j/ (3.13)
A parcela correspondente às variações de frequência do próprio sistema elétrico (j2) é determinada diretamente pela aplicação da equação (3.14):
j2 7∆7
K@H
∆7
7 (3.14)
onde:
• ∆7 – Variação de frequência, em hertz, ocorrida no sistema C.A;
• 7K@H – Frequência nominal (ou frequência fundamental), em Hertz, do sistema C.A.
A segunda parcela do desvio equivalente de frequência (j/), é dada pela equação (3.15):
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83 onde:
• ∆_ _⁄ – Variação da indutância do filtro relativamente ao seu valor nominal;
• ∆X X⁄ – Variação da capacitância do filtro relativamente ao seu valor nominal.
Assim, o desvio equivalente de frequência (equação (3.13)), com a substituição de (3.14) e (3.15), poderá ser determinado por (3.16), onde os variáveis de ∆7, ∆_ e ∆X encontram-se implícitas.
j ∆77 12 . ^∆__ ∆XX ` (3.16)
3.3.5 Efeito da dessintonização sobre a impedância do filtro
No projeto de filtros, este afastamento da sintonia (a qual estão sujeitos todos os circuitos ressonantes), deverá ser rigorosamente considerado, sob pena de, em condições anormais, isto é, de dessintonização, os filtros serem incapazes de atender às especificações.
O desvio equivalente de frequência também pode ser expresso por (3.17).
j ) g
g (3.17)
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84
g. 1 j (3.18)
Da impedância complexa do circuito da figura 3.6, por substituição de ω (dada em (3.18)), obtém-se (3.19):
1? ] =. ^ g. 1 j . _ ) 1
g. 1 j . X` (3.19)
Seguindo-se, substituem-se, em (3.19), os componentes L e C pelas relações em função de Q, g e R, obtidas de (3.19). Estas substituições resultarão na expressão da impedância do filtro sintonizado à frequência de sintonia, com dessintonização (3.20), como:
1? ]. l1 =. . j. ^2 j1 j`m (3.20)
Para pequenos desvios de frequência (δ<<1), o que corresponde aos valores práticos, a impedância do filtro pode ser aproximada pela equação (3.21):
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85 Nota-se que a parte imaginária da impedância do filtro na sintonia depende do valor de δ, isto é, da dessintonização [32].