FASE D CAP´ ITULO 5 ESTUDO NUM ´ ERICO

Estudo anal´ıtico

5.3. FASE D CAP´ ITULO 5 ESTUDO NUM ´ ERICO

5.3 Fase D

A fase D representa uma economia semelhante à analisada na região A2, caracterizada por um stock inicial de capital f´ısico relativamente ao stock de conhecimento tecnológico, k, superior ao de equil´ıbrio de longo-prazo, k∗, e considerada rica em número de variedades de bens intermédios, implicando x inicial inferior ao equil´ıbrio de longo-prazo, x∗. Contudo, comparativamente com a região A2, para o mesmo valor de k, esta economia é caracterizada por um maior número de bens intermédios, N (0) para dado Q(0), de tal forma que a dinâmica de transi¸cão é qualitativamente diferente.

A Figura 5.22 ilustra este processo de convergência caracterizado por monotonia em ambas as variáveis de estado, conforme será vis´ıvel na análise individual das variáveis. 5.5 6 6.5 7 7.5 x 10−3 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.9 2.95 x(t) k(t) D

Figura 5.22: Representa¸cão gráfica da proje¸cão da trajetória para o equil´ıbrio ilustrada pela linha amarela, considerando uma condi¸cão inicial pertencente à fase D. As linhas a preto representam a proje¸cão dos subespa¸cos próprios associados aos valores próprios estáveis.

Desta forma, observamos que a proporcionalidade dos afastamentos de x e k em rela¸cão ao respetivo valor de equil´ıbrio de longo-prazo pode ditar trajetórias de convergência qualitativamente distintas. Nesse sentido, uma condi¸cão suficiente para a monotonia do ajustamento é

v(2,2) v(1,2)

(x(t) − x∗) + k∗ < k(0) < v(2,1) v(1,1)

(x(t) − x∗) + k∗.

As condi¸cões iniciais consideradas na seguinte análise são (0, 85x∗; 1, 1k∗) e (0, 75x∗; 1, 15k∗), representando afastamentos opostos, com magnitudes distintas, de x e k relativamente ao valor de equil´ıbrio de longo-prazo.

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Dinâmica da taxa de entrada horizontal, x: A Figura 5.23 representa a evolu¸cão ao longo do tempo da taxa de entrada horizontal, x, e da respetiva velocidade de convergência, denotada por ωx. Observamos a monotonia do ajustamento de x, contrariamente às regiões anteriores. Deste modo, a velocidade de convergência é sempre positiva e não apresenta assintotas verticais. A velocidade de convergência assintótica de x é −µ2, correspondente ao valor próprio negativo de menor valor absoluto.

Ao longo do ajustamento, empresas entram na economia via inova¸cão horizontal a um ritmo inferior ao de equil´ıbrio de longo-prazo, x∗. Tal resulta da economia possuir um elevado número inicial de variedades de bens intermédios, N (0) para dado Q(0). Este comportamento resulta dos elevados custos de entrada horizontal, η, devido à rela¸cão direta entre η e o número de variedades iniciais de bens intermédios.

O ritmo de entrada horizontal é crescente como consequência da complementaridade existente entre os dois tipos de inova¸cão, referida na análise da região A1. A dinâmica da taxa de chegada de uma inova¸cão vertical, I, encontra-se representada no Apêndice B, na Figura 7.3. Deste modo, dado I elevado, refletindo o elevado k inicial, o impacto positivo da inova¸cão vertical em x (via aumento de Q) mais que compensa o elevado η, gerando x crescente. No entanto, contrariamente ao observado na região A2, este impacto positivo contraria o efeito do aumento de η ao longo de toda a dinâmica de transi¸cão.

0 50 100 150 200 5 6 7 8x 10 −3 Condição inicial = (0.85*x*;1.1*k*) t x(t) x* 0 50 100 150 200 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t ω x (t) ω x=0 0 50 100 150 200 5 6 7 8x 10 −3 Condição inicial = (0.75*x*;1.15*k*) t x(t) x* 0 50 100 150 200 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t ω x (t) ω x=0

Figura 5.23: Representa¸cão gráfica da evolu¸cão da taxa de entrada horizontal, x, e da sua velocidade de convergência, ωx, ao longo do tempo, ilustradas pelas linhas a azul.

Consideramos uma condi¸cão inicial em que x é 15% inferior a x∗ e k 10% superior a k∗ (à esquerda), e uma condi¸cão inicial em que x é 25% inferior a x∗ e k é 15% superior a k∗ (à direita). As linhas encarnadas representam os respetivos valores de equil´ıbrio de longo-prazo.

5.3. FASE D CAP´ITULO 5. ESTUDO NUM ´ERICO

Dinâmica do stock de capital f´ısico por stock de conhecimento tecnológico, k: Na Figura 5.24 observamos o processo de convergência ao longo do tempo do stock de capital f´ısico relativamente ao stock de conhecimento tecnológico, k, e da respetiva velocidade de convergência, ωk. Verificamos que k decresce monotona- mente até atingir o respetivo valor de equil´ıbrio de longo-prazo, k∗, como reflexo da sua produtividade marginal inicial relativamente baixa (ver também Figura 7.9 no Apêndice C, com a dinâmica de gk). Como tal, a sua velocidade de convergência é sempre positiva, não apresentando ass´ıntotas verticais. Tal como x, k converge assintoticamente à velocidade −µ2. 0 50 100 150 200 2.65 2.66 2.67 2.68 Condição inicial = (0.85*x*;1.1*k*) t k(t) k* 0 50 100 150 200 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t ω k(t) ω k=0 0 50 100 150 200 2.65 2.66 2.67 2.68 Condição inicial = (0.75*x*;1.15*k*) t k(t) k* 0 50 100 150 200 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t ω k(t) ω k=0

Figura 5.24: Representa¸cão gráfica da evolu¸cão de k e da sua velocidade de convergência, ωk, ao longo do tempo, ilustradas pelas linhas a azul. Consideramos uma condi¸cão inicial

em que x é 15% inferior a x∗ e k é 10% superior a k∗ (à esquerda), e uma condi¸cão inicial em que x é 25% inferior a x∗ e k é 15% superior a k∗ (à direita). As linhas encarnadas representam os respetivos valores de equil´ıbrio de longo-prazo.

Dinâmica do ´ındice agregado de qualidade, Q: A Figura 5.25 ilustra o ajustamento ao longo do tempo do ´ındice agregado de qualidade, Q, corrigido pela tendência, e da respetiva taxa de crescimento, gQ. Esta apresenta um comportamento não monótono distinto do observado nas regiões anteriores, convergindo de forma célere para valores relativamente próximos do equil´ıbrio de longo-prazo, gQ∗. O crescimento de Q reflete o contributo dos dois tipos de inova¸cão para o aumento do n´ıvel de conhecimento tecnológico. A taxa de chegada de uma inova¸cão vertical, I, é superior ao respetivo valor de equil´ıbrio de longo-prazo durante todo o processo de ajustamento. Tal resulta da rela¸cão de complementaridade existente entre inova¸cão vertical e capital f´ısico, descrita na análise da região A1. Por outro lado, verificamos que a taxa de entrada horizontal, x, é inferior ao respetivo valor de equil´ıbrio de longo-prazo, x∗, durante a totalidade do ajustamento. Assim, à medida que se

5.3. FASE D CAP´ITULO 5. ESTUDO NUM ´ERICO

acentua a queda de I e x ainda reduzido, gQ decresce atingindo valores inferiores a gQ∗. Nos per´ıodos seguintes, g_Q come¸ca a aumentar, com o crescimento de x a mais que compensar a queda de I em dire¸c˜ao ao equil´ıbrio de longo-prazo.

0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 t Condição inicial = (0.85*x*;1.1*k*) Qd trend 0 50 100 150 200 0.025 0.0255 0.026 0.0265 t g Q(t) g Q* 0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 t Condição inicial = (0.75*x*;1.15*k*) 0 50 100 150 200 0.024 0.026 0.028 0.03 t Qd trend g Q(t) g Q*

Figura 5.25: Representa¸cão gráfica do ´ındice agregado de qualidade, corrigido pela tendência, e da respetiva taxa de crescimento. Consideramos uma condi¸cão inicial cujo x é 15% inferior a x∗ e k é 10% superior a k∗ (à esquerda), e uma condi¸cão inicial cujo x é 25% inferior a x∗ e k é 15% superior a k∗ (à direita). O conceito teórico de tendência representa os valores que uma variável assumiria caso se encontrasse em equil´ıbrio dinâmico de longo-prazo desde o momento inicial. A linha azul ilustra o valor de Q corrigido pela tendência; a linha encarnada representa a proje¸cão da tendência de Q.

Dinâmica do capital f´ısico, K: A Figura 5.26 representa o processo de con- vergência do capital f´ısico corrigido pela tendência. Contrariamente às regiões anteriores, durante a totalidade do ajustamento o capital f´ısico, K, cresce a uma taxa inferior ao balanced growth path, aproximando-se da tendência por cima.

Tal deve-se ao maior número de variedades iniciais de bens intermédios, N (0) para dado Q(0), por stock de capital f´ısico relativamente ao stock de conhecimento tecnológico, k. Devido aos custos de entrada horizontal crescentes com N, menor será a taxa de entrada horizontal, x, e o seu efeito positivo no n´ıvel de conhecimento tecnológico, Q. Por esta via, menor será o crescimento da produtividade marginal de K, PmgK, (gerado pelo aumento de Q) reduzindo o incentivo à sua acumula¸cão, de tal forma que o crescimento de K é inferior ao balanced growth path ao longo do ajustamento.

5.3. FASE D CAP´ITULO 5. ESTUDO NUM ´ERICO

No documento Dinâmica Multidimensional em Crescimento Endógeno (páginas 63-67)