Fase 1 Identificação e análise da necessidade

Le cas du golfe de Gascogne est un peu plus compliqu´e et correspond `a un interm´ediaire entre les cas cit´es pr´ec´edemment.

a La mar´ee semi-diurne M2

Pour d´ecrire la dynamique de la mar´ee partielle M2, (Le Cann, 1990) et (Jezequel et Maze, 2001) appuient leur raisonnement sur la th´eorie d´evelopp´ee dans les trois articles de

La mar´ee barotrope dans le golfe de Gascogne

permet d’estimer les courants de mar´ee barotropes `a partir de mesures de l’´el´evation de surface `a la cˆote, en n´egligeant les termes non lin´eaires dans les ´equations du mouvement et de continuit´e, et en n´egligeant le frottement sur le fond. La topographie est simplifi´ee, la configuration comprend un plateau de profondeur constante s´epar´e de l’oc´ean profond par un talus de pente lin´eaire. Les ´equations pour la mar´ee barotrope s’´ecrivent alors, en n´egligeant ´egalement le potentiel de mar´ee :

∂u1 ∂t −f v1 =−g^∂η ∂x ^(9.1a) ∂v1 ∂t ^{+f u1 =}−g^∂η ∂y ^(9.1b) ∂η ∂t ⁺ ∂ ∂x^{(hu1) +} ∂ ∂y^{(h v1) = 0 (9.1c)}

On consid`ere que l’´el´evation de la surface est de la forme :

η(x, y, t) =η0(x)e^i(kyy−ωt) (9.2) o`u y est la direction parall`ele `a la cˆote et ω = ω<sub>M2</sub>. La premi`ere hypoth`ese consiste `a dire que les variations dans la direction parall`ele `a la cˆote (|ky|−1 =O(104)) sont tr`es petites par rapport aux variations dans la direction perpendiculaire `a la cˆote (largeur du plateau

LP =O(100 km)), ce qui permet de supprimer le terme de divergence en y dans l’´equation

9.1c. Apr`es une int´egration depuis la fronti`ere `a la cˆote enx= 0, en employant une condition de flux nul `a la cˆote (Hu1b = 0 en x= 0), l’´equation de continuit´e donne :

u₁ =−¹

h Z x

0

η_tdx (9.3)

Clarke et Battisti (1981) ont ´etabli que la d´enivellation de la surface ne variait pas beaucoup au-dessus des plateaux continentaux, avec :

η₀(x) =η₀(0) 1− (ω2−f2)x gh −^{f ky} ω x (9.4) Pour la mar´ee M2, le terme entre parenth`ese dans l’´equation 9.4 est ´egal `a environ 10−6, ce qui justifie la condition η0(x)≃η0(0) (amplitude de l’´el´evation de la surface constante sur le plateau) pour un plateau qui ne soit pas trop large, ce qui est le cas du golfe de Gascogne o`uLP ≃100 km. Dans ces conditions, l’int´egration de 9.1c donne la composante de la vitesse perpendiculaire `a la cˆote :

u1 =iω^x

h^{η0(0) (9.5)}

Combin´ee `a l’´equation 9.1b, on a l’expression de l’autre composante :

v1 = ^{f x} h |{z} 1 − ^gky_ω |{z} 2 η0(0) (9.6)

9.1 Caract´eristiques g´en´erales dans la zone

Dans cette ´equation, le terme (1) refl`ete la pr´esence d’une onde de Poincar´e et le terme (2) celle d’une onde de Kelvin. Ces deux types d’ondes coexistent donc lors de la propagation des ondes de mar´ee semi-diurnes dans le golfe de Gascogne. L’onde de Kelvin qui arrive au talus va forcer par continuit´e la composanteu1 du courant perpendiculaire `a la cˆote au niveau du plateau. Ensuite, la force de Coriolis agira sur cette composante et induira une composante

v₁ en opposition de phase avec l’´el´evation de la surface : une onde de Poincar´e est cr´e´ee. Elle se r´efl´echit pratiquement enti`erement `a la cˆote, ce qui donne une onde quasi-stationnaire au-dessus du plateau. Sur la plaine, la vitesse et l’´el´evation de la surface sont quasiment en phase, la propagation se fait principalement sous la forme d’une onde de Kelvin. Sur le plateau, la vitesse et l’´el´evation sont en quadrature et donc l’orientation des ellipses du courant de

mar´ee change de signe tel que ^xf

h ⁺ gky

ω ^{= 0}

, et l’influence de l’onde de Poincar´e domine. Enfin, tr`es pr`es de la cˆote, il arrive que la pente du fond augmente perpendiculairement `a la

cˆote, ce qui provoque une diminution du terme en x/h et rend possible la dominance d’une

onde de Kelvin.

b La mar´ee diurne K1

L’onde diurne la plus ´energ´etique dans notre zone est l’onde K1. Le plateau du golfe de Gascogne se situe au-del`a de la latitude critique de propagation des ondes de Poincar´e pour cette composante (ω < f), qui se situe `a environ 30◦

N dans le cas de la mar´ee diurne. La propagation sous forme d’ondes de Poincar´e ne devrait donc pas avoir lieu d’apr`es la th´eorie lin´eaire, et toute la propagation devrait s’effectuer sous forme d’ondes de Kelvin dans cette gamme de fr´equences. Toutefois, les termes de frottement non lin´eaires du mouvement permettent `a K1 de se propager au-del`a de la latitude critique (Sinha et Pingree, 1997).

Clarke (1991) etRobertson (2005b) d´ecrivent aussi que la propagation des mar´ees diurnes au-del`a de la latitude critique se traduit par la pr´esence d’ondes pi´eg´ees `a la cˆote `a la fr´equence sous-inertielle, aussi appel´ees ondes de plateau (”continental shelf waves”), qui sont g´en´er´ees par interaction des courants avec des irr´egularit´es de topographie. Leur signature en terme d’´el´evation de surface n’est pas remarquable, mais les courants associ´es sont eux relativement importants, ce qui en fait une zone privil´egi´ee d’´echanges entre le plateau et la plaine. Au-dessus de la latitude critique, K1 se propage aussi sous forme d’onde de Kelvin.

c L’harmonique quart-diurne M4

Une version modifi´ee de la th´eorie de BC a ´et´e appliqu´ee `a la propagation de l’onde M4 par Le Cann (1990). Elle indique une tr`es forte amplification de la mar´ee M4 `a la cˆote. Nous pr´esentons dans ce chapitre une ´etude de sensibilit´e au for¸cage aux fronti`eres pour ´etudier son impact sur cette amplification. Les courants, dont le grand axe des ellipses est perpendiculaire aux isobathes, sont en g´en´eral plus forts `a la cˆote, et changent de polarisation non loin de celle-ci. La polarisation est anticyclonique sur la partie du plateau la plus au large et cyclonique pr`es de la cˆote.

Cette onde n’a pas une origine astronomique, sa contribution est d’ailleure n´egligeable dans l’oc´ean profond. Par contre, elle ne l’est plus du tout en oc´ean cˆotier (cf figure 9.2), o`u sa pr´esence s’accompagne d’´el´evations de la surface pouvant atteindre plusieurs dizaines de centim`etres. En fait, M4 est l’onde non lin´eaire la plus importante.

La mar´ee barotrope dans le golfe de Gascogne ✁✁ ✁✁ ✂✁✂✁✂ ✂✁✂✁✂ ✄✁✄ ✄✁✄ ✄✁✄ ☎✁☎ ☎✁☎ ☎✁☎ ✆✁✆✁✆ ✆✁✆✁✆ ✝✁✝ ✝✁✝ ✞✁✞ ✞✁✞ ✞✁✞ ✟✁✟ ✟✁✟ ✟✁✟ M6 M4 M2 ^M2

Fig. 9.2 – Transform´ee de Fourier de l’´el´evation de la surface pour une mod´elisation barotrope sur 30 jours `a 6 km de r´esolution sur la zone du golfe de Gascogne ´etendue `a la baie du Mont Saint-Michel. Mise en ´evidence de M2 et des harmoniques sup´erieures associ´ees dans le spectre de mar´ee a) pour un point au-dessus de la plaine abyssale et b) pour un point situ´e dans la baie du Mont Saint-Michel. Les mar´ees sup´erieures M4 (T = 6.21h) et M6 (T = 4.14h) apparaissent dans les zones de petits fonds (M6 ´etant g´en´er´ee majoritairement par frottement des courants sur le fond et M4 par advection et continuit´e, avec une influence du terme de friction). A noter, l’´echelle logarithmique de l’axe vertical.

Source : Pairaud (2002), figure 4.3 p.30

En rempla¸cant dans l’´equation du mouvement 5.33 les courants de mar´ee barotropes par leur forme complexe et en omettant les phases, soit :

(u1, v1) = ¹

2^{Σj(u1j, v1j).(e}

−ijωt+e^ijωt) (9.7)

o`u l’indicej correspond `a une harmonique sup´erieure de M2 de fr´equence ´egale `aj×ωM2, par identification des fr´equences et d´eveloppement au premier ordre dans le domaine r´eel, on obtient notamment la relation suivante (pour plus de d´etails, le lecteur pourra se r´ef´erer au d´eveloppement complet disponible par exemple dans la th`ese de Letellier, 2004) :

2f v12cos(2ωt)−2ωu12sin(2ωt) = ¹ 2

∂u11

∂x ^{.u11 (9.8)}

D’apr`es cette relation, l’onde M4 est g´en´er´ee par advection de M2. Cependant, il s’agit de l’origine de M4 au premier ordre, dans le cas o`u on fait `a de nombreuses simplifications (absence de frottement, choix d’un potentiel astronomique monochromatique...). En r´ealit´e, les termes de frottement contribuent eux aussi `a la g´en´eration des harmoniques sup´erieures, mais dans une moindre mesure en ce qui concerne M4. Par contre, une contribution impor-tante qui intervient dans la g´en´eration de M4 est `a chercher dans l’´equation de continuit´e

terme en _∂x^∂η−→_v1

(Parker, 1991).

Andersen (1999) a fait une revue des travaux num´eriques concernant la mod´elisation de M4 et il a montr´e la pr´esence de cette harmonique dans les solutions altim´etriques issues de la mission du satellite Topex-POSEIDON.