Ferramentas para comparar o sucesso da identificação do ITD com o modelo teórico

O método ITD possui três parâmetros relacionados ao tempo decorrido na aquisição das medidas: ∆t1, ∆t2 e ∆t3. O primeiro já foi apresentado na equação (5.35) e os outros

dois foram apresentados na seção 5.5.3. Apesar de algumas sugestões dadas por Pappa e Ibrahim (1981) para limitar as escolhas desses parâmetros, eles não foi propõem uma metodologia para obtê-los de forma direta.

A fim de analisar melhor as implicações das escolhas dos parâmetros ∆t1, ∆t2 e

∆t3 no resultado da identificação, algumas ferramentas serão apresentadas com o objetivo

de facilitar a comparação dos resultados com diversos valores combinados de ∆t1, ∆t2

naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar. Assim, as ferramentas apresentadas a seguir visam dar um valor maior aos resultados que mais se aproximam de um valor ideal de referência para as frequências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar. 5.5.4.1 Constante de correlação de modos de vibrar/Critério de garantia modal

A constante de correlação de modos de vibrar (MSCC, sigla em inglês), muitas vezes também chamada de critério de garantia modal (MAC, em inglês), foi desenvolvida com o intuito de resolver a necessidade de um indicador que garantisse que vetores modais experimentais obtidos através de funções de resposta em frequência estivessem corretos.

Allemang (2003) descreve que o MAC surgiu a partir do desenvolvimento de um cálculo da função de coerência associada ao processamento da função de resposta em frequência. Ele serve para fornecer uma medida de consistência (grau de linearidade) entre vetores modais. E pode ser visto como um índice de uma comparação da análise de regressão linear entre dois (ou mais) vetores modais realizada pelo método dos mínimos quadrados. O cálculo do MAC resulta num método de garantia modal que é insensível a pequenas variações e/ou pequenas magnitudes.

O MAC assume valores de zero a um, onde “zero” representa falta total de consis- tência na correspondência entre os modos de vibrar e “um”, por sua vez, representa total consistência na correspondência entre eles. O índice do MAC é definido na equação (5.70):

M AC_kir =   (ψ i k) T (ψr k) ∗   2 h (ψi k) T (ψi k) ∗i h (ψr k) T _(ψr k) ∗i (5.70) onde ψi

k é o vetor do k-ésimo modo de vibrar identificado (ou qualquer outro que se queira

comparar com uma referência) e ψr

k é o vetor do k-ésimo modo de vibrar de referência.

O símbolo ∗ _{de um vetor (ψ}

k)

∗

denota um vetor formado pelos elementos conjugados de (ψk), de forma que o MAC também possa ser utilizado com modos formados por números

complexos.

Allemang (1981) aponta algumas aplicações para o uso do MAC, sendo uma das mais usuais verificar ou comparar um vetor modal experimental (ou obtido por simulação) em relação a um vetor modal teórico.

Neste trabalho, o MAC será utilizado para avaliar a estimação de parâmetros modais pelo método ITD ao se variar os seus próprios parâmetros, ou a função de entrada, seja uma resposta livre natural do sistema ou um resposta livre obtida através do algoritmo RD, que foi analisado na seção 5.4. Uma desvantagem do MAC é a necessidade de dispor de uma referência para que um modo seja comparado. Em casos onde não há como se obter uma referência de comparação, este índice não pode ser utilizado. Logo, o MAC será utilizado nos exemplos a seguir, onde se sabe os parâmetros modais de forma analítica, como uma ferramenta de análise do sucesso de identificação do algoritmo do ITD.

5.5.4.2 Índices de sucesso da identificação

Comparar o sucesso de uma identificação de parâmetros modais para cada dife- rente conjunto de parâmetros utilizados pode ser uma tarefa árdua, uma vez que cada identificação fornece 2n frequências naturais, 2n fatores de amortecimentos e 2n modos de vibrar.

Com esse intuito, nas equações (5.71) a (5.73) são propostos, neste trabalho, índices que sumarizam o sucesso da identificação de todas as frequências, fatores de amortecimento e modos de vibrar para todos os modos do sistema.

iω =        1 2nP2nk=1 _ωi n,k ωr n,k  se ωi n,k ≤ ωn,kr 1 2n P2n k=1 _ωi n,k ωr n,k −1 se ωi n,k > ωrn,k (5.71) iζ =        1 2nP2nk=1  ζi k ζr k  se ζi k ≤ ζkr 1 2nP2nk=1  ζi k ζr k −1 se ζi k > ζkr (5.72) iM AC = 1 2n 2n X k=1 M AC_kir (5.73)

onde iω é o índice de sucesso da identificação das frequências naturais, iζ é o índice de

sucesso da identificação dos fatores de amortecimento e iM AC é o índice de sucesso da

identificação dos modos de vibrar.

Todos esses índices possuem, dentro da somatória, fatores que variam de “zero” a “um” para cada um dos 2n valores obtidos na identificação. Portanto, cada índice não passa de uma média aritmética desses 2n valores, por onde se deduz que os índices também ficam dentro do intervalo [0, 1].

Por fim, define-se também um índice que agrupa todas as três propriedades da analise modal, frequência natural, fator de amortecimento e modos de vibrar, num único número, chamado de índice de sucesso da identificação geral is. A frequência natural e

o fator de amortecimento são grandezas escalares, enquanto que os modos de vibrar são grandezas vetoriais. Então, faz-se uma média ponderada entre os índices apresentados nas equações (5.71) a (5.73), colocando-se um peso maior na identificação dos modos de vibrar e pesos iguais para as identificações das frequências naturais e fatores de amortecimento, para manter um certo equilíbrio nos pesos entre grandezas escalares e vetoriais que formam o índice.

is= pM ACiM AC + pωiω+ pζiζ (5.74)

onde os valores adotados para pM AC, pω e pζ estão dispostos na tabela 9 .

Outro motivo que justifica um maior peso para os modos de vibrar é que um erro em um modo de vibrar de um sistema identificado em relação à referência afeta mais a resposta do sistema do que um erro na frequência natural ou no fator de amortecimento.

Tabela 9 – Valores adotados para os pesos na equação (5.74). Parâmetro Valor pM AC pω pζ 0,50 0,25 0,25

Fonte – Elaborado pelo autor.

Da mesma forma, um erro na frequência natural afeta a resposta de maneira comparável ao que um erro no fator de amortecimento causa, o que justifica a atribuição de pesos iguais para essas propriedades.