A.5 Fibrados vetoriais
A.5.2 Fibrados vetoriais com espa¸co base compacto
Um fibrado vetorial ξ = (E, π, B) cujo espa¸co base ´e compacto possui propriedades que s˜ao ´uteis no estudo da dinˆamica de fluxos lineares, semifluxos n-dimensionais e sistemas de controle definidos em E. No que segue, elencamos, sem maiores detalhes, as propriedades utilizadas nesta tese. Nos referimos a [3, 24, 38, 42, 44] para os detalhes sobre fibrados vetoriais com base compacta.
Seja ξ = (E, π, B) um fibrado vetorial de dimens˜ao k sobre R cujo espa¸co base B ´e compacto. Ent˜ao, a Defini¸c˜ao A.21 ´e equivalente `as seguintes condi¸c˜oes:
1. existe uma cobertura aberta finita {Uα : α ∈ A} e existem homeomorfismos ϕα :
π−1(Uα) −→ Uα× Rk tais que π1◦ ϕα= π.
2. as aplica¸c˜oes Lβα : Rk−→ Rk dadas por ϕα◦ ϕ−1α (b, v) = (b, Lβα(v)) s˜ao lineares, para
todo b ∈ Uα∩ Uβ.
Neste caso, a se¸c˜ao zero Z ⊂ E ´e compacta e ´e caracterizada em termos dos homeo- morfismos ϕα da seguinte forma:
Z = {e ∈ E : ϕα(e) = (π(e), 0), se π(e) ∈ Uα}.
Al´em disso, o fibrado esfera de E,
S(E) = {e ∈ E : kek = 1}, tamb´em ´e compacto.
Considere agora um produto interno h·, ·i em Rk (poderia-se considerar, na Defini¸c˜ao
A.21, um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao k ao inv´es de Rk). Uma forma bilinear positiva
definida (nas fibras) e cont´ınua em E ´e dada por he, e0i =X α∈A d(π(e), B \ Uα)he, e0iα, onde he, e0iα = hx, x0i, se e = ϕ−1 α (b, x), e0 = ϕ−1α (b, x0) e π(e) = π(e0) ∈ Uα 0, se π(e) = π(e0) /∈ Uα
Assim, definindo kek = phe, ei, para todo e ∈ E, resulta que os conjuntos compactos
Bε= {e ∈ E : kek 6 ε}, com ε > 0, (A.23)
formam uma base de vizinhan¸cas para a se¸c˜ao zero Z ⊂ E.
Al´em disso, como o espa¸co base B ´e compacto, pode-se construir uma m´etrica em E compat´ıvel coma topologia inicial de E, ou seja, o espa¸co total de um fibrado vetorial cujo espa¸co base ´e compacto e metriz´avel (veja [24, Lema B.1.12]).
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G-espa¸co, 126 principal, 127 U -vizinhan¸ca, 19 ε-vizinhan¸ca, 19 ´ Orbita, 3 negativa de um sistema Σ, 12 positiva de um sistema Σ, 12 regressiva, 3 A¸c˜ao, 2 ` a direita, 2 ` a esquerda, 2 aberta, 3 cont´ınua, 3 de semigrupo de homeomorfismos, 6 livre, 5 transitiva, 5 Aplica¸c˜ao equivariante, 63, 66
que preserva F com rela¸c˜ao `a ϕ, 62 que preserva ´orbitas, 61
uniformemente cont´ınua, 22 Atrator, 53 de Conley, 54 exponencial, 114 exponencial global, 114 fraco, 53 fraco global, 54 global, 54 uniforme, 54 uniforme fraco, 54
uniforme fraco global, 54 uniforme global, 54 Base de filtro, 31 livre, 32 Conjuga¸c˜ao com rela¸c˜ao `a ϕ, 62 orbital, 62 orbital uniforme, 62 topol´ogica, 63, 67
topol´ogica uniforme, 63, 67 uniforme com rela¸c˜ao `a ϕ, 63 Conjunto
ω-limite, 28 ω∗-limite, 28
assintoticamente est´avel, 56 das fun¸c˜oes de controle, 9 de cotrole, 9
equiest´avel, 56 est´avel, 56 invariante, 3
invariante isolado, 3 orbitalmente est´avel, 56 progressivamente invariante, 3 regressivamente invariante, 3 uniformemente est´avel, 56 Dire¸c˜ao, 25
Dom´ınio
de atra¸c˜ao, 51 de atra¸c˜ao fraca, 51 de atra¸c˜ao uniforme, 51 de atra¸c˜ao uniforme fraca, 51 Espa¸co admiss´ıvel, 18 base de um fibrado, 123 completamente regular, 20 de fase, 2 de Tychonoff, 20 total de um fibrado, 123 Fam´ılia
admiss´ıvel de coberturas abertas, 18 induzida por F , ϕ e p, 62
Fibra
de um fibrado topol´ogico, 124 t´ıpica de um fibrado associado, 132 t´ıpica de um fibrado topol´ogico, 124 Fibra¸c˜ao equivariante, 132
Fibrado
associado, 132
localmente trivial, 137 trivial, 138
esfera de um fibrado vetorial, 142 principal, 128 localmente trivial, 137 produto, 128 trivial, 137 produto, 125 topol´ogico, 123 localmente trivial, 125 trivial, 125 vetorial, 139
com espa¸co base compacto, 142 trivial, 141 Fluxo, 6 n-dimensional, 8 continuo, 7 discreto, 7 linear, 105 Fun¸c˜ao de transla¸c˜ao de um G-espa¸co, 126 Grupo de um sistema Σ, 13
estrutural de um fibrado associado, 132 estrutural de um fibrado principal, 128 Hip´oteses H1, H2, H3 e H4, 32
Homomorfismo de fibrados associados, 135 principais, 130 topol´ogicos, 123 Isomorfismo de fibrados associados, 135 de fibrados principais, 130 de fibrados topol´ogicos, 124 local de fibrados topol´ogicos, 125 Polissistema dinˆamico, 14
Primeiro conjunto limite
progressivo prolongacional, 36 regressivo prolongacional, 36 Primeiro prolongamento progressivo, 35 regressivo, 35 Rede, 25 F -divergente, 32 convergente, 25 Regi˜ao de atra¸c˜ao, 46 de atra¸c˜ao exponencial, 114 de atra¸c˜ao fraca, 46 de atra¸c˜ao uniforme, 46 de atra¸c˜ao uniforme fraca, 46 Restri¸c˜ao de um fibrado, 125 Se¸c˜ao
de um fibrado topol´ogico, 124
zero de um fibrado vetorial, 139 Semiatrator, 53 fraco, 53 uniforme, 54 uniforme fraco, 54 Semiconjuga¸c˜ao com rela¸c˜ao `a ϕ, 62 orbital, 62 orbital uniforme, 62 topol´ogica, 63, 67
topol´ogica uniforme, 63, 67 uniforme com rela¸c˜ao `a ϕ, 63 Semifluxo, 7 n-dimensional, 9 cont´ınuo, 7 discreto, 7 Semigrupo Hq, 85 Sq, 84 de bitransforma¸c˜oes, 15 de classe C0, 66 de operadores limitados, 7 de transforma¸c˜oes, 2 de um sistema Σ, 13 Sistema de controle, 9 afim, 12 bilinear, 12 linear, 11 dinˆamico, 6
Subfibrado, 123 Subgrupo de isotropia, 5 Subrede, 25 cofinal, 25 crescente, 25 Subsemigrupo, 5 Vizinhan¸ca isolante, 3