Ficha de trabalho nº 3 – Questão 2

A questão 2 da ficha de trabalho nº 3 (Anexo 2.7.) aborda a relação entre a representação gráfica da função derivada e a da função original. Os alunos nesta questão teriam que identificar qual seria a representação gráfica correspondente a cada uma das funções. Nesta questão todos os alunos identificaram corretamente as funções em causa, mas os raciocínios utilizados foram distintos. A tabela seguinte (Tabela 7) mostra os vários tipos de justificações dadas pelos alunos para resolverem esta questão.

Resposta Nº de Alunos (𝒏 = 𝟏𝟐) % de Alunos

Recorrendo à relação entre o sinal da função

derivada e monotonia da função original 7 58,3%

Recorrendo às regras de derivação 4 33,3%

Recorrendo ao número de zeros das funções 1 8,3%

Tabela 7 - Respostas dadas pelos alunos à questão 2 da Ficha de trabalho nº 3

Como se pode verificar, mais de 50% dos alunos recorreu à relação entre o sinal da função derivada e a monotonia da função original e a maioria destes conseguiu resolver e justificar corretamente esta questão. A figura seguinte (Figura 28) mostra um exemplo deste tipo de resolução, bem justificada, feita pelos alunos Carlos e João.

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Esta resolução mostra que os alunos conseguiram, através da visualização da representação gráfica das duas funções estudar o seu sinal e a sua variação de monotonia para determinar qual seria a função derivada e a função original. De seguida, apresento a resolução do Henrique (Figura 29) que também recorreu à relação entre o sinal da função derivada e a monotonia da função original, mas que a sua justificação não é totalmente esclarecedora quanto à sua compreensão desta relação.

Considero que o Henrique quando se refere que a função A, que neste caso trata-se da função derivada, atinge um ponto “𝑦 = 0” na mudança de monotonia da função original diz respeito a um dos zeros da função derivada. O Henrique expressa aqui a ideia de que quando se dá uma mudança de monotonia da função original, a função derivada atinge um zero. Embora esta justificação não seja a mais clara, na minha opinião o Henrique compreendeu o que estava em causa e consegue relacionar estas duas funções, através da sua representação gráfica.

Relativamente aos alunos que recorreram às regras de derivação fizeram- no com os conhecimentos que tinham sobre a diminuição do grau das funções polinomiais, em uma unidade, na determinação da sua função derivada. Além disso, houve também alunos que usaram o seu conhecimento das regras de derivação nomeadamente no caso da função quadrática, para determinarem que esta última não poderia ser a função original.

Vejamos em primeiro lugar um exemplo de uma resolução (Figura 30), feita pelas alunas Sílvia e Catarina que usaram o primeiro raciocínio descrito anteriormente.

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Pelo que se pode ver nesta resolução, as alunas identificaram em primeiro lugar que as representações gráficas que tinham no enunciado correspondiam a uma função quadrática e uma cúbica, pelo que a de maior grau teria de ser a função original, pois pelas regras de derivação é isso que acontece quando é determinada a função derivada. É uma resolução interessante pois mostra que estas alunas relacionam o que conhecem analiticamente, as regras de derivação, e aquilo que observaram pelas representações gráficas das funções. Além disso, mostra que estas alunas reconhecem também estas funções polinomiais através das suas representações gráficas.

A figura seguinte (Figura 31) é exemplo do segundo raciocínio que tinha descrito anteriormente, onde a aluna Margarida usa os seus conhecimentos sobre a função derivada da função quadrática.

Nesta resolução é possível verificar que a Margarida reconhece a derivada de uma função quadrática como uma função afim e como não existia uma representação gráfica de uma função deste tipo a função quadrática não poderia ser considerada a função derivada. Além deste raciocínio, a Margarida também usa a relação entre a função derivada e a função original.

Há ainda a destacar a resolução apresentada na Tabela 7 em que o aluno recorreu ao número de zeros das funções da questão 2. A figura seguinte (Figura 32) mostra essa resolução feita pelo aluno Fábio.

Figura 30 - Resposta da Sílvia e da Catarina à questão 2 da Ficha de trabalho nº 3

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Este aluno apresentou uma justificação a que mais ninguém recorreu, pois identificou as funções polinomiais de maior e de menor grau, tendo em conta o número de zeros destas. Também considero que além de estudar o número de zeros das funções, este aluno recorreu às regras de derivação que conhece quando diz que a função tem grau superior. Não é tão clara a segunda parte da resposta do Fábio quando este diz que a função derivada só tem dois zeros e “está simplificada”, mas considero que esta expressão diz respeito precisamente ao menor grau que esta função polinomial tem e por isso ser mais “simples” que a função original.

Em síntese, esta questão analisada aborda um assunto que está relacionado, mais uma vez, com a relação entre a função derivada e a função original, nomeadamente nas suas representações gráficas. De uma forma geral, considero que os alunos compreendem a relação entre o sinal da função derivada e a variação de monotonia da função original a partir da sua representação gráfica. Pelo que analisei nesta questão, todos os alunos que responderam à questão a partir desta relação justificaram as suas respostas de forma completa, o que evidencia que não veem apenas estas funções como expressões algébricas, mas que as suas representações gráficas também apresentam esta relação.

Foi interessante perceber que os alunos conhecem as representações gráficas das funções polinomiais do segundo e terceiro graus e utilizam este conhecimento aliado às regras de derivação que aprenderam na unidade didática. Isto evidencia que os alunos conseguem relacionar as regras de derivação que lhes foram apresentadas através de expressões algébricas com as representações gráficas das funções derivadas e funções originais, e que o estabelecimento de conexões entre estas duas representações é determinante

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para a análise das propriedades da função derivada num intervalo (Park, 2015) e consequentemente da função original.