Finitude Gen ´erica das Configurac¸ ˜ oes de Dziobek

A Mecânica Celeste é o estudo do comportamento de part´ıculas pontuais em R3movendo- se sob influência de atração gravitacional. O movimento destas part´ıculas é descrito por um sistema de equações diferenciais que não é integrável em geral e, por isso, são considerados casos particulares. Em 1998, inspirado na lista de problemas de Hilbert, S. Smale elaborou 18 perguntas para os matemáticos deste século. Uma delas é a seguinte:

“No problema de n corpos da Mecânica Celeste, é finito o número de classes de configurações centrais, para uma escolha de números reais positivos m1, ..., mn para as massas dos corpos?”

Nesta sec¸˜ao, obteremos uma resposta para o problema de Smale num caso particular.

Consideremos n corpos e sejam m1, ..., mn∈ R suas massas e x1, ..., xn∈ Rd suas posições. Denotemos por ri j = ||xi− xj|| a distância entre o i-ésimo e o j-ésimo corpo. O vetor x= (x1, ..., xn) ∈ Rdn é chamado configuração.

As equações que estudaremos provém das seguintes leis da f´ısica clássica:

1. Segunda Lei de Newton: Força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração. 2. Lei da Gravitação Universal: O módulo da Força Gravitacional é diretamente proporcio-

nal ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia.

Supondo que as únicas forças atuando sobre cada corpo são as forças gravitacionais pro- venientes dos demais corpos, temos a seguinte Equação Diferencial de Segunda Ordem para o movimento do i-ésimo corpo:

m_ix¨_i=

_∑

i, j

m_im_j(x_j− x_i)

r3_{i j} , i = 1, ..., n.

Para que as equac¸˜oes acima estejam bem definidas, assumimos que ri j, 0, para i , j.

Sejam M = m1+ ... + mn, 0, c =

m1x1+ ... + mnxn

M a massa total e o centro de massa dos corpos. A configuração x = (x1, ..., xn) é chamada configuração central quando os vetores aceleração dos corpos satisfazem

¨ x_i+ λ (xi− c) = 0, i = 1, ..., n ∴

_∑

i, j mj(xj− xi) r3_{i j} + λ (xi− c) = 0, i = 1, ..., n, para alguma constante λ ∈ R n˜ao nula.

A dimensão da configuração x = (x1, ..., xn), denotada por δ (x), é a dimensão do menor subespaço afim de Rd que contém os pontos xi. Uma configuração central é chamada configuração de Dziobek quando δ (x) = n − 2.

1. Se E(n) é grupo euclidiano n-dimensional (grupo das isometrias em Rn) e A ∈ E(n) então Ax é uma configuração central.

2. Se k ∈ R \ {0} então kx é uma configuração central.

e, portanto, podemos contar as classes de configurações centrais módulo rotações em torno do centro de massa c, translações e homotetias.

• Equações Polinomiais para Configurações Centrais de Dziobek

Seja x = (x1, ..., xn), com xi∈ Rd uma configuração. Uma vez que a dimensão δ (x) satisfaz 0 ≤ δ (x) ≤ n − 1, podemos supor sem perda de generalidade que d = n − 1. Associaremos a configuração x a matriz n × n

X= 1 ... 1

x₁ ... xn !

e denotaremos ω(x) = det(X ).

Temos que δ (x) = n − 2 se, e somente se, a dimensão do núcleo da transformação linear definida por X é igual a 1. Neste caso, podemos assumir sem perda de generalidade que cada x_i_{∈ R}n−2e agora X torna-se uma matriz (n − 1) × n. Consideremos ainda a matriz n × n

e X =    1 ... 1 x₁ ... xn 0 ... 0   

Seja_bx_ka configuração de n − 1 corpos obtida desconsiderando-se o k-ésimo corpo da confi- guração x e seja bX_ka matriz (n − 1) × (n − 1) associada à configuração_bx_kque é obtida retirando- se a k-ésima coluna de X .

X_k= 1 ... 1 1 ... 1

x₁ ... xk−1 xk+1 ... xn !

Segue que, a menos de sinal, as quantidades ∆k = (−1)k+1det( bXk) = (−1)k+1ω (xbk) são os cofatores das entradas na última linha de eX. Considerando propriedades do determinante, verifica-se que ∆ = (∆1, ..., ∆n) está no núcleo da transformação linear definida por X .

Lema 6.9. Denotemos por ∧ o produto exterior em Rn−2 e seja τ ( j, k) =

(

(−1)j, se k< j, (−1)j+1, se k> j.

Se j_{, k ∈ {1, ..., n} são ´ındices arbitrários com j , k e {e}1, ..., en−2} é a base canônica de Rn−2, então

τ ( j, k)(x1− xj) ∧ ... ∧ (xn− xj) = ω(bxk)e1∧ ... ∧ en−2, onde os fatores(x_k− xj) e (xj− xj) foram omitidos no primeiro membro.

Demonstrac¸˜ao. Veja Lema 2.1 na p. 7 de (16).

Consideremos as p = n(n−1)₂ distâncias mútuas ri j = ||xi− xj||, com 1 ≤ i < j ≤ n entre os ncorpos da configuração x. Denotemos si j = ||xi− xj||2e seja s ∈ Rpo vetor de coordenadas s_{i j}, com 1 ≤ i < j ≤ n. A matriz de Cayley-Menger associada a s é dada por

A(s) =          0 1 1 ... 1 1 0 s12 ... s1n 1 s13 0 ... s2n .. . ... ... ... 1 s1n s2n ... 0         

Denotamos por F(s) = det A(s), o determinante de Cayley-Menger, e por Fi j o cofator do ele- mento na i-´esima linha e na j-´esima coluna de A.

Proposição 6.2. Sejam x = (x1, ..., xn) uma configuração de Dziobek e s ∈ Rp o vetor cujas coordenadas são os quadrados das distâncias mútuas entre os corpos da configuração (como acima). Então

1. F(s) = 0;

2. Pelo menos dois cofatores principais F_ii s˜ao n˜ao nulos; 3. F_ikF_jl = F_jkF_il para todos i, j, k, l ∈ {1, ..., n + 1}

4. Fi j = k∆i−1∆j−1, para1 ≤ i, j ≤ n, onde ∆ = (∆0, ..., ∆n) é uma solução não trivial de A(s)∆ = 0. Além disso, pelo menos dois dos ∆i’s são não nulos, para1 ≤ i ≤ n;

5. Se S_{i j}= r_{i j}−3− r₀−3e r3₀= M

λ ent˜ao existem n´umeros reais z1, ..., zne k , 0 tais que S_{i j} = kzizj.

6. m_kS_ik∆l= mlSil∆k, onde Si j e ∆ks˜ao como nos itens acima.

Demonstração. Veja Proposições 1 a 3 nas p. 5 a 7 em (17) ou Proposições 2.1 a 2.4 nas p. 9

a 13 em (16).

Lema 6.10. Seja f : V → W um morfismo entre variedades quase-projetivas. Tem-se que 1. Se f ´e dominante ent˜aodimV ≥ dimW ;

2. Sedim f−1(w) ≥ d, para todo w ∈ W ent˜ao dimV ≤ dimW + d;

3. Se W é irredut´ıvel edimV ≤ dimW então existe subconjunto aberto não vazio U ⊂ W tal que se y∈ U então a fibra f−1(y) é finita.

Demonstrac¸˜ao.

1. Escolha uma componente irredut´ıvel Wj de W cuja dimensão é a maior poss´ıvel. Desde que f é dominante existe alguma componente irredut´ıvel Vi de V e subconjuntos abertos Vi0⊂ Vie Wj0⊂ Wj, tal que tem a mesma dimensão de Vie Wjrespectivamente e f : Vi0→

Wj0 é aplicação sobrejetiva. Portanto temos

dim(V )_{> dim(V}i)> dim(Wj) = dim(W ).

2. Tome qualquer componente Vi de V . A aplicação f : V → f (V ) é dominante, portanto existem subvariedades Vi⊂ V e Wj ⊂ W tais que f : Vi→ Wj é dominante. Podemos restringir a aplicação f se necessário, a subconjuntos Vi0 ⊂ Vi e Wj0 ⊂ Wj tais que f é

sobrejetiva. Pelo Teorema da Dimens˜ao das Fibras, conclu´ımos que dim(Vi) − dim(Wj)6 d.

3. É suficiente considerarmos a restrição de f às componentes irredut´ıveis Vi. Se f : Vi→ W não é dominante então o resultado é trivial por que quase toda fibra é finita. Se f : Vi→ W é dominante então pelo item 1 temos que dim(Vi)> dim(W ). Desde que dim(Vi)6 dim(W ) temos dim(Vi) = dim(W ). Restringindo f a uma aplicação sobrejetiva entre subconjuntos abertos de Zariski, segue do Teorema da Dimensão das Fibras que quase toda fibra tem dimensão zero e, em particular, é um conjunto finito.

• Finitude Genérica para Configurações de Dziobek

Consideremos x = (x1, ..., xn) uma configuração de Dziobek (isto é, a dimensão δ (x) = n − 2) e sejam ri j = ||xi− xj||, para 1 ≤ i < j ≤ n, as p = n(n−1)₂ distâncias mútuas entre os corpos da configuração. Temos que se Si j = r−3_{i j} − r₀−3, onde r3₀= M/λ , então existem k , 0, z1, ..., zn∈ R tais que Si j= kzizj.

Seja r ∈ Pp o ponto com coordenadas r0, ri j, para 1 ≤ i < j ≤ n. Assumiremos que as variáveis z1, ..., zn, definidas na proposição6.2, são complexas. Introduzindo uma variável adi- cional z0, denotamos z = [z0 : ... : zn] ∈ Pn. Se x é uma configuração de Dziobek então a igualdade r−3_{i j} − r−3₀ = kzizjimplica que o sistema de equações

r−3_{i j} − r−3₀ = zizj, para 1 ≤ i < j ≤ n, r₀−3= z20 (6.1) tem uma solução não nula z = (z0, ..., zn) ∈ Cn+1.

No complementar do conjunto singular (correspondente às configurações nas quais xi= xj, com i , j, ou M = 0) dado por

Σ = {(r, z) ∈ Pp× Pn| z0r0

∏

i< j

r_{i j}= 0},

os zeros das equações (6.1) estão contidos nos zeros das equações

z2₀(r₀3− r_{i j}3) = r3_{i j}z_iz_j, para 1 ≤ i < j ≤ n, (6.2) que s˜ao separadamente homogˆeneas em r e z.

Consideremos a subvariedade

V _{= {(r, z) ∈ P}p_{× P}n\ Σ| F(r2_{i j}) = 0 e z2₀(r3₀− r3_{i j}) = r3_{i j}z_iz_j, para 1 ≤ i < j ≤ n} que contém todas as configurações de Dziobek e também as subvariedades

V_k= {(r, z) ∈ V | zk+1= ... = zn= 0}.

Lema 6.11. Sejam ωi j∈ C, 0 6 i < j 6 n, ra´ızes c´ubicas da unidade. Ent˜ao 0 1 1 1 . . . 1 1 0 2ω12 ω13 . . . ω1n 1 2ω12 0 ω23 . . . ω2n 1 ω13 ω23 0 . . . ω3n .. . ... ... ... ... 1 ω1n ω2n ω3n . . . 0 , 0.

Demonstrac¸˜ao. Veja Lema 5.1 na p. 30 de (16).

Teorema 6.4. dimV = n − 1. Mais geralmente, dim(Vk) = k − 1 se k ≥ 2.

Demonstração. Considere a projeção π2: Pp× Pn→ Pn e note que z ∈ π2(V ) se, e somente se, as equações (6.2)

z2₀(r₀3− r_{i j}3) = r3_{i j}z_iz_j, para 1 ≤ i < j ≤ n,

tem solução r ∈ Cp+1, com todas as entradas não nulas e F(r2_{i j}) = 0. Desse modo, g_{i j}= (zizj+ z20)r3i j− 1 = 0, 1 ≤ i < j ≤ n.

Usaremos estas equações para eliminar as variáveis ri j do determinante de Cayley-Menger. Considere F e g12 como polinômios na variável r12, com todas as outras variáveis vistas como parâmetros. Seja G a resultante desses dois polinômios com respeito a r12. A resultante G é um polinômio nas variáveis (zizj+ z2₀) e ri j, diferente de r12. Se para determinados valores dos

parâmetros existe r12anulando F e g12 então para esses valores tem-se G = 0. Reciprocamente, se G = 0, com z1z2+ z2₀, 0, então existe um conjunto finito não vazio de valores para r12 tais que F = 0 e g12= 0.

As demais variáveis ri j podem ser eliminadas de maneira análoga. Após um número finito de passos obtemos um polinômio H(z) com a seguinte propriedade: Dado um valor de z, se existe ri j satisfazendo F = 0 e g12 = 0, então H(z) = 0. Reciprocamente, se z é uma solução de H(z) = 0, tal que todas as quantidades zizj+ z20, 0, então existe um conjunto não-vazio de valores de ri j tais que F = 0 e todas as equações gi j= 0.

Consideremos a seguinte variedade projetiva determinada por H(z): W0_{= {z ∈ P}n: H(z) = 0}.

As propriedades da resultante implicam que π2(V ) ⊂ W0. Para caracterizar a imagem, de- vemos observar que para determinarmos ri j dado z é necessário que zizj+ z20 , 0 e z0 , 0. Definindo o polinômio homogêneo

K(z) = z₀

_∏

i< j (z_iz_j+ z2₀) e a variedade projetiva B_{= {[z] ∈ P}n: K(z) = 0} temos que π2(V ) = W 0

\ B. Note que algumas das componentes irredut´ıveis de W0podem estar inteiramente contidas em B. Ignoraremos estas componentes e denotaremos por W a união de todas as outras componentes de W0. Seja W = Z(I), para algum ideal I e consideremos W = Z(I1) ∪ ... ∪ Z(In) uma decomposição em irredut´ıveis para W . Note que Z(Ij) ∩ B é uma subvariedade própria de Z(Ij) para todo j e, portanto, a aplicação f : V → W é dominante. Desde que toda fibra π₂−1([z]) é finita temos que dim(V ) ≤ dim(W ). Por outro lado, como π2: V → W então dim(V ) ≥ dim(W ) e, portanto, dim(V ) = dim(W ).

O resultado segue se mostrarmos que W0 é definida por uma única equação polinomial não-trivial H(z) = 0, em Pn. Portanto, toda componente irredut´ıvel de W0tem dimensão n − 1. Logo, n − 1 = dim(W ) = dim(V ). Para mostrar isso precisamos mostrar que, existe um z tal que as quantidades zizj+ z2₀são todas não nulas, mas as equações F = 0 e gi j = 0 não têm solução. Visto que H(z) é a resultante destas equações, teremos H(z) , 0. Tome zi = 0, 3 ≤ i < n. Então para 3 ≤ i, j ≤ n temos que zizj+ z2₀= 1 e as equações gi j = 0 reduzem-se a r3_{i j} = 1. Portanto si j = r2i j são ra´ızes cúbicas da unidade. Por outro lado se escolhermos z1, z2 tal que z₁z₂+ z2₀= 1/√8 então r3₁₂ = √8 e s12 = 2, que é duas vezes uma raiz cúbica da unidade. Desse modo, o determinante de Cayley-Menger é exatamente como no lema 6.11e, portanto, F(r2_{i j}_{) , 0, 1 ≤ i < j ≤ n.}

As equações m_kS_ik∆_l= m_lS_il∆_k obtidas no item6da Proposição6.2relacionam as massas com as variáveis Si j, ∆i. Multiplicando essas equações por ∆je considerando os itens4e5da Proposição6.2e também as igualdades em (6.1) obtemos

m_kz_iz_kF_jl = mlzizlFjk, onde i, k, l, j ∈ {1, ..., n} (6.3) e os ´ındices i, k, l são dois a dois distintos. Calculando os cofatores Fi j do determinante de Cayley-Menger, verifica-se que eles são polinômios homogêneos em r e, portanto, as equações obtidas acima são separadamente homogêneas nas variáveis r, z e m. Podemos então definir a seguinte subvariedade

Γ = {(r, z, m) ∈ V × Pn−1| mkzizkFjl= mlzizlFjk}.

Denotaremos por Γα as componentes irredut´ıveis de Γ e escreveremos f ≡ 0 em Γα se a função f se anula em todos os pontos de Γα, ou f . 0 caso contrário.

Chamaremos Γα de componente de Dziobek quando as seguintes duas condic¸˜oes forem satis- feitas:

1. pelo menos dois dos zi. 0 em Γα;

2. pelo menos dois dos cofatores principais Fii. 0 em Γα.

Segue-se que se Γα não é uma componente de Dziobek então Γα é irrelevante pois não contém uma configuração de dimensão n − 2.

Proposição 6.3. Se Γα é uma componente de Dziobek tal que Fil ≡ 0 em Γα, para alguma escolha dos ´ındices com1 ≤ i, l ≤ n, então mimlzizl≡ 0 em Γα.

Demonstração. Seja Fil ≡ 0 em Γα. Segue do item3da proposição6.2que FikFjl ≡ 0, para todos i, j. Como Γα é irredut´ıvel, se Fik. 0, para algum k, então, Fjl≡ 0, para todo j. Desse modo, ou todos os Fik≡ 0, ou todos os Fjl ≡ 0. Suponhamos, sem perda de generalidade, que F_jl≡ 0, para todo j. Como Γα é uma componente de Dziobek, existem dois ´ındices k tais que F_kk_{. 0. Fazendo j = k na equac}¸ ão (6.3), obtemos m_lz_iz_lF_kk≡ 0 e, portanto, m_im_lz_iz_l ≡ 0 em

Γα.

Uma componente Γ_α é chamada massa-dominante quando a projeção canônica π3: Γα → Pn−1 é uma aplicação dominante. Diremos que Γα é não-degenerada quando zi. 0 e Fi j . 0 em Γα, para todos i, j ∈ {1, ..., n}.

Teorema 6.5. Se Γ_α é uma componente de Dziobek massa-dominante entãodim Γα = n − 1. Demonstração. Como Γα é massa dominante, temos que dim(Γα) ≥ n − 1. Para provar a desigualdade contrária, consideraremos dois casos: Γα degenerada ou não-degenerada.

Suponhamos Γα não-degenerada e consideremos o morfismo regular π12 : Γα → V . Cada uma das fibras π₁₂−1(r, z) é um conjunto unitário pois as equações (6.3) determinam as massas a menos de multiplicação por constante. Segue do teorema6.4que dim(V ) = n − 1 e, portanto, pelo item 2 do lema6.10, dim Γα ≥ n − 1.

Seja agora Γα degenerada. A proposição6.3mostra que toda componente degenerada tem z_i ≡ 0 algum ´ındice 1 ≤ i ≤ n. Podemos supor sem perda de generalidade que existe algum ´ındice 2 ≤ k ≤ n tal que zi. 0 para 1 ≤ i ≤ k e zi≡ 0 para k + 1 ≤ i ≤ n. Temos então que mimlzizl . 0 para 1 ≤ i, j ≤ k e, portanto, para estes i, j, Fi j . 0. Em um subconjunto aberto de Zariski U_α, onde, zi, 0 e Fi j , 0, 1 ≤ i, j ≤ k podemos resolver a equaç ão (6.3), a menos de multiplicação por constante, unicamente para mi, 1 ≤ i ≤ k. Temos ainda que todas as equações envolvendo as massas mk+1, ..., mn são identicamente nulas, logo estas massas são arbitrárias. Considere a projeção π12 : Uα → Vk. Temos que os subespaços lineares de dimensão k − 2 L_i _{= {(m) ∈ P}n−1 : mi= mk+1, ..., = mn= 0} com i ≤ k tem intersecção vazia com as fibras π₁₂−1(z, r), (z, r) ∈ V e são espaços com a maior dimensão poss´ıvel com esta propriedade. Disto segue que todo espaço linear de dimensão k − 2 que não está contido em alguma componente de π₁₂−1(z, r), (z, r) ∈ V tem intersecção vazia com π₁₂−1(z, r), (z, r) ∈ V . Portanto a dimensão das fibras é menor ou igual a n − k. Segue do teorema 6.4 que dim(Vk) = k − 1 e, portanto, disto segue que dim(Γ_α) ≤ k − 1 + n − k = n − 1, como quer´ıamos mostrar.

Seja ΓD⊂ Γ a uni˜ao de todas as componentes de Dziobek. Se m ∈ Pn−1, definimos ΓD(m) = {(r, z) ∈ V | (r, z, m) ∈ ΓD}.

Proposição 6.4. Existe uma subvariedade própria B ⊂ Pn−1 tal que se m_{∈ P}n−1\ B então ΓD(m) é um conjunto finito.

Demonstração. É suficiente considerar cada componente irredut´ıvel Γα de ΓD. Temos que Γα pode ser massa-dominante ou não.

Se Γ_α não é massa dominante, para m ∈ Pn−1\ π3(Γα) então ΓD(m) ∩ Γα = /0. Seja B a união de π3(Γα), onde Γα não é massa dominante. Se m ∈ Pn−1\ B então ΓD(m) ∩ Γα = /0.

Se Γα é massa-dominante, então pelo teorema anterior, temos que dim(Γα) = n − 1. Desde que a projeção é um morfismo regular, o teorema segue pela parte 3 da proposição6.10.

Observação 6.1. Se uma componente Γα não é massa-dominante então π3(Γα) ∩ Pn−1_R está contida em alguma subvariedade própria de Pn−1_R .

Teorema 6.6. Existe uma subvariedade própria B ⊂ Pn−1 tal que se m _{∈ P}n−1\ B então m admite, a menos de simetrias, somente um número finito de configurações centrais de Diobek (com dimensão δ (x) = n − 2).

Demonstração. Se B ⊂ Pn−1 é a variedade da proposição6.4 então, pela observação 6.1, B_{∩ P}n−1

R ⊂ P n−1

R ´e uma subvariedade pr´opria de P n−1

R e, desse modo, temos o resultado para massas reais. Isto implica que para uma massa genérica m dada, temos um número finito de pos- sibilidades para as distâncias mútuas ri j de uma configuração de Dziobek, a menos de reescala. Desde que as distâncias mútuas determinam as configurações a menos de rotação e reflexão, o teorema está provado.

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No documento O Teorema da Dimensão das fibras e pontos não fechados (páginas 40-51)