Apresenta-se uma viga met´alica contendo um entalhe em V de 90° e sujeita `a flex˜ao pura. A defini¸c˜ao da geometria e da malha de elementos finitos, bem como os carregamentos s˜ao vistos na figura 5.16. Esta barra foi estudada por Green (1953) apud Souza Neto et al. (2008), que propˆos um limite de carregamento para este problema.
Figura 5.16: Flex˜ao de uma barra com entalhe em V: defini¸c˜ao do problema, condi¸c˜oes de geometria e discretiza¸c˜ao da malha de elementos finitos. Adaptado de Souza Neto et al. (2008).
O limite do momento por unidade de largura da barra, obtido por Green (1953) apud Souza Neto et al. (2008), para um ˆangulo de entalhe de 90° ´e definido por:
Mu = 0, 623ca2 (5.3)
onde a ´e a espessura da barra medida a partir do entalhe e c ´e a resistˆencia ao cisalhamento, definida como
c = σ0
2 (5.4)
em que σ0 ´e a tens˜ao de escoamento do material que, para esta an´alise, tem valor
de 240 MPa.
Substituindo a equa¸c˜ao 5.4 em 5.3 e utilizando o valor prescrito para a tens˜ao de escoamento e as medidas que definem a geometria da barra, obt´em-se o valor limite
para o momento, dado por
Mu ≈ 1869N.m (5.5)
Da equa¸c˜ao do momento
Mu = F h (5.6)
em que F ´e a for¸ca aplicada e h ´e a altura da barra, obtemos
F = 233625N (5.7)
que ´e o carregamento aplicado na modelagem deste problema.
Devido `a simetria existente no problema, apenas a metade da barra foi discre- tizada. As condi¸c˜oes de carregamento s˜ao impostas pela aplica¸c˜ao de um bin´ario de for¸cas, prescritas nos n´os 3 e 4. Na modelagem da estrutura foram adotados os seguintes parˆametros para o material: E0 = 210000 MPa e ν = 0, 3.
A an´alise procedeu-se com o ajuste dos parˆametros de encruamento para que o comportamento de plasticidade perfeita fosse representado, adotando-se valor zero para os m´odulos isotr´opico e cinem´atico. Na solu¸c˜ao do problema fisicamente n˜ao linear, foram adotados elementos finitos quadrilaterais de quatro n´os e o m´etodo de controle de deslocamento generalizado, com fator de carga de 2, 50 × 10−5 e tolerˆancia de 1 × 10−3. O objetivo desta an´alise ´e comparar os resultados obtidos com os modelos constitutivos elastopl´asticos de von Mises e Tresca com a solu¸c˜ao proposta por Green (1953) apud Souza Neto et al. (2008). As trajet´orias de equil´ıbrio com as solu¸c˜oes est˜ao apresentadas na figura 5.17.
O valor m´aximo para o momento de flex˜ao M/ca2 obtido com a aplica¸c˜ao do
modelo de von Mises foi de aproximadamente 0,630246, sendo 1,163% maior que o limite estabelecido por Green (1953) apud Souza Neto et al. (2008). O modelo de Tresca apresentou um valor de 0,657861 para o limite, sendo 5,595% maior que o limite, permitindo concluir que ambos os modelos implementados conseguiram representar adequadamente o comportamento de plasticidade perfeita.
Figura 5.17: Compara¸c˜ao entre o resultado de Green (1953) e os resultados obtidos pelo modelos de von Mises e Tresca.
O contorno do fluxo pl´astico obtido na solu¸c˜ao num´erica, utilizando o modelo de von Mises, est´a representado na figura 5.18 em paralelo com os resultados obtidos pelo modelo de elementos finitos de Souza Neto et al. (2008). O tra¸cado do con- torno das deforma¸c˜oes pl´asticas ilustra uma concentra¸c˜ao de deforma¸c˜oes pr´oximas `
a trinca e ilustra o mecanismo de colapso da barra.
Figura 5.18: Mecanismo de colapso da viga obtido pelo modelo de elementos finitos de Souza Neto et al. (2008), `a esquerda, e pelo modelo de von Mises implementado, `a direita.
5.3.1
Algoritmo de Retorno e M´odulo Tangente Consistente
Os algoritmos de retorno implementados s˜ao apresentados em um exemplo de flex˜ao pura. Este exemplo ilustra todos os algoritmos implementados e tamb´em a utiliza¸c˜ao do operador tangente consistente.
Para esta an´alise foi utilizada a modelagem realizada no exemplo de flex˜ao pura com o modelo de von Mises. A tabela 5.2 apresenta os dados relativos ao ´ultimo passo da an´alise do modelo para os algoritmos de retorno “Closest-Point Projection” com operador tangente cont´ınuo, “Cutting-Plane” e “Closest-Point Projection” com ope- rador tangente consistente.
Tabela 5.2: Dados do ´ultimo passo da an´alise
Algoritmo de Retorno Closest-Point Cutting-Plane Operador Tangente
Processamento (segundos) 79,332 75,528 88,728
Fator de Carga (×10−3) 1,0087699 1,008884822 1,009571372
Itera¸c˜oes 2 2 2
Analisando a tabela 5.2, podemos perceber que o algoritmo de retorno “Closest- Point Projection” com uso do operador tangente numericamente consistente apre- sentou os melhores valores com rela¸c˜ao `a convergˆencia, apresentando um est´agio de carga mais avan¸cado que os outros dois algoritmos. A figura 5.19 apresenta o console de processamento com o uso deste o algoritmo de retorno.
Figura 5.19: Console de processamento. Tra¸c˜ao direta com uso do “Closest-Point Pro- jection” e operador tangente consistente.
Analisando console de processamento, pode-se observar que este algoritmo levou 10 passos a menos para atingir o mesmo valor de carga que os outros dois algoritmos atingiram no passo final (figura 5.19). Quanto ao tempo de an´alise (levando cerca de 88,728s) e n´umero de itera¸c˜oes, esta t´ecnica mostrou-se inferior `as outras.
A tabela 5.3 apresenta a quantidade de itera¸c˜oes at´e que fosse atingida a con- vergˆencia para os passos 1, 40, 75 e 120.
Tabela 5.3: Tabela de convergˆencia
Passo Closest-Point Cutting-Plane Operador Tangente 1 3 itera¸c˜oes 3 itera¸c˜oes 3 itera¸c˜oes 40 3 itera¸c˜oes 3 itera¸c˜oes 4 itera¸c˜oes 75 2 itera¸c˜oes 2 itera¸c˜oes 4 itera¸c˜oes 120 2 itera¸c˜oes 2 itera¸c˜oes 2 itera¸c˜oes
Os algoritmos de retorno sem a utiliza¸c˜ao do m´odulo tangente apresentam com- portamentos semelhantes durante a an´alise, variando muito pouco a quantidade de itera¸c˜oes e o tempo de processamento durante os passos.
Apesar de aparentar ser mais vantajosa a utiliza¸c˜ao do algoritmo de retorno com m´odulo tangente consistente, seu uso em an´alises de estruturas mais complexas fez com que aparecessem instabilidades num´ericas. Em algumas situa¸c˜oes, o processa- mento foi interrompido subitamente.
Por essas conclus˜oes, sempre que poss´ıvel, durante as an´alises, foi utilizado o algoritmo de retorno “Closest-Point Projection” com m´odulo tangente cont´ınuo, pois este apresentou maior estabilidade entre todas as op¸c˜oes dispon´ıveis.