Prof. Luiz Ferraz Netto
Introdução
Conforme vimos na parte 1, o equilíbrio de um fluido pode ser absoluto (fluido
estacionário em relação a referencial inercial), ou relativo (fluido estacionário em relação a referencial acelerado). O problema do equilíbrio relativo será abordado no último parágrafo dessa parte 3.
Superfície livre
Entende-se por superfície livre de um líquido a superfície de separação entre o mesmo e o meio gasoso ambiente. Nos fluidos em equilíbrio não se
desenvolvem forças tangenciais; portanto:
Dado um líquido em equilíbrio, um elemento de volume do mesmo, junto à superfície livre, experimenta por parte do líquido subjacente a ação de uma força normal à superfície livre.
Da propriedade enunciada decorre a seguinte:
Dado um líquido em equilíbrio absoluto sob a ação da gravidade, a correspondente superfície livre é horizontal.
Do fato, imaginemos por absurdo que a superfície livre de um líquido em equilíbrio absoluto sob a ação da gravidade seja não horizontal, como se representa na ilustração a seguir. Junto à superfície livre, um elemento de
volume do líquido estásujeito à força de gravidade P e à força N aplicada pelo
líquido subjacente (sendo N normal à superfície livre, no ponto ocupado pelo
elemento de volume em questão).
Equilíbrio absoluto impossível: a superfície livre de um líquido em equilíbrio absoluto é neces- sariamente horizontal.
Para que a força N seja equilibrante de P é preciso que ela seja dirigida
verticalmente para cima; portanto a superfície livre é horizontal.
Esta propriedade não se aplica à superfícies livres exíguas, nas quais
adquirem importância as forças de tensão superficial; a propriedade também não se aplica à superfícies livres de líquidos em equilíbrio relativo (referencial acelerado).
A superfície livre da água em equilíbrio absoluto em um copo ou em uma
piscina pode ser considerada plana. Em marese oceanos a superfície livre
acompanha a curvatura da superfície do geóide. Em qualquer caso, a superfície livre é, em cada ponto, perpendicular ao fio de prumo no mesmo ponto.
Lei de Stevin
Consideremos um fluido homogêneo e incompressível, em equilíbrio absoluto sob a ação da gravidade, cuja aceleração local tem intensidade g. Sendo d a densidade absoluta do fluido, seu peso específico é:
γ = d.g ...(01)
Imaginemos no fluido uma superfície tubular, rígida e fixa T, obturada por êmbolos, como na figura:
Seja h a diferença de nível entre os êmbolos. Deslocando-se lentamente os êmbolos de AB para A'B' e de CD para C’D’, é nula a soma dos trabalhos das forças externas; estes trabalhos são realizados pela força de gravidade, e
pelas forças Fo e F aplicadas pelo ambiente sobre os êmbolos; o trabalho das
Lei de Stevin (1548 - 1620):
Em um fluido homogêneo e incompressível em equilíbrio sob a ação da gravidade, a pressão cresce linearmente com a profundidade; a
diferença de pressão entre dois pontos é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de nível entre os pontos considerados.
Nenhuma hipótese foi feita com respeito à forma do vaso que contém o fluido e à forma do tubo imaginário T; portanto a tese se aplica, seja qual for a forma do vaso.
Lei de Stevin: a pressão cresce linearmente com a profundidade.
Princípio de Pascal
Em um fluido em equilíbrio sob a ação da gravidade, os pontos nos quais reinam pressões iguais pertencem a superfícies denominadas superfícies de
nível; a lei de Stevin nos dá p = constante quando h = constante, logo as
superfícies da nível são horizontais.
Se a pressão po sofrer uma variação tornando-se po' , a pressão em um
ponto qualquer torna-se
p’= po' + γ.h ...(06)
Subtraindo membro a membro as igualdades (06) e (05), resulta: p' - p = po' - po ...(07)
Esta igualdade simboliza o Princípio de Pascal para fluidos pesantes:
Dado um fluido incompressível em equilíbrio sob a ação da gravidade, um incremento de pressão em um ponto qualquer é acompanhado de igual incremento em todos os demais pontos.
As teses apresentadas aplicam-se também a fluidos compressíveis, em
particular gases, contanto que as diferenças denível sejam suficientemente
pequenas para que a densidade possa ser considerada constante em relação ao nível.
Sifão
Uma primeira explicação para o funcionamento do sifão, abaixo ilustrado, pode ser dada a partir da Lei de Stevin.
Admitamos inicialmente que o sifão esteja fechado em C e completamente cheio de líquido em equilíbrio (sifão 'escorvado'). A pressão do líquido em C
é p = pat + d.g.(y-z), portanto p > pat. Quando abrirmos o sifão em C, o
equilíbrio não pode perdurar; o liquido se escoa da região de pressão maior (dentro do tubo) para a de pressão menor (fora do tubo). A altura y deve ser
inferior a pat/(d.g) sob pena de resultar líquido tenso (pressão absoluta
negativa) com risco de formação de uma bolha de vapor; esta interromperia a coluna líquida e assim faria cessar o escoamento (veja Exemplo 2).
Paradoxo hidrostático
Da lei de Stevin resulta um aparente contra-senso, denominado “paradoxo
hidrostático”. Consideremos o sistema abaixo ilustrado:
Sendo pat a pressão atmosférica, d a densidade absoluta do liquido e g a
aceleração local da gravidade, a pressão que o líquido exerce no fundo do vaso é: p = pat + d.g.h .
Sendo A a área do fundo do vaso, o empuxo resultante no mesmo é: Fres.
= (p - pat).A = d.g.h.A .
O produto h.A nos dá o volume de líquido que cabe no vaso cilíndrico imaginário de base A e altura h (indicado em linha tracejada); portanto o empuxo no fundo é igual ao peso do líquido que preenchesse aquele vaso imaginário. Assim sendo, o empuxo no fundo é maior do que o peso do líquido realmente presente, o que à primeira vista pode parecer absurdo. Para a elucidação do problema basta ter em conta as forças que as regiões
oblíquas da parede do vaso exercem sobre o liquido, e que admitem componentes verticais dirigidas para baixo.
Empuxo e pressão
Consideremos uma superfície banhada por um fluído em equilíbrio. Essa superfície pode ser imaginária (e então deve ser concebida fixa) ou real (por
exemplo, parede do vaso continente). Seja ∆A a área de um elemento dessa
superfície. Como sabemos, os fluidos não tem rigidez de forma, portanto eles não resistem estaticamente a esforços tangenciais; conclui-se dai, que as forças trocadas entre o fluido e o elemento de superfície considerado, são necessariamente normais a este.
A força ∆F aplicada pelo fluido sobre o elemento de superfície ∆A é
denominada empuxo do fluido no elemento. O empuxo em uma superfície
qualquer é resultante vetorial dos empuxos aplicados em todos os elementos daquela superfície.
Entende-se por pressão média em um elemento de superfície à intensidade
do empuxo por unidade de área:
Seja P um ponto fixo pertencente ao elemento de superfície. Concebendo elemento de superfície contendo P e cada vez menor, o correspondente empuxo também é cada vez menor. Se o elemento de superfície tender a Zero, ele no limite se reduz ao próprio ponto P; dai a definição:
Pressão em um ponto é o limite para o qual tende a pressão media quando tende a Zero o elemento de superfície que
contem o ponto:
Fig. 01. O empuxo ∆∆∆∆F de um fluido
sobre um elemento de superfície
∆∆∆∆A é normal a este.
A pressão em uma superfície se diz uniforme quando ela é a mesma em
todos os pontos da superfície. Em superfície plana submetida a pressão uniforme a intensidade do empuxo (também denominado 'força de pressão') é produto da pressão pela área:
Seja dado um fluido pesante em equilíbrio absoluto; nenhuma restrição é imposta quanto a sua natureza (compressível ou incompressível, homogêneo ou heterogêneo). Consideremos em seu seio uma superfície imaginaria e fechada (S), envolvendo uma porção fluida de volume V. Neste corpo fluido ---
como se ilustra abaixo, em (a) --- atuam a força de gravidade Pf (no baricentro
Gf) e as forças de pressão exercidas pelo fluido ambiente (na superfície S).
Estando em equilíbrio o todo, está em equilíbrio cada uma de suas partes, e em particular a parte envolvida pela superfície (S). A resultante das forças de
pressão do líquido ambiente é pois uma força I , que equilibra a força de
gravidade Pf --- ilustração (b) ---; concluímos:
A resultante I das forças de pressão que o fluido ambiente aplica na superfície (S) é vertical, dirigida para cima, com linha de ação que passa pelo baricentro Gf do fluido envolvido pela superfície (S), e com
intensidade igual ao peso do fluido envolvido.
Imaginemos que se substitua o fluido envolvido pela superfície (S) por um
corpo C de peso P e baricentro Gf quaisquer, mas envolvido pela mesma
superfície (S) --- ilustração (c). Esta substituição em nada afeta as forças de pressão exercidas sobre a superfície (S) pelo fluido ambiente; portanto, a
resultante I das forças de pressão se conserva inalterada. Esta força I que o
fluido ambiente aplica no corpo C é o empuxo resultante exercido no corpo e
é denominada impulsão ou empuxo; seu ponto de aplicação Gf é denominado
centro de impulsão.
Denomina-se fluido deslocado pelo corpo C o fluido que preenche, em equilíbrio, o espaço envolvido pela superfície (S), retirado o corpo C. Lei de Arquimedes
Do que precede concluímos a proposição originalmente apresentada por
Arquimedes (287 - 2l2 A.C.) como princípio:
Um fluido pesante em equilíbrio aplica sobre um corpo nele imerso uma impulsão de intensidade igual ao peso do fluido deslocado. O centro de impulsão coincide com o baricentro do fluido deslocado.
Temos portanto: I = Pfluido deslocado I = mfl.desl..g
I = Vfl.desl..dfl..g ...(01)
A lei aplica-se a corpo imerso. Nem todo corpo banhado pelo fluido é imerso nele. Entende-se por corpo imerso em um fluido um corpo que, se fosse retirado do fluido, deixaria um vazio que o fluido invadiria atingindo uma
situação de equilíbrio sem molhar novas superfícies.
A observância dessa condição(preencher todo o vazio e atingir situação de equilíbrio, sem molhar novas superfícies)é imprescindível para não cair no erro de aplicar a Lei de Arquimedes onde ela não cabe, com resultado
paradoxal.
O corpo em questão é dito “totalmente imerso” quando o fluido
ambiente o envolve por todos os lados; quando o fluido ambiente envolve o corpo só em parte, o corpo é dito “parcialmente imerso”. Verificação experimental da lei de Arquimedes
Para a verificação experimental da lei de Arquimedes lança-se mão de uma "balança hidrostática"; trata-se de uma balança de travessão, na qual um dos pratos é elevado e apresenta em baixo um gancho no qual se pode
suspender um corpo. No prato elevado deposita-se um vaso cilíndrico V preenchido perfeitamente por um corpo cilíndrico C ; equilibra-se a balança com tara T . Mediante um fio leve suspende-se o corpo C ao gancho, deixando o vaso sobre o prato; evidentemente isto não afeta o equilíbrio da balança --- ilustração (a).
Em seguida coloca-se sob o prato elevado um vaso com água na qual corpo
C fique completamente imerso; a água aplica uma impulsão I , que
desequilibra a balança --- ilustração (b).
Enchendo com água o vaso V restabelece-se perfeitamente o equilíbrio ---
ilustração (c) ---, portanto a impulsão I é compensada pelo peso da água que
cabe no vaso V. Ora, o peso da água que cabe em V é igual ao peso da água deslocada pelo corpo C, donde se conclui a tese. A experiência pode ser realizada também com outros líquidos (querosene, óleo, mercúrio, soluções salinas etc.).
Exemplo 1 - Uma pedra no fundo de um rio desloca 3,0 litros de água. A
massa de água deslocada é 3,0 kg; suposto g = 10 m/s2,o peso da água
deslocada é 30 N. A impulsão mede 30 N. Admitindo que a pedra tenha massa igual a 8,0 kg, seu peso é 80 N. O fundo do rio exerce sobre a pedra
uma força de apoio de intensidade igual a50 N. Ilustremos isso:
Paradoxo da Lei de Arquimedes 1- A seco apóia-se o cubo C, de aresta I, no
fundo do vaso V. As faces em contato se casam perfeitamente. Verte-se água no vaso; por hipótese, ela não se insinua por entre a base do cubo e o fundo do vaso. Nessas condições o corpo C é banhado mas não é imerso.
De fato, se ele fosse retirado a água invadiria o vazio e ficaria em equilíbrio, mas molharia uma superfície antes seca: a superfície antes coberta pela base do cubo. Portanto, a lei de Arquimedes não se aplica ao cubo. Mesmo que o cubo fosse levíssimo, por exemplo de ISOPOR, ele permaneceria apoiado no
fundo, comprimido contra ele, não só por seu peso próprio (m.g), como pelo
empuxo da água em sua face superior (p.I2), ou seja, (m.g + p.l2) é a reação
de apoio por parte do fundo do vaso. Se por leviandade ou curiosidade aplicássemos ao caso a Lei de Arquimedes (?), seria fácil concluir que o peso do sistema deveria ser inferior a soma dos pesos de suas partes (?).
Nota: p.I2é o produto da pressão pela área da face superior do cubo.
Paradoxo da Lei de Arquimedes 2- Numa face lateral de um vaso V pratica-se um
recorte no qual se encaixa perfeitamente uma roda em forma de cilindro de revolução, por hipótese giratória com pouco atrito e sem deixar frestas por onde pudesse extravasar a água vertida no vaso.
Levianamente poderíamos aplicar a Lei de Arquimedes à roda. A água deslocada (?) é a que preencheria o espaço EAB; a qual despertaria a
impulsão I que faria a roda girar em sentido horário sem modificação no
sistema; ... teríamos construído um MOTO PERPÉTUO. Resolvamos a questão.
A roda é banhada mas não imersa; se ela fosse retirada, a água não poderia preencher o espaço EAB em equilíbrio, pois ela se escoaria pelo recorte, Portanto a Lei de Arquimedes não se aplica ao caso. Completando a solução, mencionemos que o empuxo da água na roda tem uma componente
horizontal H , e que o empuxo resultante é uma força F cuja linha de ação
intercepta o eixo de revolução da roda: o momento dessa força em relação ao eixo é nulo, portanto essa força no pode por a roda a girar.
Recíproca da Lei de Arquimedes
Pode-se demonstrar a recíproca da Lei de Arquimedes:
Quando se imerge um corpo em um fluido em equilíbrio sob a ação da gravidade, o empuxo resultante do fluido sobre o vaso que o contém sofre acréscimo igual ao peso do fluido deslocado.
Verificação experimental da recíproca da Lei de Arquimedes -
(a) A carga m equilibra os vasos v e V e a água que preenche V.
(b) Imergindo o sólido S transborda para v uma quantidade de água de
volume igual ao do sólido. A balança se desequilibra.
Portanto o empuxo que o fundo de V recebe, devido ao sólido imerso S,
equivale ao peso da água que havia transbordado para v.
A lei de Arquimedes encontra inúmeras aplicações práticas:natação,
embarcações, cais flutuantes, bóias, registros de bóia para caixas d’água e carburadores, aeróstatos, tiragem de chaminés, ventilação de recintos etc.; em laboratórios, aplica-se na determinação das densidades de sólidos e líquidos.
A explicação do vento é baseada na Lei de Arquimedes: A radiação solar aquece o solo e a água, e em contato com estes também o ar se aquece. Ao aquecer-se, o ar se expande e sofre diminuição de densidade. Onde o ar for mais quente, a impulsão supera o peso, portanto o ar quente forma corrente ascendente (como o ar que sobe junto com a fumaça numa fogueira). O ar ambiente mais frio invade a região de onde se eleva o ar quente: forma-se o vento.
Fora os ventos de âmbito local há a considerar ventos que afetam o globo terrestre em conjunto e são da maior importância no ciclo das águas: de modo geral as correntes de ar se dirigem dos pólos para o equador junto ao solo, e do equador para os pólos em grandes altitudes. O vento rasteiro vai se
enriquecendo de umidade (o que contribui para reduzir a densidade do ar);a
corrente elevada arrasta essa umidade para as regiões polares, onde ela congela.
Encarada desse modo a Terra funciona como gigantesco motor térmico tendo o Sol como fonte quente, o espaço ambiente como fonte fria e o ar
atmosférico como fluido operante. Peso aparente e massa aparente
Denomina-se peso aparente de um corpo imerso em um fluido à diferença entre seu peso P e a intensidade I da impulsão nele exercida pelo fluido:
Pap = P - I ...(02)
O peso aparente mede a resultante das forças de gravidadee de impulsão
agentes no corpo; portanto ela mede também aequilibrante das forças de
gravidade e de impulsão. Tem-se Pap > 0 quando P > I , e Pap < 0 quando P
< I.
Um corpo abandonado em repouso no seio de um fluido vai ao fundo
(acelerado) quando seu peso aparente é positivo (a), aflora (acelerado)
quando seu peso aparente é negativo (b) e permanece estacionário
Entende-se por massa aparente de um corpo o quociente de seu peso aparente pela intensidade da aceleração local da gravidade:
map = Pap/g ...(03)
Dividindo a igualdade (02) membro a membro por g e, tendo-se em vista a (3), obtemos:
map = m - mfl.desl. ...(04)
Exemplo 2 - A pedra do exemplo 1 tem peso igual a 80 N e sofre impulsão de 30 N. O peso aparente da pedra é + 50 N. Isto significa que a força de gravidade e a impulsão agentes na pedra têm resultante dirigida para baixo (pois P > I), com intensidade igual a 50 N. Significa também que a equilibrante da pedra é uma força dirigida para cima, com intensidade igual a 50 N.
Ilustração abaixo, à esquerda.
Exemplo 3 - É dada uma lata vazia hermeticamente fechada, com massa m = 1,0 kg e volume V = 20 l . Determinar a intensidade F da força que é preciso aplicar à lata, para mantê-la completamente submersa em água. Adotar g =
10 m.s-2. Ilustração acima, à direita.
O diagrama vetoriaL nos dá: F = I - P
O volume da água deslocada é V; sendo d a densidade absoluta daágua,
temos: I = V.da.g
Por outro lado, temos: P = m.g
3x1000 -1) x 10 unidades SI
Então F = 190 N dirigida para baixo.
NOTA - O peso aparente da lata submersa é Pap = - 190 N.
Hidrodinâmica
No estudo da hidrostática várias definições foram apresentadas (massa, massa específica, força, pressão) e vários princípios (Stevin, Pascal, Arquimedes) foram discutidos. Todos os conceitos apresentados são de extrema importância para se compreender os fenômenos que ocorrem com os fluidos em movimento, portanto, para se estudar a hidrodinâmica
Dois são os métodos gerais para a solução desse estudo: o método de Lagrange, que consiste em acompanhar as partículas em movimento, ao longo de sua trajetória, e o de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a variação das grandezas mencionadas (velocidade, pressão, densidade, tempo).