Folhea¸c˜oes singulares de codimens˜ao 1

2.3 Folhea¸c˜oes

2.3.2 Folhea¸c˜oes singulares de codimens˜ao 1

Introduzimos o conceito de folhea¸c˜ao singular de codimens˜ao 1.

Como já vimos na proposi¸cão 2.3.3, uma 1-forma diferencial holomorfa in- tegrável, ω, definida numa variedade complexa M define uma folhea¸cão singular de codi- mensão 1 em M \ sing(ω), onde sing(ω) é o conjunto singular de ω. A grosso modo, uma folhea¸cão singular de codimensão 1 é um objeto que é localmente definido por uma 1-forma integrável.

Defini¸cão 2.3.3. Seja M uma variedade complexa de dimensão n ≥ 2. Uma folhea¸cão holomorfa singular de codimensão um é um objeto F definido por cole¸cões W = {ωα}α∈A,

U_{= {U}_α}α∈A e G = {Gαβ}Uα∩Uβ6=∅ tais que:

2.3 Folhea¸cões 39 2. ωα é uma 1-forma diferencial holomorfa integrável não identicamente nulo em Uα;

3. gαβ ∈ O∗(Uα∩ Uβ);

4. Se Uα∩ Uβ 6= ∅ temos ωα = gαβωβ.

Exemplo 2.3.3 (Folhea¸cões dadas por formas holomorfas fechadas). Sejam M uma variedade complexa de dimensão n ≥ 2 e ω uma 1-forma holomorfa fechada em M (isto é dw = 0) que não se anula identicamente. Então ω é claramente integrável e portanto define uma folhea¸cão F em M . O lema de Poincaré, garante que dado um aberto simplesmente conexo U ⊂ M , existe uma fun¸cão holomorfa f : U → C, tal que ω|U = df . Observe que se g : V → C é uma fun¸cão tal que dg = ω, onde U ∩ V é conexo e

não vazio, então g e f diferem por uma constante em U ∩ V . Desta forma, a folhea¸cão F pode ser definida localmente por fun¸cões holomorfas no seguinte sentido: existem cole¸cões U_{= {U}_α}α, F = {fα}α e C = {Cαβ}Uα∩Uβ6=∅ tais que:

1. U ´e uma cobertura de M por abertos simplesmente conexos;

2. fα é uma fun¸cão holomorfa não constante em Uα tal que dfα = ω|Uα;

3. Se Uα∩ Uβ 6= ∅ ent˜ao Uα∩ Uβ 6= ∅ ´e conexo, cαβ ∈ C e fα = fβ+ cαβ em Uα∩ Uβ.

Observe que se ω não tem singularidades, então as fun¸cões fα são submersões

e F é regular. Neste caso, se denotarmos por gαβ a transla¸cão gαβ(z) = z + cαβ então

fα = gαβ ◦ fβ, de forma que F pode ser descrita por submers˜oes locais com na defini¸c˜ao

2 da proposi¸cão 1, sendo que no caso as gαβ são transla¸cões.

Dizemos então que F tem uma estrutura transversal aditiva. No caso em que sing(ω) 6= ∅, vemos que F tem uma estrutura transversal aditiva em M \ sing(F). Reciprocamente, se F é uma folhea¸cão com estrutura transversal aditiva em M \ sing(F) e tal que cod(sing(F)) ≥ 2 então F pode ser definida por uma 1-forma holomorfa fechada.

Cap´ıtulo

3

Defini¸c˜ao e Exemplos

Na primeira se¸cão do cap´ıtulo, apresentamos o conceito de d-teia e mostramos com vários exemplos como elas surgem em diversos ramos da matemática. Come¸camos com o caso bidimensional, ou seja, as teias planas, definidas em um aberto contendo a origem de R2

ou C2_{. Em seguida, embora n˜ao seja o foco de nosso trabalho, definimos as teias multidi-}

mensionais. Como dissemos no cap´ıtulo 1, Alain Hénaut iniciou o estudo de teias dentro de um quadro anal´ıtico complexo. Seguimos a mesmo linha, e as principais referências para este cap´ıtulo são as teses de doutorado de dois de seus alunos: a tese de Olivier Ripoll em [R] e a tese de Luc Pirio em [P].

3.1 Teias Planas

Seja Ω ⊂ C2 _{um subconjunto aberto e simplesmente conexo, onde estamos supondo que}

0 ∈ Ω. A defini¸cão de uma d-teia regular sobre Ω faz uso apenas dos conceitos de folhea¸cão e posi¸cão geral.

Defini¸cão 3.1.1. Uma d-teia regular sobre Ω ⊂ C2 _{é uma fam´ılia de d folhea¸cões holo-}

morfas por curvas regulares (superf´ıcies de Riemann lisas), W(d) = {F1, . . . , Fd}, sobre Ω

tais que para todo ponto p ∈ Ω, a fam´ılia {TpFi, i = 1 . . . d} de subespa¸cos de TpΩ est´a

em posi¸c˜ao geral.

Em outras palavras, uma d-teia regular sobre Ω ⊂ C2 _{nada mais ´e que uma}

fam´ılia de folhea¸c˜oes por curvas de Ω, em que as curvas da folhea¸c˜ao se intersectam transversalmente.

3.1 Teias Planas 42 0 1 2 ... d

Figura 3.1: Uma d-teia sobre Ω

Faremos a liga¸cão de alguns resultados básicos sobre folhea¸cões, apresentados no cap´ıtulo 2, com a defini¸cão de teia, afim de estabelecer a linguagem e nota¸cões utilizadas neste trabalho. Sendo assim, seja O = C{x, y} o anel das séries convergentes de duas variáveis complexas com coeficientes em C. Seja também W(d) = {F1, . . . , Fd} uma

d-teia definida em um aberto Ω ⊂ C2 _{contendo a origem. Recordemos (proposi¸c˜ao 2.3.1)}

que dada uma folhea¸cão regular F de C2_{é sempre poss´ıvel obter uma submersão F , tal que}

as folhas de F s˜ao dadas pelas curvas de n´ıvel da submers˜ao F , ou seja, {F (x, y) = cte}. Assim, usualmente denotamos uma d-teia por W(d) = {F1(x, y), . . . , Fd(x, y)}.

Utilizando a linguagem do cálculo exterior, a hipótese de posi¸cão geral satisfeita pelas folhas de W(d), na origem, é expressa da seguinte forma:

dFi(0) ∧ dFj(0) 6= 0 para 1 ≤ i < j ≤ d.

Uma outra forma de denotar uma d-teia é utilizando formas diferenciais, as formas de Pfaff. Vimos que para toda folhea¸cão holomorfa F de codimensão 1 em C2_,

existe uma 1-forma diferencial ω ∈ Λ1(Ω), tal que a folha de F que passa pelo ponto p ∈ Ω é obtida pela integral primeira de ker(ω(p)). Assim, denotamos também uma d-teia por W_{(d) = {ω}₁_{, . . . , ω}_d}. Portanto, a menos de um elemento invert´ıvel de O, os objetos fundamentais que definem a d-teia W são as 1-formas diferenciais seguintes:

         ω1 = ∂x(F1)dx + ∂y(F1)dy ... ωd = ∂x(Fd)dx + ∂y(Fd)dy

3.1 Teias Planas 43 ou ainda os d campos de vetores

         X1 = ∂y(F1)∂x− ∂x(F1)∂y ... Xd = ∂y(Fd)∂x− ∂x(Fd)∂y

onde ∂x e ∂y denotam os operadores diferenciais _∂∂_x e _∂∂_y usuais. Neste caso, as folhas da

teia s˜ao as curvas integrais destes campos de vetores.

Exemplo 3.1.1. A teia H(3) = {x, y, x + y} ´e uma 3-teia sobre C2 _{(veja um esbo¸co real}

da teia na figura 3.2). Este ´e um dos exemplos mais simples de uma 3-teia em C2 _com

caracter´ısticas muito importantes. Como veremos mais adiante, esta é uma teia linear, algebrizável, de posto máximo e hexagonal. Todos os termos anteriores em destaque serão explicados mais tarde, bem como as rela¸cões entre estes conceitos.

Figura 3.2: H(3) = {x, y, x + y}

Observa¸c˜ao 3.1.1. Denotamos a teia anterior por H(3) pelo fato dela ser hexagonal. Em geral, como veremos, denotaremos as teias lineares por L(d) e as teias algebriz´aveis por A_(d).

Ampliaremos agora nossa defini¸cão de teia para incluir teias com singularidades. Se W(d) = {F1(x, y), . . . , Fd(x, y)} é uma fam´ılia de folhea¸cões holomorfas singu-

lares sobre Ω, diremos que p ∈ Ω é um ponto genérico de W se p é ponto regular para Fi(x, y) para todo i = 1 . . . d.

Defini¸c˜ao 3.1.2. Uma d-teia singular sobre Ω ´e uma fam´ılia W(d) = {F1(x, y), . . . , Fd(x, y)}

de folhea¸cões holomorfas singulares sobre Ω tais que, para todo ponto genérico p ∈ Ω, a fam´ılia {TpFi, i = 1, . . . , d} de subespa¸cos de TpΩ está em posi¸cão geral.

3.1 Teias Planas 44 Podemos, ent˜ao, definir o conjunto singular de uma d-teia:

Defini¸c˜ao 3.1.3. Seja W(d) = {F1(x, y), . . . , Fd(x, y)} uma d-teia singular sobre Ω. O

conjunto singular de W(d), denotado por P[W], ´e a reuni˜ao das singularidades sing(Fi)

das folhea¸cões Fi e dos pontos de Ω nos quais a hipótese de posi¸cão geral não é satisfeita.

E claro que uma teia sobre Ω é regular se, e somente se, seu conjunto singular é vazio. Além disso, quando não dissermos explicitamente que uma teia é singular, estamos supondo a teia regular. Se F1 e F2 são duas folhea¸cões sobre Ω denotamos P[F1, F2] o

conjunto dos pontos de Ω onde as folhas de F1 e F2 n˜ao s˜ao transversais. Portanto, se

W(d) = {F1(x, y), . . . , Fd(x, y)} ´e uma d-teia sobre Ω temos

X [W] = [ Fi∈W sing(Fi) [ [ F,F′_{∈W, F 6=F}′ X [F, F′]

Exemplo 3.1.2. Consideremos o espa¸co CP2 e denotemos por CP1_∞ a reta {[x : y : z] ∈ CP2 _{| z = 0} como sendo a reta no infinito. Ent˜ao W = {x, y, x}2 _{+ y}2_{} ´e uma 3-teia}

singular sobre CP2. O conjunto singular de W é a reunião de três retas: X

[W] = CP1∞∪ {(x, y) ∈ C2| xy = 0}

Novamente, um esbo¸co real desta teia numa vizinhan¸ca da origem de R2 _est´a

na figura

Figura 3.3: A teia singular W(3) = {x, y, x2_{+ y}2_{} e seu conjunto singular}

Exemplo 3.1.3. Esbo¸car a teia W(3) = {2xdx + dy, dx + dy, ydx + xdy}. Neste caso, temos que a 3-teia ´e definida pelas formas de Pfaff: ω1 = 2xdx + dy, ω2 = dx + dy e ω3 =

3.1 Teias Planas 45 Assim temos:          R ω1 = 0 ⇔ R 2xdx +R dy = 0 R ω2 = 0 ⇔ R dx +R dy = 0 R ω3 = 0 ⇔ R ydx +R xdy = 0 ⇔          F1(x, y) = x2+ y F2(x, y) = x + y F3(x, y) = xy

Trata-se de uma teia singular. De fato, a origem P = (0, 0) ´e uma singularidade da folhea¸c˜ao F3 e, portanto, uma singularidade da 3-teia W.

Al´em disso as folhas de F1 e F3 tangenciam-se ao longo da par´abola 2x2 = y.

De fato

(2x, 1) = λ(y, x) ´e satisfeita para λ = _x1.

Tamb´em temos que F2 e F3 tangenciam-se ao longo da reta y = x. De fato,

(1, 1) = λ(y, x) ´e satisfeita para λ = 1_y.

No documento Geometria de teias (páginas 38-46)