e I o tensor identidade definido como:
3.5 Modelo de Fechamento para o Tensor de Interface
3.5.1 Força de Pressão
Um detalhe foi mantido à parte por raramente ser empregado nos modelos. A densidade de força interfacial muitas vezes mesmo sem a prescrição de modelos constitutivos é separada em duas parcelas, uma devida às tensões viscosas e modelada aqui, e uma devido à força de pressão, ou componentes normais de tensão do tensor tensão que ainda atuam mesmo o fluido estando estagnado. O termo em questão é o seguinte:
(
pi−pα)
∇rα , (257) onde pi é a pressão sobre a interface, e pα a pressão da fase α ; e, de acordo com Drew (1983), a pressão pode ser calculada por2
i
p pα χα rα rα
−
= ∇ ⋅ ∇ ∇ . (258)
E de acordo com Lamb (1895), a diferença de pressão interfacial, pelo menos em um escoamento potencial, é obtida por
i pi rel
onde o coeficiente da Força de Pressão,C , depende das condições p
do escoamento. Mas em condições isocóricas ou fluidos incompressíveis, na ausência de expansões e/ou contrações da bolha leva a um equilíbrio de pressão ao nível microscópico muito rápido, e C pode ser feito igual a zero, ou seja, a força de pressão é p
desprezível ou mesmo nula (TROSHKO e HASSAN, 2001b).
A maneira como se apresenta a Equação (259) é muito similar a da Força de Arrasto, e sua associação física com a atuação do campo de pressão na interface remete ao efeito de arrasto de forma, que indiretamente já está presente na equação constitutiva da Força de Arrasto propriamente. E ainda a parcela − ∇p ri αque descreve a força média de pressão entorno da bolha é também referida como força de flutuação.
Esta parcela é desconsiderada neste trabalho pelas razões descritas e pela assertiva do compartilhamento do campo de pressão no fechamento do sistema de equações.
3.6 Considerações Finais
Foi apresentada uma das formas de obtenção das equações de conservação da massa, quantidade de movimento, bem como a sua fundamentação física e matemática.
Assinala-se que a formulação matemática descrita de escoamentos multifásicos não é a única e figura entre tantas outras, como as de promediação espacial ou temporal, modelos unidimensionais com promediação na seção para escoamentos em dutos, método de volumes de controle, etc. A apresentada aqui é tida por este autor a mais bem detalhada em seu formalismo na literatura sem apresentar inconsistências ou violações de conceitos precípuos da Mecânica dos Fluidos, além de considerá-la mais elegante do ponto de vista matemático.
O modelo proposto é em sua fundamentação muito simples quando comparado aos demais mecanismos de transferência interfacial apresentados até aqui, apesar de sua forma matemática o apresentar de forma um pouco mais complexa, pois trata de grandezas tensoriais, vetoriais e escalares em conjunto.
Espera-se que este Capítulo permita ao leitor o entendimento matemático necessário à compreensão do trabalho e de outros similares
CAPÍTULO
4
4 MÉTODO
NUMÉRICO
formulação numérica é apresentada neste Capítulo o que inclui o Método de Volumes Finitos Baseado em Elementos, ou EbFVM, empregado na solução do sistema de equações diferenciais deduzidas no Capítulo 3, e alguns detalhes da implementação do código comercial ANSYS CFX. A literatura disponível sobre o método EbFVM é bem conhecida e não há a necessidade de se repetir o que já se encontra bem documentado. Apenas os princípios e fundamentos que permitem a compreensão conceitual do método são abordados. Sugere‐se a leitura de Maliska (2004), Cordazzo (2006) e Keller (2007), para se apreender detalhes intrínsecos da implementação do método, além da ampla revisão bibliográfica apresentada pelos três trabalhos.
A todo usuário de códigos comerciais é bem conhecida a dificuldade em se saber o que o programa faz, e como ele o faz, mesmo quando a base teórica seja bem conhecida, cada programador tem suas formas de interpretar a filosofia de cada método e maneiras de o transcrever para o código fonte (C, C++,
FORTRAN, Matlab, etc.), desenvolvendo um algoritmo que se julga o melhor para a situação. Em simuladores comerciais isso não é diferente e segue ainda o fato destas artimanhas serem muitas vezes segredos comerciais e muito pouca ou nenhuma informação é dada nos manuais. E algumas destas metodologias numéricas são responsáveis pelo sucesso ou não do código. Mas raramente estas informação são abordadas em teses, dissertações e mesmo artigos de periódicos de confiança sendo que a metodologia numérica resume‐se a indicar qual código comercial foi usado. Esta filosofia em um trabalho de cunho experimental não seria tolerada de maneira alguma, pois como se reproduzir os resultados se a maneira exata pela qual eles foram obtidos não é abordada?
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Este autor acredita que o mesmo cuidado e zelo devem ser dados quando uma metodologia numérica é empregada, e muitos analistas numéricos sabem da dificuldade em se reproduzir alguns trabalhos publicados por falta de indicadores de o que foi e o que não foi empregado, pois os simuladores comerciais são tratados como caixas pretas de onde os resultados emergem sem se saber o que ele fez. E, sendo este um trabalho científico, estes detalhes não podem ser ignorados, pois nenhum trabalho científico é crível se as bases para a sua reprodução não puderem ser conhecidas por outros pesquisadores. E isto deve ser assim, independentemente do uso simulador ANSYS CFX,FLUENT ou outro qualquer.
Algumas informações deste Capítulo não estão disponíveis nos manuais do ANSYS CFX, sendo informações obtidas ao longo de alguns anos de emprego do software, muitas conversas com representantes, e algumas vezes com os próprios idealizadores de alguns modelos e da implementação numérica do programa em vários países. Obviamente, as informações fornecem apenas uma base conceitual do quê e para quê foram idealizadas, e nem todos os detalhes estão disponíveis, pois as leis de direitos autorais e patentes comerciais devem ser respeitadas. Mas ainda assim, as informações aqui descritas das abordagens do código ANSYS CFX permitem sua implementação in house, ou o seu emprego em outros simuladores, pois toda a fundamentação numérica é de conhecimento aberto.
Alguns dos tópicos abordados como condições de contorno, por exemplo, por estarem muito intimamente relacionados à implementação numérica e ao simulador ANSYS CFX, são tratadas aqui ao invés de apresentá-los como parte da modelagem matemática.
4.1 Introdução
O método de volumes finitos baseado em elementos é uma evolução natural do método de volumes finitos clássico para malhas não estruturadas e geometrias de qualquer natureza; de sistemas coordenados ortogonais de qualquer natureza e malhas
estruturadas16, passando por sistemas de coordenadas
generalizadas e curvilíneas, culminando com a formulação baseada em elementos, ou seja, a presente.
O EbFVM é uma associação entre o método clássico de balanços de volumes de controle, ou volumes finitos, muito utilizado na solução de escoamentos e transferência de calor por sua natureza conservativa, com a versatilidade geométrica e teoricamente muito bem fundamentada do método de elementos finitos, FEM, muito usado em problemas estruturais. O uso em um campo ou outro pode ser efetuado em qualquer problema, assim como tantos outros como diferenças finitas, elementos de contorno, colocação ortogonal, etc., pois são todos uma classe de métodos variacionais derivados do método de resíduos ponderados onde a diferença entre eles reside na função peso utilizada. A Figura 43 apresenta um diagrama relacionando os métodos e suas diferenças.
A função comum de todos estes métodos é reduzir este sistema a um conjunto de equações algébricas, e assim, resolvê-lo por alguma metodologia numérica apropriada, quando da dificuldade ou mesmo na impossibilidade da obtenção de uma solução analítica fechada de um sistema de equações diferenciais, Tal solução é uma aproximação da solução exata e ainda descontínua, ou seja, discreta e associada a regiões pré- determinadas que de acordo com a natureza do método, podem ser os pontos de colocação, volumes de controle, elementos, nós, etc., ou seja, a solução numérica é dada a um conjunto de pontos ou regiões discretas, ou finitas. A este artifício denomina-se discretização.
O sistema de equações algébricas é então uma aproximação discreta do sistema de equações diferenciais original. E, quando o número de elementos discretos aumenta e a distância h que os separa tende a zero, o conjunto de equações algébricas deve retornar à formulação diferencial que a originou. A esta propriedade do método de discretização denomina-se consistência, e nem todos a possuem. Consistência é uma condição necessária para que um sistema de equações algébricas resultante convirja para uma solução. Este cuidado é observado no método EbFVM. A Figura 44 ilustra estes dois conceitos.
16 O conceito de malha estruturada não deve ser confundido com malha
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Figura 43. Diagrama das principais diferenças dos métodos numéricos.
Figura 44. Representação gráfica da discretização e da consistência de um
método numérico.
O EbFVM é um método de volumes finitos, assim, um volume de controle deve ser usado para a integração local das equações diferenciais. O volume de controle é a região, uma entidade geométrica discreta, onde os balanços são efetuados. Portanto, dado um domínio de cálculo, este deve ser geometricamente subdividido em elementos discretos menores, sub-regiões. A estrutura resultante denomina-se malha. Os pontos de intersecção da malha são denominados nós.
O volume de controle pode ser definido de duas maneiras: cell vertex ou cell center. A formulação cell center é aquela onde o elemento é o próprio volume de controle com o seu centro no centro da célula, enquanto que na formulação cell vertex, o centro do volume de controle é posicionado em torno dos nós, os vértices das células. O método EbFVM utilizado tem uma formulação cell vertex.
A Figura 45 ilustra a discretização de um domínio de cálculo bidimensional. A malha apresentada pode também ser usada pelo método de diferenças finitas ou elementos finitos, sem a necessidade de se definir um volume de controle.
Pode-se pensar que a malha é um ente à parte do método numérico que se pretende empregar, mas isso não é um conceito que se possa generalizar. Muitos problemas ou modelos matemáticos requerem certas características para uma boa representação da física do fenômeno, e muitas vezes manter a estabilidade da solução numérica. Sendo a estabilidade o 2º critério necessário a convergência. Logo, a geração de malha está implicitamente relacionada a um bom resultado de uma simulação. Malhas mal projetadas dificultam ou mesmo impossibilitam a boa aplicação de um método numérico.
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