3. Teorias topológicas e quase topológicas
3.2. Formalismo diagramático e diagramas coloridos
Existe uma relação um a um entre uma álgebra associativa e semi-simples e uma teoria topológica na rede [FHK94, CFS94, CKS98]. É mostrado que á uma relação entre a invariância topológica e as álgebras de Hopf. Em [Kup91, Kup97] Kuperberg define os invariantes quando a álgebra de Hopf é involutória e não involutória respectivamente. Neste trabalho usaremos a álgebra como involutória.
A seguir damos as propriedades básicas de uma álgebra de Hopf. Usamos a linguagem diagramática fornecido por Kuperberg a qual é útil para representar as propriedades
32 TEORIAS TOPOLÓGICAS E QUASE TOPOLÓGICAS
básicas deste tipo de álgebras. Muitas das demostrações estão no apêndice A ou podem se encontrar em [Kup91, KR99]2. Feito isso definiremos diagramaticamente os tensores M,∆ e S.
3.2.1. Resumo diagramático de álgebras de Hopf
A estrutura de uma álgebra de Hopf A está fornecida pelo produto m : A ❜ A Ñ A , a unidade e : K Ñ A , o co-produto ∆ : A Ñ A ❜ A , a co-unidade ǫ : A Ñ 1, e a
(a) Pro- duto. (b) Unidade. (c) Co- produto. (d) Co- unidade. (e) An- típoda.
Fig. 3.7. Formalismo diagramático.
antípoda S : A Ñ A . Eles são representados como na figura 3.7. As setas entrando simbolizam o produto e são lidas no sentido anti-horário e as setas saindo simbolizam
(a) (b)
Fig. 3.8. Representação dos tensores mijk e ∆jki , nas figuras 3.8(a) e 3.8(b) respectiva-
mente.
o co-produto e são lidas no sentido horário. As constantes de estrutura mk ij e ∆
jk i para
álgebra e co-álgebra estão fornecidas pelas expressões m♣φi❜ φjq ✏ mijkφk,
(3.1a)
∆♣φiq ✏ ∆jki φj ❜ φk,
(3.1b)
representadas nas figuras3.8(a) e 3.8(b). A relação entre o produto (A.5) é representada na figura 3.9. As propriedades da antípoda diagramaticamente estão representadas pelas
Fig. 3.9. Relação entre produto e co-produto.
figuras 3.10(a)a 3.10(d).
(a) m✆ ♣S ❜ 1q ✆ ∆ ✏ e ✆ ǫ. (b) m✆ ♣1 ❜ Sq ✆ ∆ ✏ e ✆ ǫ.
(c) S♣φi☎ φjq ✏ S♣φjqS♣φiq. (d) S♣φi❜ φjq ✏ S♣φjq ❜ S♣φiq.
Fig.3.10. Representação diagramática das propriedades da antípoda.
Como dito com o formalismo diagramático podemos mostrar propriedades muito in- teressantes da álgebra de Hopf. Para uma álgebra de Hopf involutória S2 ✏ 1 como a
usada aqui, vamos numerar algumas das propriedades importantes. Elas são provadas no apêndiceA
1. Contração co-integral, integral ∆ij i m
k jk,
Fig.3.11. A contração entre os tensores ∆ij
i e mjkk fornece a dimensão da álgebra dim♣A q.
2. mi ij ✏ m j ij, Fig.3.12. Os tensores mi ij e m j ij são iguais. 3. ∆ij i ✏ ∆ ij j, Fig. 3.13. Os tensores ∆ij i e ∆ ij j são iguais.
4. Identidade que relaciona os tensores M, ∆ e S
34 TEORIAS TOPOLÓGICAS E QUASE TOPOLÓGICAS
(a) Tensor Ma1a2☎☎☎an. (b) Tensor ∆
b1b2☎☎☎bm.
(c) Traço m j
ij. (d) Cotraço ∆
ij i .
Fig. 3.15. Representação diagramática dos tensores Ma1a2☎☎☎an and ∆
b1b2☎☎☎bk.
3.2.2. Tensores associados a curvas
Por meio da associatividade e co-associatividade os tensores Ma1a2☎☎☎an e ∆
b1b2☎☎☎bm podem
ser definidos diagramaticamente como nos diagramas3.15(a)e 3.15(b), sendo definidos o traço, mj
ij e co-traço ∆ ij
j como nos diagramas 3.15(c) e 3.15(d).
3.2 Lema.
Os tensores Ma1☎☎☎an e ∆
b1☎☎☎bm representados por 3.15(a) e 3.15(b), respectivamente, são
ciclicamente simétricos. Ђ
Demonstração. A ideia é mostrar que os tensores3.15(a)e3.15(b)podem ser representados pelos diagramas 3.16(a)e 3.16(b), respectivamente. Para o tensor Ma1a2☎☎☎an, a prova está
(a) Tensor Ma1a2☎☎☎an. (b) Tensor ∆
b1b2☎☎☎bk.
Fig. 3.16. Outra representação diagramática dos tensores Ma1a2☎☎☎an e ∆
b1b2☎☎☎bk.
baseada na associatividade da álgebra. Somente note a seqüência dos diagramas3.17(a)e 3.17(b). Vemos que a última seta à esquerda é a mesma que a primeira na figura3.17(b). Juntando essas duas setas, temos a prova.
Para o tensor ∆b1b2☎☎☎bk, usamos um argumento semelhante com a co-associatividade da
álgebra. End
O lema anterior garante que os tensores M e ∆ são cíclicos tal como desejamos que eles sejam para descrever polígonos e dobradiças conforme na seção precedente [Ale01]. Com a notação tensorial definida, forneceremos um peso relacionado às faces (curvas azuis) e links (curvas vermelhas) da triangulação num diagrama colorido ou de Heegaard.
(a) Definição do traço. (b) Associatividade da algebra.
Fig.3.17. Prova diagramática da invariância do tensor Ma1a2☎☎☎an por permutações cíclicas
de seus índices.
Naturalmente podemos associar o tensor M para as curvas azuis e o ∆ para as curvas vermelhas. Por cada face e link estarem orientados, as curvas azuis e vermelhas devem estar também orientadas. O tensor Ma1☎☎☎an associado a cada curva azul representará os n
cruzamentos com curvas vermelhas. Analogamente é definido um tensor ∆b1☎☎☎bm associado
a cada curva vermelha, sendo m o número de cruzamentos com curvas azuis. Note que por M e ∆ serem cíclicos, não importa a ordem desses cruzamentos. Igualmente, como é bem conhecido, a orientação das faces e links não deve mudar o valor da função de partição. Definamos agora como é considerada a orientação relativa curva azul (face) curva vermelha (link): seja P o ponto de cruzamento entre curvas3 e sejam ~t
a e ~tv os
vetores tangentes às curvas azuis e vermelhas em P . Se ˆn é o vetor normal da superfície ❇H, temos dois possíveis casos sob o produto vetorial ~ta✂ ~tv e as contrações de tensores
entre M e ∆
1. ˆn e ~ta✂ ~tv são paralelos segundo a regra da mão direita, figura 3.18(a).
2. ˆn e ~ta✂ ~tv são antiparalelos segundo a regra da mão direita, figura 3.18(c).
(a) Cruzamento. (b) Tensor associ- ado.
(c) Cruzamento. (d) Tensor associado.
Fig.3.18. 3.18(a), 3.18(b). Cruzamentos de curvas com sentido paralelo e contração de tensores. 3.18(c), 3.18(d). Cruzamentos de curvas com sentido antiparalelo e contração de tensores. Colocamos a antípoda.
Note que introduzimos o tensor S em 3.18(d) para representar a orientação relativa à curva azul vermelha. No caso em que as curvas se cruzam duas vezes como na figura 3.19(a), usamos os diagramas 3.18(b) e3.18(d) para escrever o tensor 3.19(b)4.
3Lembre que duas curvas da mesma cor não se cruzam.
4O número de setas entrando a M (saindo de ∆) é o número de curvas vermelhas (azuis) que cruzam
36 TEORIAS TOPOLÓGICAS E QUASE TOPOLÓGICAS
(a) Dois cruza- mentos.
(b) Tensor associado a curvas entrelaçados.
Fig. 3.19. Cruzamentos e contração de tensores.
Até aqui vimos como é possível descrever uma teoria de rede topológica. Porém, ainda não definimos como contribuem numericamente os tensores M e ∆. Em [FHK94], Fukuma, Hosono, e Kawai mostram que toda a informação física relevante está relacionada com o centro da álgebra considerada. Seja ρ♣φiqkj a representação regular de um elemento φi
da algebra, onde será representada sem ambiguidade somente pelo mesmo φi. O tensor
M estará relacionado com o centro da álgebra mediante o elemento z e o tensor ∆ com o co-centro da álgebra (dual) denotado por ζ da seguinte maneira
Ma1a2☎☎☎an ✏ tr♣zφa1φa2☎ ☎ ☎ φanq,
(3.2)
∆b1b2☎☎☎bk ✏ cotr♣ζφb1φb2☎ ☎ ☎ φbmq,
(3.3)
sendo φi e φj os elementos da base de A e seu dual A✝ respectivamente (ver apêndice
A). Os tensores generalizados M e ∆ fornecidos pelos diagramas 3.15(a) e 3.15(b) são
(a) Definição geral de M. (b) Definição geral de ∆.
Fig. 3.20. Os tensores M e ∆ são redefinidos usando o centro e co-centro da álgebra. representados agora pela figura3.20. Por ser z (ζ) um elemento do centro (co-centro), M (∆) será ciclicamente simétrico como se espera ao construir uma LTFT.