Este capítulo, preparatório para a fórmula de mudança de variáveis, contém idéias fundamentais para tudo que será feito no resto do texto. Aqui co- meçamos realmente a entrar no centro de nosso assunto. Boa parte de seu conteúdo é, usualmente, discutido nos cursos de Álgebra Linear; no entanto, talvez seja útil encará-lo de um ponto de vista mais próximo da integração . A questão básica é a seguinte: dado um espaço vetorial E de dimensão N , que opções temos se quisermos criar uma “forma de medir” sólidos em E que seja “coerente” com a estrutura algébrica de E ?
Colocando a coisa de maneira menos abstrata, considere o seguinte pro- blema: sejam u = (u1, u2) e v = (v1, v2) vetores em IR2; calcule a área do
paralelogramo de vértices 0, u, v e u+v. Atenção: não venha com argumentos geométricos, queremos a medida de A = {su + tv, (s, t) ∈ [0, 1] × [0, 1]}, conforme definida nas seções anteriores !
O melhor que podemos fazer para evitar o vexame de cobrir A por retângu- los é imitar a demonstração da Geometria (que é um pouco menos simples do que parece) ou usar os teoremas de Fubini e Fundamental do Cálculo (e considerar todos os casos possíveis).
A u1+ v1 v1 u1 u2 v2 ~u ~v ~u + ~v u2+ v2 ϕ X ϕ(X) A ϕ(A)
Supondo u1, v1, u2, v2 positivos e v2 > u2, por exemplo, teremos
µ(A) = Rv1 0 v2 v1xdx + Ru1+v1 v1 h v2+ uu2 1(x − v1) i dx− −Ru1 0 u2 u1xdx − Ru1+v1 u1 h u2 +vv21(x − u1) i dx = = u1v2− u2v1
Exercício : Sejam a1, . . . , aN vetores de IRN. Seja A = {t1a1 + · · · + tNaN,
(t1, . . . , tN) ∈ [0, 1]N}. Calcule µ(A). Tente ao menos provar que se a1, . . . , aN
são ortogonais então µ(A) =| a1 | · · · | aN | !
Há uma importante questão por trás destas considerações. Na realidade, queremos, dados X em IRN e ϕ : X → IRN, comparar µ(ϕ(A)) e µ(A), para
T e1 T e2 e2 e1
T
A
T (A)
É claro que se T : IRN → IRN é linear e A ⊂ IRN, a relação entre µ(T (A)) e
µ(A) é dada por µ(T (Q)), onde Q é o bloco [0, 1]N : Se {e
1, . . . , eN} é a base
canônica de IRN, então
T (Q) = {t1v1+ · · · + tNvN, (t1, . . . , tN) ∈ [0, 1]N},
onde vi = T ei, i = 1, . . . , N .
Exercício : Mostre que se T : IRN → IRN é linear, com T e
i = vi, i = 1, . . . , N ,
então, se A ⊂ IRN é J -mensurável temos T (A) J -mensurável com µ(T (A)) = αµ(A), onde α = µ({t1v1+ · · · + tNvN, (t1, . . . , tN) ∈ [0, 1]N}).
Exercício : Seja T : IRN → IRN linear
(i) Se existir i tal que
T ej =
ej, j 6= i
λei, j = i
,
mostre que µ(T (A)) =| λ | µ(A) para todo A ⊂ IRN, J -mensurável. (ii) Se existem i e j tais que
T ek= ek, k 6= i, j ei, k = j ej, k = i ,
mostre que µ(T (A)) = µ(A) para todo A ⊂ IRN J -mensurável. (iii) Se existem i e j tais que
T ek=
ek, k 6= i
mostre que µ(T (A)) = µ(A) para todo A ⊂ IRN J -mensurável.
(iv) Mostre que µ(T (A)) =| detT | µ(A) para todo A ⊂ IRN J -mensurável (observe que T é produto de transformações como as de (i), (ii) e (iii)).
As considerações acima indicam, para o leitor com algum conhecimento sobre o assunto, que os determinantes têm tudo a ver com nossa discussão . Mas, já que vamos falar de determinantes, comecemos do começo.
Considere a aplicação
m2 : IR2× IR2 → IR
que a cada par (u, v) associa a área do paralelogramo {tu + sv, 0 ≤ t, s ≤ 1}. Analogamente, considere
m3 : IR3× IR3× IR3 → IR,
m3(u, v, w) = µ({ru + sv + tw, 0 ≤ r, s, t ≤ 1}).
Exercício: Mostre que
(i) m2(λu, v) = λm2(u, v), λ ≥ 0
(ii) m2(u1+ u2, v) = m2(u1, v) + m2(u2, v) ou
m2(u1+ u2, v) =| m2(u1, v) − m2(u2, v) |
(iii) m2(u, v) = m2(v, u) ;
resultados similares valendo para m3 (não se preocupe com demonstrações formais,
use a intuição geométrica).
Vemos que m2 (assim como m3 e, podemos imaginar, mN) morre de vontade
de ser linear em cada componente. Para que o fosse realmente, precisaríamos admitir que tomasse valores negativos.
Exercício : Considere um plano, azul de um lado e vermelho do outro. Sejam u e v ortogonais marcados sobre o lado azul e seja T linear com T u = u e T v = −v. Enxergue T como a transformação que gira o plano de 180o em torno de um eixo dado pela reta gerada por u.
Exercício :
(i) Seja E um espaço vetorial real de dimensão N + 1 e sejam v1, . . . , vN vetores
linearmente independentes de E. Observe que o subespaço gerado por {v1, . . . , vN}
azul
azul
vermelho
(ii) Nas mesmas condições de (i), suponha que u e w em E são tais que {u, v1, . . . , vN} e {w, v1, . . . , vN} são bases de E. Considere as bases ordenadas
α = (v1, . . . , vi, u, vi+1, . . . , vN) e
β = (v1, . . . , vi, w, vi+1, . . . , vN)
Diga que α e β têm a mesma orientação se u e w estão no mesmo semi-espaço (da divisão vista em (i)).
(iii) Se {u0, . . . , uN} são linearmente independentes, mostre que
(u0, . . . , ui, . . . , uj, . . . , uN) e
(u0, . . . , ui+ uj, . . . , uj, . . . , uN)
têm a mesma orientação e que
(u0, . . . , ui+ uj, . . . , uj, . . . , uN) e
(u0, . . . , ui+ uj, . . . , ui, . . . , uN)
não têm a mesma orientação.
(iv) Mostre que as bases α e β de (ii) têm a mesma orientação se e somente se existe uma aplicação contínua f : [0, 1] −→ E tal que f (0) = u, f (1) = w e (v1, . . . , vi, f (t), vi+1, . . . , vN) é linearmente independente para todo t em [0, 1].
Definição : Seja E um espaço vetorial de dimensão N . Diremos que duas bases ordenadas
α = (u1, . . . , uN) e
β = (v1, . . . , vN)
de E têm a mesma orientação se existem funções f1, . . . , fN : [0, 1] −→ E
tais que:
(ii)fi(0) = ui, fi(1) = vi ∀i = 1 . . . N ;
(iii)f1(t), . . . , fN(t) são linearmente independentes ∀t ∈ [0, 1].
Exercício: Mostre que "ter a mesma orientação "é uma relação de equivalência no conjunto das bases de E.
Exercício: Seja m2: IR2× IR2→ IR como definida há pouco. Seja ω
2: IR2× IR2 →
IR dada por ω2(u, v) = 0 se u e v são linearmente dependentes, ω2(u, v) = m2(u, v)
se (u, v) tem a mesma orientação que (e1, e2) e ω2(u, v) = −m2(u, v) se (u, v) não
tem a mesma orientação que (e1, e2). Mostre que
(i) ω2(u, v) = 0 sss u e v s˜ao linearmente dependentes
(ii) ω2(u, v) = −ω2(v, u), ∀u, v
(iii) ω2(λu + w, v) = λω2(u, v) + ω2(w, v) ∀λ, u, w, v
Definição : Seja E um espaço vetorial sobre o corpo K. Uma forma p- linear alternada (ou forma de medir coisas de dimensão p) em E é uma aplicação ω : Ep → K tal que:
(i) ω é linear em cada coordenada e (ii) ω(v1, v2, . . . , vp) = 0
sempre que v1, v2, . . . , vp forem linearmente dependentes.
O espaço das formas p-lineares alternadas em E é denotado por Ap(E).
Exercício: Seja ω : Ep→ K p-linear alternada. (i) Mostre que ω é, de fato, alternada, isto é:
ω(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vp) = −ω(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vp)
para quaisquer v1, . . . , vp em E.
Exercício: Suponha que K é tal que 1 + 1 = 0. Mostre que é possível a existência de ω : Ep → K linear em cada coordenada e satisfazendo à condição do exercício anterior, mas sem que ω(v1, . . . , vp) = 0 sempre que {v1, . . . , vp} for linearmente
dependente.
Exercício: Mostre que se dimE = N , então o espaço das formas p-lineares alter- nadas de E tem dimensão
N
p
.
Exercício: Mostre que toda forma p-linear definida em um espaço de dimensão finita sobre um subcorpo de IC é contínua.
Exercício: Sejam E um espaço vetorial de dimensão k e ω uma forma k-linear alternada em E. Mostre que são equivalentes:
a) ω é identicamente nula;
b)existe base v1, . . . , vk de E tal que ω(v1, . . . , vk) = 0;
c)para toda base v1, . . . , vk de E se tem ω(v1, . . . , vk) = 0.
Exercício: Sejam E um espaço real de dimensão N +1 e ω uma forma (N +1)-linear alternada em E. Suponha que ω não é identicamente nula. Mostre que duas bases ordenadas
(v1, . . . , vi, u, vi+1, . . . , vN) e (v1, . . . , vi, w, vi+1, . . . , vN)
têm a mesma orientação se e somente se
ω(v1, . . . , vi, u, vi+1, . . . , vN) e ω(v1, . . . , vi, w, vi+1, . . . , vN)
têm o mesmo sinal.
Proposição : Sejam E um espaço vetorial real de dimensão N + 1 e ω uma forma (N + 1)-linear alternada em E, não identicamente nula. Então duas bases ordenadas (u1, . . . , uN +1) e (v1, . . . , vN +1) de E têm a mesma orientação
se e somente se ω(u1, . . . , uN +1) e ω(v1, . . . , vN +1) têm o mesmo sinal.
Demonstração :
Supondo que as duas bases tenham a mesma orientação, considere as funções contínuas f1, . . . , fN +1 : [0, 1] → E que transformam uma na outra e faça α :
[0, 1] → IR, α(t) = ω(f1(t), . . . , fN +1(t)). Como α não pode se anular, o resultado
segue do Teorema do Valor Intermediário.
Para a recíproca, comecemos observando que podemos supor que nosso espaço tem produto interno e que a base (u1, . . . , uN +1) é ortonormal. O processo de
ortonormalização de Gram-Schmidt nos fornece uma deformação de (v1, . . . , vN +1)
em uma base ortonormal com a mesma orientação , mantendo o sinal de ω. As- sim, podemos supor que as duas bases são ortonormais e que ω(u1, . . . , uN +1) e
ω(v1, . . . , vN +1) têm o mesmo sinal. Vamos agora, passo a passo, deformar cada ui
em cada vi.
Se u1 = v1 ou u1 = −v1, nada fazemos; caso contrário, tomamos θ tal que
cos θ = < u1, v1 >, fazemos e1 = u1, ¯v1 = v1− < v1, u1 > u1, e2 = (1/|¯v1|)¯v1
e, para t ∈ [0, 1], consideramos a transformação Tt de E em E dada por Tte1 =
cos(tθ)e1+ sin(tθ)e2, Tte2= − sin(tθ)e1+ cos(tθ)e2, mantendo fixos os vetores or-
togonais ao espaço gerado por e1 e e2. Assim, como Ttpreserva a ortonormalidade,
a antiga base (u1, . . . , uN +1) se deforma em uma nova, com o novo u1 igual a v1.
continuamos chamando (u1, . . . , uN +1), em que ui = vi ou ui = −vi, i = 1, . . . , N .
Daí decorre que também temos uN +1 = vN +1 ou uN +1 = −vN +1. Durante todo
o processo, o sinal de ω(u1, . . . , uN +1) não se alterou, continuando igual ao de
ω(v1, . . . , vN +1). Logo, o número de índices i para o s quais ui = −vi é par. Mas,
se ui= −vi e uj = −vj, podemos fazer, no espaço gerado por ui e uj, uma rotação
de 1800, transformando finalmente uma base na outra.
Examinemos agora o espaço das N -formas lineares alternadas num espaço E de dimensão N , que será notado AN(E) (o espaço das p-formas será notado
Ap(E)). Se ω ∈ AN(E), então ω é determinada por seu valor em (v1, . . . ,
vN), onde {v1, . . . , vN} é base de E. Assim, AN(E) tem dimensão 1, isto é,
se ω, η ∈ AN(E), ω 6= 0, então existe λ ∈ IR tal que η = λω (ou seja, a
menos de fixação da unidade de medida, só existe uma forma de medir coisas de dimensão N em E).
Seja agora T : E → E linear. Para cada ω ∈ AN(E), seja ωT ∈ AN(E) dada
por
ωT(v1, . . . , vN) = ω(T v1, . . . , T vN)
A aplicação ω → ωT é claramente um homomorfismo de AN(E) em AN(E).
Sendo AN(E) de dimensão 1, existe um único escalar detT tal que
ω(T v1, . . . , T vN) = detT.ω(v1, . . . , vN)∀ω ∈ AN(E) .
detT é chamado determinante de T .
Observe que se T1, T2 : E → E são lineares, então, para qualquer ω em
AN(E), temos
det(T1T2)ω(v1, . . . , vN) = ω(T1T2v1, . . . , T1T2vN) =
= ωT1(T2v1, . . . , T2vN) = detT1ω(T2v1, . . . , T2vN) = = detT1.detT2.ω(v1, . . . , vN) ∀(v1, . . . , vN) ∈ EN ,
o que prova a famosa fórmula
det(T1T2) = detT1.detT2 .
Note ainda que nossa construção do determinante não utiliza o fato de estar- mos trabalhando com espaços vetoriais reais. Podemos, portanto considerá-lo
definido em espaços vetoriais quaisquer de dimensão finita (inclusive sobre I
C).
Recordamos que se E é um espaço (de dimensão finita) com produto interno h, i e T : E → E é linear, a adjunta de T , T∗, é definida por
hT u, vi = hu, T∗vi ∀u, v ∈ E
Exercício: Mostre que T∗ está bem definida e é linear. Mostre que (ST )∗ = T∗S∗ e que (T−1)∗ = T∗−1. Mostre que (λS + T )∗ = λS∗+ T∗.
Exercício: Mostre que detT∗ = detT (a barra indica conjugação complexa). Sug- estão: escreva T como produto de transformações lineares elementares.
Exercício: Mostre que se U preserva produto interno então | detU | = 1.
Ao leitor que só conhecia a tradicional definição de determinante para ma- trizes quadradas e que eventualmente esteja entusiasmado com a simplicidade da definição que apresentamos, observamos que as dificuldades inerentes a esta foram escamoteadas sob forma de um inocente exercício : dimAp(E) =
N p
, onde N é a dimensão de E. Nosso objetivo aqui é menos enfrentar estas dificuldades, mas, principalmente, tirar o conceito de determinante de um quadro puramente algébrico. Assim, do ponto de vista que adotamos, a fórmula det(AB) = detA.detB é intuitivamente óbvia (do ponto de vista geométrico). Já a fórmula detA∗ = detA, intuitivamente óbvia do ponto de vista algébrico, deixou de sê-lo ao adotarmos um ponto de vista geométrico.
PROBLEMA: Encontre uma forma de tornar intuitivamente óbvia, do ponto de vista geométrico, a fórmula detA∗ = detA.