Nesta seção apresentaremos as formas geométricas do Teorema de Hahn-Banach, também conhecidas como Teoremas de Separação de Hahn-Banach, que dentre outras coisas, são utilizadas na teoria de Geometria Convexa.
Definição 4.14. Seja E um espaço vetorial. Dizemos que um conjunto C ⇢ E é convexo se, dados x, y 2 C, então tx + (1 t)y 2 C para todo t 2 [0, 1].
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 40
Observação 4.15. Note que segue claramente da definição que todo subespaço vetorial F de E é convexo.
A convexidade é como conhecemos: um conjunto é convexo de dados dois pontos no conjunto, o “segmento de reta” que liga estes dois pontos está inteiramente contido neste conjunto.
Num espaço vetorial E normado, todo conjunto da forma Br(x) ={y 2 E : ky
xkE < r} ou Br(x) = {y 2 E : ky xkE 6 r} para r > 0 é convexo.
Já o conjunto A = B1((0, 0))[ B1((5, 0))em R2, com a norma k · k2, não é convexo,
pois o segmento de reta que liga os pontos (0, 0) e (5, 0) contém, por exemplo, o ponto (3, 0), que não está em A.
Lembremos algumas definições de conceitos topológicos, feitas especificamente para o caso que precisamos, que é o de espaços vetoriais normados (para mais detalhes sobre estes conceitos em espaços métricos em geral, recomendamos que o leitor veja [8]). Para isso fixemos E um espaço vetorial normado.
Aberto. um conjunto A ⇢ E é dito aberto se dado a 2 A existe r > 0 tal que Br(a)⇢ A;
Fecho. dado A ⇢ E definimos o fecho de A, denotado por A, como sendo o conjuntos dos pontos x 2 E tal que existe sequência {an} ⇢ A tal que kan xk ! 0 quando
n ! 1;
Fechado. um conjunto A é dito fechado se A = A;
Compacto. um conjunto B ⇢ E é dito compacto se qualquer sequência {bn} ⇢ B possui
uma subsequência convergente para um vetor de B, isto é, existe {nk} subsequência
dos inteiros positivos e b 2 B tais que kbnk bk ! 0 quando k ! 1.
Agora podemos continuar com a teoria geométrica de Hahn-Banach.
Definição 4.16. Sejam E um espaço vetorial normado, C ⇢ E um conjunto aberto e convexo tal que 0 2 C. Para cada x 2 E, definimos
p(x) = infn↵ > 0 : x ↵ 2 C
o .
O funcional p: E ! R é chamado de funcional de Minkowski para C.
Precisamos aqui discutir a boa definição deste funcional. Dito de outra maneira, precisamos ser capazes de afirmar que o conjunto P (x) = n↵ > 0 : x
↵ 2 C o
é não-vazio, para cada x 2 E, para que possamos tomar o seu ínfimo.
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 41
Note que, se x = 0, então por hipótese x 2 C e x
↵ = 0 2 C para todo ↵, e assim
P (x) 6= ? (pois todo ↵ > 0 está em P (x), e vemos neste caso que P (x) = 0). Agora, suponha x 6= 0. Então, como C é aberto e 0 2 C, podemos escolher r > 0 tal que
Br(0) ⇢ C. (4.7)
Também, seja n inteiro positivo tal que kxk
n < r. Assim, se ↵ > n, temos kxk ↵ 6 kxk n < r, e portanto x
↵ 2 C, o que mostra que ↵ 2 P (x) se ↵ > n, e assim concluímos que
P (x) 6= ?.
Para explicar melhor o funcional de Minkowski, tomemos por exemplo C = B1(0),
isto é, a bola aberta centrada em 0 com raio 1 em E. Sabemos que p(0) = 0. Se x 6= 0, então seja = kxk. Se ↵ > então kxk
↵ <
kxk = 1, e assim x
↵ 2 C. Logo p(x) > . Além
disso, como kxk = 1 temos x 2 C. Portanto p(x) = = kxk./
Notamos então que o funcional de Minkowski mede o menor valor necessário de ↵ para que x
↵ esteja na fronteira de C.
Proposição 4.17. O funcional de Minkowski satisfaz: 1. p( x) = p(x), para todo > 0 e para todo x 2 E; 2. p(x + y) 6 p(x) + p(y), para todo x, y 2 E;
3. Existe M > 0 tal que p(x)6 Mkxk, para todo x 2 E; 4. C = {x 2 E : p(x) < 1}.
Demonstração:
De 1: Se = 0 temos x = 0, e sabemos que p(0) = 0 = p(x) e o resultado está demonstrado. Agora, suponha que > 0. Note que
P ( x) = ⇢
↵ > 0 : x
↵ 2 C ,
assim, se ↵ 2 P ( x) temos ↵ 2 P (x), e assim ↵ 2 P (x), e como > 0 temos
p( x) = inf P ( x) = inf[ P (x)] = inf P (x) = p(x).
De 2: Fixemos x, y 2 E. Para cada ✏ > 0, segue da definição do funcional de Minkowski e da definição de ínfimo, que existem ↵, > 0 tais que
x ↵, y 2 C com ↵ < p(x) + ✏ 2 e < p(y) + ✏ 2. Seja t = ↵
↵+ . Então 0 < t < 1 e ainda 0 < 1 t = ↵+ < 1. Como x ↵ e
y estão em
C, segue da convexidade de C que tx ↵ + (1 t) y = ↵ ↵ + x ↵ +↵ + y = x ↵ + + y ↵ + = x + y ↵ + ,
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 42
está em C, ou seja, ↵ + 2 P (x + y). Assim
p(x + y) = inf P (x + y) 6 ↵ + < p(x) + p(y) + ✏,
ou seja p(x + y) < p(x) + p(y) + ✏. Como ✏ > 0 foi escolhido arbitrariamente, segue que p(x + y) 6 p(x) + p(y).
De 3: Seja r > 0 satisfazendo (4.7) e fixe 0 < k < r. Assim, se x 2 E com x 6= 0, defina y = kxkkx. Temos
kyk = kx kxk = k
kxk
kxk = k < r, e portanto y 2 Br(0)⇢ C, assim kxkr 2 P (x), o que nos dá
p(x) = inf P (x)6 kxk
k para cada x 2 E, e o resultado segue, tomando M = 1/k.
De 4: Seja A = {x 2 E : p(x) < 1}. Para mostrar que C ⇢ A, fixemos x 2 C.
Se x = 0 sabemos que P (x) = 0 < 1, e assim x 2 A. Suponhamos então x 6= 0. Como C é aberto, existe r > 0 tal que Br(x)⇢ C. Ainda, como kxk 6= 0 e r > 0, podemos
escolher ⌘ > 0 tal que ⌘ < r
kxk. Temos então
k(1 + ⌘)x xk = kx + ⌘x xk = ⌘kxk < r
kxkkxk = r, o que mostra que (1 + ⌘)x 2 Br(x)⇢ C. Definindo = 1+⌘1 < 1 temos
x
= (1 + ⌘)x2 C,
o que nos dá 2 P (x). Assim p(x) = inf P (x) 6 < 1, e portanto x 2 A. Com isto concluímos que C ⇢ A.
Para a inclusão contrária, seja x 2 A, isto é, x 2 E e p(x) < 1. Escolha ✏ > 0 tal que p(x) + ✏ < 1. Então, da definição de p(x), para este ✏ > 0 existe ↵ > 0 tal que
x
↵ 2 C e p(x) 6 ↵ < p(x) + ✏ < 1. Logo, para t = ↵ 2 (0, 1), como x
↵ e 0 estão em C, segue da convexidade de C que
x = ↵x
↵ + (1 ↵)0 = t x
↵ + (1 t)02 C, e portanto x 2 C, o que mostra que A ⇢ C e conclui a demonstração.
Definição 4.18. Seja E um espaço vetorial real. Um hiperplano afim de E é um conjunto da forma
H ={x 2 E : f(x) = ↵} = f 1(↵),
onde ↵ 2 R e f 2 E⇤ tal que f não é identicamente nula.
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 43
Exemplo 4.19. Se E = R2, sabemos que todo funcional linear f definido em R2 pode
ser escrito na forma f(x, y) = ax + by para todo (x, y) 2 R2, para algum a, b 2 R. Se
a2+ b2 6= 0, os hiperplanos afins de R2 são da forma
H ={(x, y) 2 R2: ax + by = ↵},
que nada mais são do que retas no plano.
Para E = R3, analogamente, os hiperplanos são da forma
H ={(x, y, z) 2 R3: ax + by + cz = ↵}, onde a2+ b2+ c2 6= 0, que nada mais são do que planos no espaço.
Os hiperplanos afins são também subespaços afins de E. Dito de outra maneira, não é sempre verdade que um hiperplano H é um subespaço vetorial (pois 0 pode não estar em H), mas dado qualquer h 2 H, o conjunto Gh = H h ={x h : x2 H} é um
subespaço vetorial de E. Enunciemos e provemos tal resultado.
Proposição 4.20. Seja H = [f = ↵] um hiperplano afim de E. Então, para qualquer h 2 H, o conjunto GH h é um subespaço vetorial de E. Na verdade Gh = ker(f ), para
qualquer h 2 Gh.
Demonstração:Como sabemos que ker(f) é um subespaço vetorial de E, então provando que Gh = ker(f ) para cada h 2 H, segue que Gh é subespaço vetorial de E.
De fato, seja h 2 H fixado e y 2 Gh. Então y = x h para algum x 2 H. Assim
f (y) = f (x) f (h) = ↵ ↵ = 0,
já que f(x) = f(h) = ↵ pois x, h 2 H = [f, ↵]. Portanto f(y) = 0, o que nos dá y 2 ker(f). Reciprocamente, se y 2 ker(f), temos
f (y + h) = f (y) + f (h) = 0 + ↵ = ↵,
ou seja, y + h 2 H, o que nos dá y 2 Gh. Portanto Gh = ker(f ), e concluímos que Gh é
um subespaço de E.
Corolário 4.21. Se h 2 H então dado x0 2 E \ Gh, temos E = Gh F, onde F =
{tx0: t2 R}.
Demonstração: Segue do que foi feito no parágrafo final da Seção 3.2.
Este último resultado nos diz que todo espaço vetorial pode ser escrito como a soma direta de um hiperplano e uma reta (subespaço de dimensão 1), isto é, todo hiperplano tem codimensão 1.
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 44
Proposição 4.22. O hiperplano H de equação [f = ↵] é fechado se, e somente se, f é contínua.
Demonstração: Uma das implicações é mais simples. Suponha que f seja contínua, isto é f 2 E0. Então, como H = [f = ↵] = f 1(↵), vemos que H é a imagem inversa de
um conjunto fechado em R (o conjunto unitário {↵}) pela função contínua f : E ! R, e portanto é um subconjunto fechado de E.
A recíproca não é tão simples. Antes de começar, note que podemos supor, sem perda de generalidade, que ↵ > 0, pois se ↵ < 0, notamos que H = [ f = ↵], e ↵ > 0, e f é contínua se e só se f é contínua.
Assim assuma que H = [f = ↵] seja fechado, com ↵ > 0. Do Corolário 4.21, sabemos que H é um subespaço afim próprio de E. Ainda E \ H é aberto em E, uma vez que H é fechado em E por hipótese. Assim, dado x0 2 E \ H, existe r > 0 tal que
Br(x0)⇢ E \ H. Como x0 2 E \ H segue que f(x0)6= ↵.
Afirmação 1: Podemos assumir, sem perda de generalidade, que f(x0) < ↵.
De fato, suponha que f(x0) > ↵. Como ↵> 0 temos
f ( x0) = f (x0) < ↵6 ↵,
e basta tomar x0 no lugar de x0, notando que x0 2 E \ H.
Afirmação 2: f(x) < ↵ para todo x 2 Br(x0).
De fato, vamos assumir, por absurdo, que existe y 2 Br(x0) tal que f(y) > ↵.
Como Br(x0)é um conjunto convexo temos ty + (1 t)x0 2 Br(x0), para todo t 2 [0, 1], e
pelo fato de Br(x0)⇢ E \ H decorre que
f (ty + (1 t)x0)6= ↵ para todo t 2 [0, 1]. (4.8)
Como f(y)> ↵, temos f(y x0) = f (y) f (x0)> ↵ f(x0) > 0, o que nos dá
0 < t = ↵ f (x0) f (y x0) 6 1.
Assim, temos
f (ty + (1 t)x0) = f (t(y x0) + x0) = tf (y x0) + f (x0)
= ↵ f (x0) + f (x0) = ↵,
o que contradiz (4.8), e mostra que f(y) < ↵ para todo y 2 Br(x0).
Agora, se x 2 Br/2(x0)então definindo z = 2r(x x0)temos kzk = 2rkx x0k 6 1.
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 45
kzk 6 1, seja x = x0+r2z. Como Br/2(x0)⇢ Br(x0), pela Afirmação 2 temos f(x) < ↵ e
assim f (x0) + r 2f (z) = f ⇣ x0+ r 2z ⌘ < ↵, e assim f (z) < 2 r(↵ f (x0)). Como isto vale para todo z com kzk 6 1, temos
sup
kzk61
f (z)6 2
r(↵ f (x0)).
Logo f é limitada e, pelo Teorema 3.21, temos f contínua.
Agora vamos definir os conceitos de separação, que serão o ponto chave das formas geométricas do Teorema de Hahn-Banach.
Definição 4.23. Seja E um espaço vetorial normado e consideremos A, B ⇢ E. Dizemos que o hiperplano H da equação [f = ↵] separa A e B se f(x) 6 ↵, para todo x 2 A e f (y) > ↵, para todo y 2 B.
Dizemos que o hiperplano H separa estritamente A e B se existe ✏ > 0 tal que f (x) 6 ↵ ✏, para todo x 2 A e f(y) > ↵ + ✏, para todo y 2 B.
Exemplo 4.24. Considere E = R2, e H o hiperplano [f = 0], onde f(x, y) = x. Então:
(a) H separa os conjuntos A = B1((1, 0)) e B = B1(( 1, 0), mas não estritamente.
x y
H
A B
(b) Para cada ✏ > 0, H separa estritamente os conjuntos A✏ = B1((1 + ✏, 0)) e B✏ =
B1(( 1 ✏, 0). x y H A✏ B✏
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 46
(c) H separa os conjuntos A = {(x, y) 2 R2: x6 0} e B = {(x, y) 2 R2: x > 0 e y > 1 x},
mas não estritamente.
A
B
x y
H
Note que um hiperplano separador H = [f, ↵] divide o espaço em dois pedaços, o conjunto H+ = {x 2 E : f(x) > ↵} e H = {x 2 E : f(x) < ↵}, que podem ser vistos
como o lado direito (ou de cima) e esquerdo (ou de baixo) do hiperplano H.
Vamos buscar agora condições sobre conjuntos para que possamos garantir separação (estrita ou não).
Lema 4.25. Sejam E um espaço normado, C ⇢ E um conjunto convexo, aberto e não vazio com x0 2 E tal que x0 2 C. Então existe f 2 E/ 0 tal que f(x) < f(x0), para todo
x2 C. Em particular, o hiperplano de equação [f = f(x0)] separa {x0} de C.
Demonstração: Vamos dividir esta demonstração em dois casos. Caso 1: 0 2 C.
Considere o funcional de Minkowski p para C (veja Definição 4.16). Como C = {x 2 E : p(x) < 1}, pelo item (4) da Proposição 4.17, se x0 2 E é tal que x0 2 C devemos/
ter p(x0) > 1. Defina F = {tx0: t 2 R} e g : F ! R por g(tx0) = t. Claramente g é um
funcional linear de F , isto é, g 2 F⇤. Além disso, se t> 0, temos
g(tx0) = t (i)
6 tp(x0) = p(tx0),
onde em (i) utilizamos que p(x0)> 1. Agora, para t < 0 temos
g(tx0) = t < 06 p(tx0),
o que mostra que g(tx0)6 p(tx0) para todo t 2 R, isto é, g(x) 6 p(x) para todo x 2 F .
Dos itens (1) e (2) da Proposição 4.17, sabemos que p é uma função positivamente homogêneoa e subaditiva definida em E. Portanto, segue da Forma Analítica do Teorema de Hahn-Banach (Teorema 4.10) que existe um prolongamento f de g a todo E tal que f (x) 6 p(x), para todo x 2 E. Assim, do item (3) da Proposição 4.17, segue que
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 47
e portanto f 2 E0. Ainda f(x
0) = g(x0) = 1, pois f é prolongamento de g (logo f|F = g)
e também se x 2 C temos f(x) 6 p(x) < 1 6 p(x0), onde usamos novamente o item (4)
da Proposição 4.17. Portanto concluímos a demonstração neste caso. Caso 2: 0 /2 C.
Neste caso, fixemos y 2 C, e definamos o conjunto C1 = C y ={x y : x2 C}.
Como C é não-vazio, aberto e convexo, C1 claramente também é. Além disso 0 = y y 2
C y = C1, e assim podemos usar o Caso 1 para o convexo C1 e o ponto y0 = x0 y.
Encontramos assim um funcional f 2 E0 com f(y
0) = 1 e f(x) < 1 para todo x 2 C1.
Desta maneira, se x 2 C, temos x y 2 C1 e
f (x) f (y) = f (x y) < 1 = f (y0) = f (x0 y) = f (x0) f (y),
o que nos dá f(x) < f(x0), o que conclui a demonstração.
Teorema 4.26 (Primeira Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach). Sejam E um espaço vetorial normado e A, B ⇢ E subconjuntos convexos, disjuntos e não vazios. Se A é aberto, então existe um hiperplano fechado H = [f = ↵] que separa A e B.
Demonstração: Como A, B são ambos não-vazios, podemos escolher a0 2 A e b0 2 B.
Defina x0 = b0 a0 e C = A B + x0. Claramente C é não-vazio. Vamos a seguir mostrar
que C é aberto, convexo e que x0 2 C, isto é, que estamos nas condições de aplicar o Lema/
4.25.
Afirmação 1: x0 2 C./
De fato, se x0 2 C = A B + x0, deveriam existir a 2 A e b 2 B tais que
x0 = a b+x0, o que nos dá 0 = a b e consequentemente a = b. Mas assim a, b 2 A\B = ?,
o que nos dá uma contradição com a hipótese de A e B serem disjuntos. Portanto x0 2 C./
Afirmação 2: C é aberto.
De fato, seja x 2 C, então existem a 2 A e b 2 B tais que x = a b + x0. Assim
x + b x0 = a 2 A, e como A é aberto, existe r > 0 tal que Br(a)⇢ A. Seja y 2 Br(x).
Note que y1 = y + b x0 é tal que
ky1 ak = ky + b x0 (x + b x0)k = ky xk < r,
e portanto y1 2 Br(a)⇢ A, isto é, y1 2 A e assim y = y1 b + x0 2 A B + x0 = C, e
portanto Br(x)⇢ C, o que mostra que C é aberto.
Afirmação 3: C é convexo.
De fato, sejam x1 = a1 b1 + x0 2 C, x2 = a2 b2 + x0 2 C e t 2 [0, 1], onde
a1, a2 2 A e b1, b2 2 B. Temos
tx1 + (1 t)x2 = t[a1 b1 + x0] + (1 t)[a2 b2+ x0]
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 48
Como A é convexo, temos ta1+ (1 t)a2 2 A. Analogamente, como B é convexo,
temos tb1+ (1 t)b2]2 B, e portanto
tx1+ (1 t)x2 = [ta1+ (1 t)a2] [tb1+ (1 t)b2] + x0 2 A B + x0 = C,
o que prova a convexidade de C.
Podemos então aplicar o Lema 4.25 para x0 e C. Assim obtemos f 2 E0 tal que
f (x) < f (x0), para todo x 2 C, ou seja,
f (a) f (b) + f (x0) = f (a b + x0) < f (x0) para todo a 2 A e para todo b 2 B,
o que implica que f(a) < f(b) para todos a 2 A e b 2 B. Deixando a 2 A fixo e tomando o ínfimo para b 2 B, obtemos
f (a)6 inf
b2Bf (b),
e agora tomando o supremo para a 2 A, temos sup
a2A
f (a)6 inf
b2Bf (b).
Tome ↵ 2 R tal que supx2Af (x)6 ↵ 6 infy2Bf (y). Então, f(a)6 ↵ 6 f(b), para
todo a 2 A e para todo b 2 B. Como f 2 E0 segue da Proposição 4.22 que o hiperplano
H = [f = ↵] é fechado e separa A e B.
Antes de passar para o próximo resultado, faremos dois lemas com resultados técnicos. Para isso, se A ⇢ E é um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial normado e r > 0, definimos
Ar = A + Br(0) ={a + z : a 2 A e kzk < r}.
Lema 4.27. Temos as seguintes propriedades para Ar:
(a) Ar é aberto;
(b) se A é convexo, então Ar é convexo.
Demonstração:
De (a): Seja x 2 Ar então x = a + z, com a 2 A e kzk < r. Escolha ⌘ > 0 tal que
B⌘(z)⇢ Br(0), o que é possível pois z 2 Br(0) e Br(0) é aberto.
Se y 2 E é tal que ky xk < ⌘ então definindo z1 = y a temos z1 z = y x e
portanto kz1 zk < ⌘, o que nos dá z1 2 B⌘(z)⇢ Br(0) e y = a + z1 2 A + Br(0) = Ar.
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 49
De (b): Sejam x, y 2 Ar, com x = a1+ z1 e y = a2+ z2, onde a1, a2 2 A e z1, z2 2 Br(0).
Se t 2 [0, 1] temos
tx + (1 t)y = t[a1+ z1] + (1 t)[a2+ z2] = [ta1 + (1 t)a2] + [tz1+ (1 t)z2].
Da convexidade de A, temos ta1+ (1 t)a2 2 A e da convexidade de Br(0) temos
tz1+ (1 t)z2 2 Br(0). Portanto
tx + (1 t)y = [ta1+ (1 t)a2] + [tz1+ (1 t)z2]2 A + Br(0) = Ar para todo t 2 [0, 1];
e conclui a prova da convexidade de Ar.
Lema 4.28. Sejam A, B subconjuntos não-vazios e disjuntos de um espaço vetorial E. Se A é fechado e B é compacto, então existe r > 0 tal que Ar e Br são disjuntos.
Demonstração: Suponha por absurdo, que a tese seja falsa, isto é, assuma que para todo r > 0, existe xr 2 Ar\ Br. Assim, para cada n inteiro positivo, podemos encontrar
xn 2 A1/n\ B1/n.
Como xn 2 B1/n para cada n, existem bn2 B e zn 2 B1/n(0) tais que xn = bn+ zn.
Como B é compacto e {bn} ⇢ B, existe uma subsequência {nk} dos inteiros positivos e
um ponto b 2 B tais que kbnk bk ! 0 quando k ! 1. Ainda kznkk <
1
nk ! 0 quando
k ! 1, e portanto
kxnk bk 6 kbnk bk + kznkk ! 0 quando k ! 1.
Como xnk 2 A1/nk, existe ak 2 A1/nk e wk 2 B1/nk(0) tais que xnk = ak+ wk para
cada k. Mas xnk ! b e wk ! 0 quando k ! 1, assim
ak = xnk wk ! b quando k ! 1.
Como {ak} ⇢ A e A é fechado, segue que b 2 A. Assim b 2 A \ B = ?, e chegamos
em um absurdo. Portanto, deve existir r > 0 tal que Ar\ Br=?.
No resultado acima, é claro que se Ar \ Br = ? então As\ Bs = ? para todo
0 < s6 r, já que As ⇢ Ar e Bs ⇢ Br.
Agora sim temos as ferramentas necessárias para demonstrar a Segunda Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach.
Teorema 4.29 (Segunda Forma Geométrica do Teorema Hahn-Banach). Sejam E um espaço vetorial normado e A, B ⇢ E subconjuntos não-vazios, convexos e disjuntos. Se A é fechado e B é compacto, então existe um hiperplano fechado H = [f = ↵] que separa estritamente A e B.
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 50
Demonstração: Usando o Lema 4.28, existe r > 0 tal que Ar\ Br =?. Do Lema4.27
sabemos que Ar, Br são abertos e convexos. Assim, podemos utilizar a Primeira Forma
Geométrica do Teorema de Hahn-Banach para Ar e Br, e encontrar um hiperplano fechado
H = [f = ↵] que separa Ar e Br, ou seja
f (a + rz) 6 ↵ 6 f(b + rw) para todos a 2 A, b 2 B e z, w 2 B1(0).
Assim, para todos a 2 A, b 2 B e z, w 2 B1(0) obtemos
f (a) + rf (z)6 ↵ 6 f(b) + rf(w), e em particular, tomando w = z temos
f (a) + rf (z)6 ↵ 6 f(b) rf(z).
Assim f(a)+rf(z)6 ↵ para todo a 2 A e z 2 B1(0). Mantendo a fixado e tomando
o supremo para z 2 B1(0) obtemos
f (a) + rkfkE0 6 ↵,
o que nos dá
f (a)6 ↵ rkfkE0 para todo a 2 A.
Analogamente obtemos
↵ + rkfkE0 6 f(b) para todo b 2 B,
o que mostra que o hiperplano H = [f = ↵] separa estritamente A e B, e conclui a demonstração.
Notemos que a hipótese de B ser compacto não pode ser retirada. O item (c) do Exemplo 4.24nos fornece conjuntos A e B não-vazios, convexos, fechados e disjuntos onde nenhum hiperplano separa estritamente A de B.
Duas principais consequências da Segunda Forma Geométrica do Teorema de Hahn- Banach podem ser vistas nos resultados abaixo, mas primeiro faremos um lema técnico de Álgebra Linear.
Lema 4.30. Sejam E um espaço vetorial e F ⇢ E um subespaço vetorial. Então F também é subespaço vetorial de E.
Demonstração: Como 0 2 F e F ⇢ F então 0 2 F . Sejam agora x1, x2 2 F e 2 R.
Da definição de F , existem {an,1}, {an,2} 2 F tal que kan,1 x1k ! 0 e kan,2 x2k ! 0
quando n ! 1. Assim k(an,1+ an,2) (x1 + x2)k 6 kan,1 x1k + | |kan,2 x2k !
0 quando n ! 1.
Como {an,1+ an,2} ⇢ F , pois F é subespaço vetorial, segue que x1+ x2 2 F , o
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 51
Proposição 4.31. Sejam E um espaço vetorial e F um subespaço vetorial de E tal que F 6= E, isto é, o fecho de F não é todo o espaço E. Então existe f 2 E0, f não
identicamente nula, tal que
hf, xi = 0 para todo x 2 F.
Demonstração: Como F ⇢ E e F 6= E, existe x0 2 E tal que x0 2 F . Segue do Lema/
4.30que F é subespaço vetorial de E, e da Observação4.15 sabemos que F é um conjunto convexo.
Assim temos {x0} claramente convexo e compacto e F convexo e fechado, ambos
não-vazios (lembre-se que 0 2 F ) e F \ {x0} = ?. Estamos em condições de aplicar a
Segunda Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach com A = {x0} e B = F , e
obtemos um hiperplano fechado H = [f = ↵] que separa estritamente A de B, isto é, f 2 E0 e existe ✏ > 0 tal que
f (x)6 ↵ ✏ para todo x 2 F e f(x0)> ↵ + ";
e em particular
f (x) < ↵ < f (x0) para todo x 2 F . (4.9)
Mas então, se g é a restrição de f a F , temos g 2 F0 e g(x) 6 ↵ ✏, para todo
x2 F . Portanto g : F ! R é um funcional linear não-sobrejetor, e do que vimos na Seção
3.2, obtemos que g é o funcional nulo, isto é, g(x) = 0 para todo x 2 R. Assim hf, xi = f(x) = g(x) = 0 para todo x 2 F,
e usado (4.9) para um x 2 F fixado, temos
0 = f (x) < ↵ < f (x0),
o que mostra que f(x0)6= 0 e f não é identicamente nulo, o que conclui a demonstração.
Lida de outra maneira, esta proposição nos dá o seguinte resultado.
Corolário 4.32. Sejam E e F como na Proposição4.31. Suponha que a seguinte condição se verifique:
Se f 2 E0 é tal que hf, xi = 0 para todo x 2 F então temos f ⌘ 0 ( isto é, f é
identicamente nulo). Então F = E, o que quer dizer que F é denso em E.
Capítulo 4. Teoremas de Hahn-Banach 52
Demonstração: Se este não fosse o caso, existiria x0 2 E \ F , e a Proposição 4.31nos
daria um funcional f 2 E0 não identicamente nulo com hf, xi = 0 para todo x 2 F , o que
contraria a condição da hipótese.
Este resultado é uma recíproca a um conhecido resultado de Análise, que diz que se uma função contínua é nula num conjunto denso, então ela é nula em todo o espaço. Além disso, este resultado poderia ser interpretado da seguinte maneira: se o único hiperplano separador H = [f = 0] que contém o subespaço F for todo o espaço E, então F deve ser denso.
Tal corolário é de fundamental importância em Análise Funcional, e na Teoria Espectral de Operadores Não-Limitados.
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5 Conclusão
Apresentamos neste trabalho um dos principais conceitos vistos em Análise Funcio- nal, o Teorema de Hanh-Banach e suas aplicações, visando a compreensão significativa de suas demonstrações.
A Álgebra Linear é importante para a formação básica de um matemático e a generalização da mesma deveria ser inclusa nas mesmas condições. No entanto, a Análise Funcional, não recebe a mesma atenção na graduação. Como os alunos de graduação geralmente não são apresentados aos estudos de Análise Funcional na sua formação inicial uma das intenções desse trabalho foi mostrar de modo claro e detalhado alguns dos principais resultados desta área, entendendo a necessidade do estudo.
O Teorema de Hahn-Banach, como foi visto, é a junção dos estudos de dois matemáticos, Hans Hahn e Stefan Banach que embora não tivessem feito nenhum estudo juntos, e não há histórico de que ao menos se conhecessem, seus conhecimentos avançados para a época e seus estudos na área da matemática fizeram com que fossem reconhecidos dentro de um mesmo teorema. Com estes estudos a Análise Funcional obteve um avanço significativo.
No decorrer do trabalho buscamos incluir um contexto histórico visando situar sua base inicial. Antes de enunciar os Teoremas de Hahn-Banach, forma analítica e formas geométricas, apresentamos definições, exemplos, teoremas, lemas e demonstrações necessárias para uma melhor compreensão deste. Após os Teoremas e suas demonstrações, fizemos aplicações e corolários. Toda essa estrutura do trabalho auxiliou para a efetivação dos objetivos.
Por fim, percebemos a necessidade dos estudos de Análise Funcional, mas também entendemos sua complexidade para o nível de graduação, todavia tentamos apresentar da maneira mais detalhada possível e desejamos que seja um acervo de futuros estudos matemáticos.
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Referências
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[5] Coelho, F. U.; Lourenço, M. L.: Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: Edusp (2007). Citado na página 11.
[6] Filho, G.S. dos S.: O Teorema de Hahn-Banach e aplicações em espaços separáveis. Monografia de Graduação, Eunápolis: IFBA (2012). Citado na página 11.
[7] Francisco, R. F. de O.: Teorema de Hahn-Banach e suas aplicações. XXVI Congresso de Iniciação Científica. Anais de Evento. Rio Claro: UNESP. Citado na página 11. [8] Rudin, W.: Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company (1973). Citado 2 vezes nas páginas 11 e40.