ɶ ɶ é calculado, resultando em:
4. FORMULAÇÃO DE SOLUÇÕES COM MÓDULOS ELÁSTICOS CONSTANTES
Após a definição do modelo simplificado de bacia sedimentar, o objetivo é obter soluções que descrevam o comportamento mecânico do material que forma a bacia sedimentar. A primeira etapa desta tarefa é realizada para a situação onde os efeitos do adensamento sobre os módu- los elásticos do material sedimentar são desconsiderados.
Inicialmente é feita uma descrição da formulação mecânica do problema, onde são estabeleci- dos as fases e os domínios de comportamento do material. Nessa descrição, são definidos os tempos que delimitam cada fase, bem como as posições das fronteiras entre os domínios. As leis de endurecimento (65) e (68) apresentam módulos de endurecimento, definidos em (66) e (69), que são funções da componente irreversível do jacobiano da transformação. Essa característica dificulta ou impossibilita o desenvolvimento de soluções analíticas para os sis- temas não-lineares de equações diferenciais parciais (sistemas não-lineares EDP) que descre- vem o comportamento mecânico do material, nas respectivas fases de comportamento. Assim, as respostas são obtidas numericamente.
Com o objetivo de obter soluções analíticas, são propostas leis de endurecimento plástico e viscoplástico adicionais, que simplificam a formulação. Essas leis referem a materiais com endurecimento linear ou que variam linearmente com a dilatação volumétrica irreversível. Elas apresentam módulos de endurecimento constantes, definidos no contexto do acoplamento plástico-viscoplástico, como: constante c p ir ir p h J J ∂ = − = ∂ (82) constante vp vp ir ir p h J J ∂ = − = ∂ (83)
Assim, as leis de endurecimento resultam em:
0
( ) ln
c ir c p ir
0
( ) ln
vp ir vp vp ir
p J = p −h J (85)
Dessa forma, a formulação consiste em um sistema linear EDP.
Assim como as observações apresentadas no capítulo 3 acerca dos parâmetros das leis de en- durecimento plástica e viscoplástica, as seguintes condições devem ser observadas:
0 0 vp c p vp p p h h > > (86)
Na Figura 17, apresenta-se uma comparação entre as variações das pressões de consolidação plástica e viscoplástica para as leis (84) e (85), para pc0 =1.0 MPa, pvp0 =4.0 MPa, hp =8.0 e
vp
h =5.0. Adicionalmente, apresenta-se o limite J para ircr φ0 =0.65.
Figura 17: comparação entre as variações das pressões de consolidação plástica e viscoplástica.
A característica marcante das leis de endurecimento plástico e viscoplástico propostas em (84) e (85) é verificada na figura anterior. Diferente das leis (65) e (68), verifica-se que elas estão definidas para valores inferiores ao limite físico da componente irreversível do jacobiano. Ou seja, elas não fornecem endurecimento suficiente ao material e, assim, não há um comporta-
Jircr=0.35 pc pvp 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Jir 0 5 10 15 20 25 30 35
mento assintótico na vizinhança de cr ir
J . Como consequência, há a ocorrência de porosidade
euleriana negativa, conforme Figura 18.
Figura 18: variação da porosidade euleriana, para φ =0 0.65.
Na sequência de desenvolvimento, cada fase de comportamento é colocada de forma que as respostas analíticas sejam primeiro apresentadas e sirvam como referência para as respostas obtidas numericamente. Quando necessário, as respostas obtidas para as leis de endurecimen- to (84) e (85) serão identificadas como “M1”. Já as respostas obtidas para as leis de endure- cimento (65) e (68) serão identificadas como “M2”.
Após a formulação de cada fase, são apresentadas as comparações entre os modelos. Para a análise proposta, a interpretação das respostas será feita em dois cenários: no primeiro, cha- mado de análise global, serão comparados os perfis de respostas em um determinado tempo da análise, que caracterizam o comportamento global da bacia sedimentar; no segundo, cha- mado de análise local, será analisado a evolução dos campos mecânicos ligados às partículas de sedimentos localizadas em x3 =0, ou seja, as partículas depositadas diretamente no subs- trato rígido. Essas partículas são depositadas no início do processo de acreção, em t=0, e o estado mecânico delas está associado ao mais alto nível de deformação e tensão ao longo do
Jircr=0.35 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Jir
4.1 FORMULAÇÃO MECÂNICA DO PROBLEMA
A evolução temporal da sedimentação e da compactação é dividida em cinco fases consecuti- vas (Figura 19), distintas entre si pelos domínios de comportamento das partículas da bacia sedimentar. A ocorrência de cada fase está condicionada às características mecânicas e tempo- rais da análise.
Referenciando à Figura 19, as quatro primeiras fases compõem o período de deposição sedi- mentar, enquanto a última está referida ao período não-deposicional:
1. Fase elástica: essa fase marca o início do período de deposição do sedimento, quando todas as partículas assentadas se comportam de forma elástica. O domínio temporal compreende o intervalo [0, ]e
t∈ T e o domínio espacial se estende por x3∈[0, ( )]H t .
Essa fase termina quando o estado de tensão das partículas em x3=0 conduz à condi-
ção
( ,
0) 0
p c
f
σ
p
=
no tempo et T= . Nesse tempo, o maciço tem a altura ( )e e H T =H ;
2. Fase elástica-plástica: nessa fase, a parte superior das partículas se comporta de for- ma elástica e o restante apresenta o comportamento elastoplástico. O domínio tempo- ral compreende o intervalo [ e, p]
t∈ T T . O comportamento elástico se desenvolve no
domínio espacial 3 [ ( ) , ( )]
e
x ∈ H t −H H t , enquanto o comportamento elastoplástico se
desenvolve no domínio espacial 3 [0, ( ) e]
x ∈ H t −H . Essa fase termina quando o esta-
do de tensão das partículas em x3 =0 conduz à condição
f
vp( ,σ
p
vp) 0=
no tempo pt=T . Nesse tempo, o maciço tem a altura ( p) p; H T =H
3. Fase elástica-plástica-viscoplástica: começando pelo topo da bacia sedimentar e mo- vendo-se para baixo, a bacia exibe nesta fase três camadas distintas: uma camada elás- tica seguida por uma camada elastoplástica, enquanto as partículas na camada inferior sofrem deformações elastoplásticas-viscoplásticas. O domínio temporal compreende o intervalo [ p, vp]
t∈ T T . O comportamento elástico se desenvolve no mesmo domínio
espacial da fase precedente 3 [ ( ) e, ( )]
x ∈ H t −H H t . O comportamento elastoplástico se
desenvolve em 3 [ ( ) , ( ) ]
p e
x ∈ H t −H H t −H , e o comportamento elastoplástico-
viscoplástico se desenvolve para 3 [0, ( ) p]
tículas em x3=0 apresentam dp =0 (
χ
ɺ =0) no tempo t =Tvp. Nesse tempo, o ma- ciço tem a altura ( vp) vpH T =H ;
4. Fase elástica-viscoplástica no período de deposição sedimentar: em adição às três camadas formadas na fase anterior, uma parte das partículas assentadas desenvolve o comportamento elasto-viscoplástico. O domínio temporal compreende o intervalo
[ vp, s]
t∈ T T . Os comportamentos elástico e elastoplástico se desenvolvem nos mes-
mos domínios espaciais da fase precedente, 3 [ ( ) e, ( )] x ∈ H t −H H t e
3 [ ( ) , ( ) ]
p e
x ∈ H t −H H t −H . O comportamento elastoplástico-viscoplástico se desen- volve em 3 [ ( ) vp, ( ) p]
x ∈ H t −H H t −H , e o comportamento elasto-viscoplástico se desenvolve em 3 [0, ( ) vp]
x ∈ H t −H . Essa fase termina ao final do período de deposi- ção sedimentar no tempo s
t T= . Nesse tempo, o maciço tem a altura ( )s s H T =H ;
5. Fase elástica-viscoplástica no período pós-deposição sedimentar: essa fase marca o início do período não-deposicional da bacia sedimentar. O domínio temporal compre- ende à s
t≥T . Os comportamentos elástico e elastoplástico não evoluem e, assim, apresentam os mesmos domínios espaciais da fase precedente. O comportamento elas- to-viscoplástico se desenvolve para 3 [0, ( ) p]
x ∈ H t −H . Essa fase termina no tempo final de análise f
t=T , quando a bacia tem a altura ( f) f H T =H .
Algumas condições foram subentendidas na descrição das fases de comportamento das partí- culas. Com a finalidade de apresentar o tema de forma clara, elas são evidenciadas:
e p vp s f e p vp s T T T T T H H H H ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (87)
Figura 19: lei de compactação gravitacional e representação esquemática da evolu- ção da bacia sedimentar.
É necessário ressaltar que as alturas e