2 Suporte ao Modelo Matemático
2.3 Formulação e estrutura do modelo matemático
Sendo ∆ f o campo magnético do dipolo, podemos compara-lo com a Eq. 2.12 encontrando o análogo do campo magnético para a atividade media de um receptor, conforme mostrado em [8] e−∆ f =efm(m)1+ [L] Ki 1+[KLa]. (2.14) ∆ f =−fm(m)−ln 1+ [L] Ki 1+[KLa] . (2.15)
levando-se em conta que o tipo de contribuição de ∆ f é análogo ao campo mag- nético, orientando os receptores, justifica-se o uso do modelo de Ising. Portanto, por suas características internas e externas ao receptor podemos utilizar ∆ fm,[L] (representando o campo externo) e C (fator de interação entre os receptores), mostrando a equação de energia como:
H(a) =C
∑
(2a−1)(2a−1)−∆ f(mi,[L])∑
ai (2.16)Para este trabalho cada receptor é dado por Tqmladependente de quatro parâme- tros (q, l , m oum e a ), conforme descrito na tabela 2.~
Para o modelo MWC, citado na seção 1.8, Mello e Tu (2005) [40] reformularam a energia (hamiltoniana) atribuída ao cluster, constituídos por N receptores, como:
HMWC = E+e
∑
i
σia+µ
∑
i
σi, (2.17)
em que cada receptor pode se ligar a uma molécula de ligante σ e a atividade a pode ser ativa ou inativa; E é a diferença de energia entre os estados ativo e inativo na ausência de ligante; cada receptor ocupado reduz a atividade, aumentando a energia do estado ativo em e >0; µ é a energia para a ligação do ligante no estado inativo e depende da
concentração do ligante[L]e de uma constante de dissociação, Ki.
2.3 Formulação e estrutura do modelo matemático
O modelo matemático leva em conta, assim como estudado por Mello e Tu (2003A, 2003B) e Tu (2013), duas escalas de tempo diferente: uma referente a ligação do
Tabela 2 –Tipo de variáveis para cada receptor da E. coli utilizado neste trabalho
VARIÁVEL SIGNIFICADO
q É um dos cinco quimiorreceptores responsáveis por detectar os estímulos, conformeseção 1.3. No nosso estudo consideramos q=1 para receptores sensíveis a concentra- ção de estímulo e q=2 para todos os outros tipos de receptores.
m Utilizado no modelo sequencial, Fig. 1.11.1, sendo o nível de metilação descrito porum escalar, que os quatro sítios vagos para os grupos metílicos são preenchidos de forma sequencial.
~
m Utilizado no modelo não-sequencial, (Fig. 1.11.2), sendo que cada componente podeter valor 0 ou 1, existindo 2Mpossibilidades de preencher os receptores com os grupos
metílicos.
l Atribui os valores lmente. =0, ou l=1 para o receptor vago ou ligado a ligante, respectiva- a Representa a atividade do receptor, sendo aestado inativo. =1 para o estado ativo e a =0 para o
estímulo no receptor e da interação da atividades entre receptores, que é considerado muito rápida, e outra referente ao processo de metilação que tem uma velocidade muito menor. O processo de ligação do estímulo ao receptor, devido a maior velocidade, pode ser considerado quasi-estático (estado estacionário). O processo de metilação lento, tem influência no tempo necessário para se alcançar a adaptação.
Usando o tipo de receptor descrito na tabela 2, seção 2.2, a energia Hq~mla do
receptor é dado por
Hq~mla =µqal+ (EqMm~ +ECq)a (2.18)
que conta com as contribuições internar e externas (metilação, estímulo ligados e in- teração com receptores vizinhos), sendo µqal a afinidade de ligação entre o ligante e o
receptor, EqmM (energia livre) a dependência da metilação e ECq a interação com receptores vizinhos. Neste trabalho consideramos que toda a energia está em unidade de KBT.
Em termos individuais da energia dada por 2.18 temos o potencial ativo(µqA)
2.3. Formulação e estrutura do modelo matemático 47
ativo, da seguinte forma:
Hq~ml1 =µAql+ (EqMm~ +EqC) (2.19)
onde, conforme citado na seção 2.2 e com o incremento aqui da dependência do tipo de quimiorreceptor q e metilação m temos como probabilidade para o receptor ligado ao ligante, para os estados ativos, Pqmla , o seguinte,
Pqm11 = e −(µqAl+(EqmM+ECq)) Z , com Z =e−(E M qm+ECq)+e−(µqAl+(EqmM+EqC)), (2.20) e assim, Pqm11 = 1 1+e+µqA, (2.21)
sendo Z a função partição para os dois estado possíveis de ligação do receptor.
Para Pqmladependendo diretamente da concentração de estímulos no ambiente, quanto maior a concentração maior as chances de ligação de um ligante ao receptor. Sendo sua variação no tempo dada por:
dPqmla
dt =−kq1Pqm1a+kq0[Lq]Pqm0a, (2.22) assim, com kq0e kq1sendo constantes de acoplamento e[Lq]a concentração de ligantes
podemos, a partir do estado estacionário dPqmla
dt =0, definir(µqa):
−kq1Pqm1a+kq0[Lq]Pqm0a =0. (2.23)
Substituindo kq0
kq1 por
1
KqA, como constante de acoplamento, temos,
Pqm1a = 1
KA
q [Lq]Pqm0a. (2.24)
Dessa forma, podemos encontrar a razão entre receptores ligados e não ligados Eq. 2.25. Usando a Eq. 2.20, com l = 0, 1, chegamos ao potencial de estado ativo (a = 1) da
seguinte forma: Pqm1a Pqm0a = [Lq] KA q (2.25) [Lq] KqA = Pqm11 Pqm01 = e−(µAq+(EqmM+ECq)) e−(EM qm+ECq) =e −µqA (2.26)
[Lq] KA q =e −µqA (2.27) µqA =log K A q [Lq]. (2.28)
Aplicando a Eq. 2.28 na Eq. 2.21, podemos mostrar a relação de afinidade com a concentração de ligante citada na seção 2.1, conforme abaixo:
Pq~m11 = 1 1+elog KAq [Lq] = 1 1+[KLAq q] = 1 [Lq] +KqA [Lq] = [Lq] [Lq] +KqA (2.29)
que vai ao encontro do que foi demonstrado no comportamento das proteínas na seção 2.1.
Assumindo que é constante o potencial químico µqapara cada tipo de ligante q e
que a metilação contribui de forma linear para a energia livre EqMm~ [52], [54], temos:
EqMm~a = (α0+aqα)( ~mq−m0) (2.30)
sendo α0a energia inicial atribuída antes da metilação subsequente, αqa diferença de
energia entre os estados ativos e inativos provocada pela metilação de um sítio metílico,
~
mq é o estado atual do nível de metilação, m0é o nível médio de metilação na ausência
de estímulos. Dessa forma, em EM
q~ma o estado de atividade do receptor depende do nível
de metilação.
Para o modelo sequencial (sem a contribuição termodinâmica) o processo de adição de grupos metílicos são feitos por CheR em sítios vazios quando os receptores estão apenas no estado inativo (a=0), a remoção é feita por CheB apenas em receptores
ativos (a = 1). Mais adiante veremos que com a contribuição termodinâmica essa
restrição para a metilação não é observada, tendo em vista que o modelo sequencial é energeticamente inviável.
2.4. Influência de α na energia do receptor 49
Para o efeito da interação entre receptores vizinhos dado por ECq na Eq. 2.18, temos:
ECq =
∑
i∈n.n.Cqqi(ai−0, 5) (2.31)
sendo Cqqi dependente da interação entre os receptores q e qi. Para preservamos a
simetria temos que Cqq0 =Cq0q e entre os receptores ativos e inativos usamos o termo
0, 5. ECqa=
∑
i∈n.n. Cqqi(ai−0.5)a=∑
i∈n.n. Cqqi(ai−0.5)(a−0.5) +0.5∑
i∈n.n. Cqqiai (2.32)Dessa forma, com exceção de um termo constante, representamos a contribuição dos receptores vizinho como:
ECqa=
∑
i∈n.n.Cqqi(ai−0.5)(a−0.5) (2.33)
onde utilizando as equações 2.28, 2.30 e 2.33 a Hamiltoniana para cada receptor pode ser escrita, conforme abaixo:
H = (α0+aqα)( ~mq−m0) +l log K A q
[Lq] +i∈