3.3.1 Forma forte
O campo magnético total H pode ser expresso através dos campos Hs e Hr,
H = Hs+ Hr (3.23)
onde
• Hs: é o campo magnético fonte e pode ser expresso através das corren- tes já conhecidas, J;
• Hr: é o campo magnético de reação, que pode ser definido em termos do potencial escalar magnético ψ através da Eq. (3.24).
Hr= −grad ψ (3.24)
Sendo assim, a Eq. (3.23) pode ser reescrita como:
H = Hs− grad ψ (3.25)
ou
H + gradψ = Hs (3.26)
Aplicando-se a Eq. (2.10) no termo para o campo magnético total H, tem-se a forma forte da formulação:
1
µB + gradψ = Hs+ 1
µBr (3.27)
3.3.2 Forma fraca
A forma fraca da Eq. (3.27) é dada igualando-a um resíduo vetorial R, R = 1
µB + gradψ − Hs− 1
µBr (3.28)
e então minimizando-se a integral deste resíduo ponderado através da função de teste vetorial B0∈ F2
Z Ω 1 µB · B 0 dΩ + Z Ω grad ψ · B0dΩ − Z Ω Hs· B0dΩ − Z Ω 1 µBr· B 0 dΩ = 0 (3.29)
A indução magnética B pode ser obtida interpolando-se o fluxo mag- nético Φ de cada face através das funções de teste B0,
B = nf
∑
i=1 B0iΦi (3.30) onde• nf: é a quantidade de faces do elemento;
• i: é o índice que identifica cada uma destas faces.
Desta forma, aplicando-se a Eq. (3.30) no primeiro termo da Eq. (3.29), chega-se na Eq. (3.31) e, consequentemente, na Eq. (3.32), que é a matriz clássica (esparsa) de elementos finitos de face.
Z Ω 1 µ B B0dΩ = Z Ω 1 µ B0 nf
∑
i=1 B0iΦidΩ (3.31) Z Ω 1 µB B 0dΩ = nf∑
i=1 Z Ω 1 µB 0B0 idΩ Φi (3.32)Para resolver o segundo termo da Eq. (3.29), utiliza-se a identidade vetorial dada na Eq. (3.33), que pode ser reescrita como a Eq. (3.34).
div ( f K) = grad f · K + f divK (3.33)
grad f · K = div ( f K) − f divK (3.34) Desta forma, o segundo termo da Eq. (3.29) pode ser expresso como:
Z Ω grad ψ · B0dΩ = Z Ω div ψB0 dΩ − Z Ω ψ divB0dΩ (3.35) e, aplicando-se o Teorema da Divergência no primeiro termo do lado direito desta equação,
Z Ω grad ψ · B0dΩ = Z Γ ψ (n · B0) dΓ − Z Ω ψ div B0dΩ (3.36)
O termo integral de superfície da Eq. (3.36) é nulo e deve ser avaliado para os quatro casos abaixo apresentados, considerando-se a Figura 11.
• Faces externas ΓB: Impõe que B possui somente componente tangen- cial ao longo destas superfícies;
• Faces internas de Ω: De acordo com as definições das funções de base de face, B0é nula ao longo de todo o domínio, exceto dentro dos dois elementos que a compartilham cada uma destas faces i;
• Γl∪ Γm: Este segundo caso permite limitar Ω como a união de dois elementos, Ωl e Ωm, conforme ilustrado na Figura 11 e representado na Eq. (3.37). No entanto, n · B0é nula ao longo de Γl∪ Γm, exceto ao longo de Γl∩ Γm;
• Γl∩ Γm: As funções de base B0l e B0m possuem direções opostas ao longo destas faces, cancelando assim umas às outras.
Z Ωl+Ωm gradψ · B0dΩ = Z Γl+Γm ψ (nΓ· B 0 ) dΓ − Z Ωl+Ωm ψ div B0dΩ (3.37)
Figura 11: O domínio completo Ω com suas superfícies externas Γ = ΓH∪ ΓB e dois elementos adjacentes Ωle Ωm, com suas faces Γle Γm.
n Ωl Ωm Γm Γ Ω Γl Face i ΓH ΓB
Desta forma, a Eq. (3.37) poder ser escrita como:
Z Ωl+Ωm gradψ · B0dΩ = − Z Ωl+Ωm ψ div B0dΩ (3.38) ou da seguinte forma:
Z Ωl+Ωm grad ψ · B0dΩ = Z Ωl ψldiv B0dΩl− Z Ωm ψmdiv B0dΩm (3.39)
Uma propriedade importante dos elementos de face é que o divergente da função (div B0) equivale ao inverso do volume do elemento (Eq. (2.37)), permitindo escrever a Eq. (3.39) como:
Z Ωl+Ωm grad ψ · B0dΩ = 1 Vl Z Ωl ψldΩl− 1 Vm Z Ωm ψmdΩm (3.40) Como R Ωe
ψedΩerepresenta o potencial escalar médio ao longo de um dado elemento e (LE-VAN, 2015), pode-se definir que:
Z
Ωl+Ωm
grad ψ · B0dΩ = ψl− ψm (3.41)
Voltando-se à Eq. (3.29), o campo Hsem seu terceiro termo é origi- nado por densidades de correntes elétricas impostas e pode ser obtido através da Equação de Biot-Savart, detalhada no Apêndice C, ou através do MEF. O quarto termo desta equação considera a indução remanente dos possíveis ímãs permanentes contidos no domínio. Consequentemente, o termo 1/µ Br pode ser substituído pelo campo magnético coercitivo Hc.
Sendo assim, a Eq. (3.29) pode ser reescrita como a Eq. (3.42), cuja forma matricial é dada na Eq. (3.44).
nf
∑
i=1 Z Ω 1 µB 0 jB 0 idΩ Φi+ ψa− ψb= Z Ω HsB0dΩ + Z Ω 1 µBrB 0 dΩ (3.42)Caso o campo magnético coercitivo dos ímãs seja utilizado, tem-se
nf
∑
i=1 Z Ω 1 µB 0 jB 0 idΩ Φi+ ψa− ψb= Z Ω HsB0dΩ + Z Ω HcB0dΩ (3.43) [ℜ] [Φ] − [ψm] = [ f mm] (3.44) onde:• [ℜ]: é a matriz rigidez do MEFF, fisicamente conhecida como matriz de relutâncias;
• [Φ]: é a matriz de incógnitas referente ao fluxo magnético através de cada face da malha;
• [ψm]: é o vetor de diferenças de potencial escalar magnético entre ele- mentos adjacentes;
• [ f mm]: contém as fontes de f mm definidas através dos campos Hse/ou Hc.
Em termos práticos, a matriz [ f mm] é formada através da integração de um campo H0, este podendo ser composto por Hs e/ou Hc, dependendo das excitações do modelo.
Vale ainda salientar que a Eq. (3.43) não é resolvida através da formu- lação, mas sim através da associação da sua forma matricial (Eq. (3.44)) com um circuito magnético, ou seja, através de um sistema 0-D, no qual a diver- gência nula da indução magnética (Eq. (2.9)) é imposta pela Lei de Kirchhoff para Correntes (LKC).
Circuito tal que contará com acoplamentos mútuos entre seus elemen- tos, pois analisando a Eq. (3.42), percebe-se que para i 6= j, obtêm-se valores de relutâncias entre as faces i e j. Desta forma, a matriz de impedâncias, aqui utilizada como matriz de relutâncias magnéticas, possui termos fora da diagonal.
Também é necessário definir um sentido para cada ramo do circuito magnético, ou seja, para cada face global da malha de elementos finitos. Tal fato impõe a necessidade de verificar este sentido e inverter ou não as funções B0, conforme apresentado na Figura 12. Faz-se importante mencionar que esta operação também é necessária durante a integração dos termos fontes [Hs] e [Hc].
Para ilustrar a conversão da matriz de rigidez em uma rede de relutân- cias, na Figura 13 é apresentada uma malha com quatro elementos triangula- res e seu circuito magnético equivalente, com as relutâncias próprias e mú- tuas, bem como as possíveis condições de contorno n · B|Γ
B= 0 e n × H|ΓH= 0.
Figura 12: Inversão do sentido das funções B0.
(a) Funções B0aplicadas aos pontos de integração.
(b) Funções B0com sentido inverso em um dos elementos.
Figura 13: Malha convertida em rede de relutâncias, com as possíveis condi- ções de contorno. M12 M34 M41 M23 ℜ0 ℜ2 ℜ3 ℜ1 ℜ4 ℜ5 M01 M02 M45 M35 n ·B |ΓB = 0 n ·B |ΓB = 0 n × H|Γ H = 0 n × H|Γ H = 0
Cada ramo conta também com uma fonte de f mm obtida através dos campos Hse/ou Hc. Para solução deste circuito, faz-se ainda necessário de- terminar a conexão entre os ramos através de uma matriz de incidências, de- lineando assim os dados necessários para a solução da Eq. (3.44) como um circuito magnético.
3.3.3 Condição de contorno n · B|Γ B= 0 A condição de contorno n · B|Γ
B = 0, já discutida na Seção 2, implica em fluxo magnético nulo através das superfícies ΓB, sugerindo que, do ponto de vista de circuitos, os ramos definidos nas faces dos elementos ao longo destas superfícies são representados como circuitos abertos. Desta maneira, estes ramos podem ser suprimidos do sistema de equações, ou seja, não são levados em conta no circuito magnético.
Por exemplo, considerando-se que n · B|Γ
B= 0 seja aplicada nas ares- tas verticais da malha apresentada na Figura 13, as relutâncias magnéticas indicadas em cinza são suprimidas do circuito.
3.3.4 Condição de contorno n × H|Γ H = 0
Como verificado na Seção 3.3.2, a condição de contorno natural à for- mulação apresentada é n · B|Γ
B= 0. No entanto, ainda faz-se necessário defi- nir n × H|Γ
H = 0, que permite a aplicação de planos de simetria.
Esta condição é imposta através de um potencial escalar magnético constante ao longo de ΓH, ou seja, ψ|ΓH = constante,
n × H|Γ
H = −n × grad ψ|ΓH = 0 (3.45) Em termos de implementação, define-se um nó externo P (Figura 14) e conecta-se este nó aos ramos equivalentes as faces ao longo de ΓH. A relu- tância destes ramos é estabelecida com um valor muito baixo, configurando um "curto-circuito magnético".
Figura 14: Condição de contorno n × H|Γ H= 0.
Ω
ΓH P
Como as relutâncias que conectam os ramos internos do domínio ao nó Psão desprezíveis e, considerando-se que a variação do valor das relutâncias das faces ao longo de ΓHpossa ser também desprezada, pode-se assumir que a camada de elementos que forma esta superfície está no mesmo potencial magnético, ou seja, n × grad ψ|Γ
H = 0 3.3.5 Fonte externa de indução magnética
Pode-se ainda definir um campo de indução magnética externo ao longo de uma dada superfície Γ.
Considerando-se o formalismo para solução de circuitos, esta condi- ção de contorno pode ser implementada definindo-se fontes de fluxo magné- tico ao longo da superfície Γ, mais especificamente uma fonte em cada ramo que conecta cada face i ao nó P apresentado na Figura 14. O fluxo em cada um destes ramos é dado por:
Φi= Z Γi n · BidΓi i= 1...,nf Γ (3.46) onde:
• nf: é o número de faces ao longo de ΓB;
• Bi: é a indução magnética em cada uma destas faces.
Como todos os ramos são conectados a um nó externo P, tem-se di- vergência nula neste campo externo imposto. Ou seja, divB = 0 imposta pela LKC.
Do ponto de vista computacional, a definição desta condição não é tarefa pesada, uma vez que a integração da Eq. (3.46) é baseada nos pontos
de Gauss das faces (2-D) externas da camada de elementos 3-D que compõem Γ.
3.3.6 Acoplamento com circuitos magnéticos externos
O nó P (Figura 14) pode ser também utilizado para conectar o domínio Ω (convertido em uma rede de relutâncias) a um circuito magnético externo, conforme ilustrado na Figura 15, onde Γcé a superfície de conexão. Como Γc é definida da mesma maneira que ΓH(Figura 14 e Eq. (3.44)), n × H|ΓH = 0 é também imposta ao longo de Γc.
Em termos de implementação, este acoplamento é definido adicionando- se os ramos/nós do circuito magnético externo na matriz de incidências do MEFF, inserindo-se as relutâncias deste circuito na matriz [ℜ] e as fontes de
f mmna matriz [Hs] da Eq. (3.44).
Este é um processo relativamente simples devido ao formalismo utili- zado para a solução de circuitos. Sem embargo, com uma consequência de suma importância, pois permite acoplar e resolver circuitos magnéticos con- centrados acoplados com domínios discretizados Ω, como um único sistema 0-D.
Figura 15: Conexão entre redes de relutâncias.
Ω Circuito externo Γc P Circuito externo Γc P Ω
Este acoplamento permite outros tipos de conexão, como por exem- plo, várias regiões discretizadas (malha) isoladas geometricamente e interco- nectadas através de circuitos externos. Tal característica permite reduzir os domínios mesmo quando o modelo não possui simetria, necessitando apenas das superfícies de contato, Γc. Esta é uma importante vantagem em relação ao MEF clássico.
3.3.7 A solução do circuito magnético
O circuito magnético resultante pode ser resolvido através das técni- cas de laços independentes ou nodal (CHUA; LIN, 1975), ambas detalhadas no Apêndice D.
Com o objetivo de comparar estas duas abordagem para solução deste tipo de problema em específico, define-se uma malha tetraédrica com n ele- mentos e fefaces externas. As características do circuito podem ser determi- nadas como:
b= 2n + fe
2 (3.47)
b= i + n − 1 (3.48)
onde b é a quantidade de ramos na malha dual, ou seja, faces na malha do MEFF (GUMHOLD; GUTHE; STRASSER, 1999). Assim, com as equações (3.47) e (3.48), pode-se obter a quantidade de laços independentes i,
i= n + fe
2 + 1 (3.49)
Nota-se que, dependendo das condições de contorno, a técnica de la- ços independentes pode gerar um número ligeiramente maior de incógnitas, i, que a técnica nodal, a qual gera n incógnitas.
Não obstante, o método de laços independentes requer um algoritmo capaz de definir a árvore/co-árvore, a título de exemplo, o algoritmo de Welsh (KUO-PENG, 2005;BASTOS; SADOWSKI, 2003) ou o método proposto por (NGUYEN et al., 2012). Como mencionado em (LE-VAN, 2015), este processo pode ser custoso computacionalmente no caso de malhas de grande porte. Por outro lado, o método nodal não requer nenhum algoritmo deste tipo, mas requer a inversão da matriz de relutâncias, que também pode ser computacionalmente pesado. Além disso, a matriz se torna cheia após essa inversão, impactando no desempenho das ferramentas matemáticas e computacionais disponíveis para a tratativa de matrizes esparsas.
Após analisar o tempo de solução de cada método, decidiu-se pelo método nodal para resolver os casos de teste apresentados neste trabalho. No entanto, uma análise futura interessante seria realizar esta comparação considerando-se modelos com materiais não-lineares, pois o método de solu- ção acaba influenciando na quantidade de iterações dos solucionadores não- lineares (DERBAS et al., 2009).
3.3.8 Equivalência entre formulações
A formulação A baseada em elementos de aresta é amplamente utili- zada para modelagem magnetostática e por isso a importância da sua compa- ração com a formulação em B estudada neste trabalho.
Para tal, parte-se da forma fraca da formulação em A, com as funções de teste A0∈ W1, Z Ω 1 µrotA · rot A 0dΩ−Z Ω 1 µBr · rot A 0dΩ+ Z Γ (n × H) · A0dΓ = Z Ω J · A0dΩ (3.50)
Através da relação entre os espaços funcionais rotA0= B0e Eq. (2.8), pode-se escrever: Z Ω 1 µrot A · B 0dΩ −Z Ω 1 µBr · B 0dΩ+ Z Γ (n × H) · A0dΓ = Z Ω rot H · A0dΩ (3.51)
Expressando A em termos de B (B = rot A), tem-se que:
Z Ω 1 µB · B 0dΩ −Z Ω 1 µBr · B 0dΩ+ Z Γ (n × H) · A0dΓ = Z Ω rot H · A0dΩ (3.52)
No termo de integral de superfície, pode-se reescrever (n × H) · A0 como −(n × A0) · H, que é nulo devido à condição de contorno n × A0|Γ
B= 0. Assim, considerando a condição de contorno para a indução magnética B, as formulações são equivalentes, uma vez que n × A0|Γ
B = n · B 0|
ΓB = 0. Quanto ao último termo da Eq. (3.52), é possível aplicar o teorema de Green do tipo rot − rot e rot A0= B0,
Z Ω rot H · A0dΩ = Z Ω H · B0dΩ + Z Γ A0× n · H dΩ (3.53)
onde o último termo é nulo e o campo fonte Hsé obtido através da equação de Biot-Savart, uma vez que rot Hr= 0,
Z Ω rot H · A0dΩ = Z Ω Hs· B0dΩ (3.54)
Ambas as formulações parecem ser equivalentes, porém são imple- mentadas de maneiras distintas, sendo a formulação em A obtida através da Eq. (3.21) (Seção 3.2) e a formulação em B (Seção 3.3.2) através de um circuito magnético. À vista desta diferença, vale analisá-las pelos seguintes prismas:
i Dado o número de arestas de uma malha regular tetraédrica (GUMHOLD; GUTHE; STRASSER, 1999) e a quantidade de incógnitas por aresta da for- mulação A (TAKAHASHI et al., 1992), é possível verificar que o número de incógnitas totais são similares em ambas as formulações;
ii A formulação em A requer uma condição de calibre baseada em uma árvore/co-árvore, enquanto a formulação em B requer uma matriz de in- cidências.
Sendo assim, conclui-se que além de as formulações serem matemá- tica e fisicamente iguais, pode-se assumir que são também semelhantes em termos de esforço computacional.
No entanto, no estado atual não é possível compará-las em termos de desempenho computacional, pois neste trabalho a formulação em A é resol- vida através do programa GetDP, que é implementado em linguagem C++, e a formulação em B em Python.
3.3.9 Implementação da metodologia
Estando a formulação magnetostática em B definida, parte-se para a apresentação sobre como foi implementado o sistema computacional desen- volvido.
A metodologia de trabalho com programas computacionais baseados em métodos numéricos aplicados à engenharia tem sido consideravelmente constante, pois depende basicamente de três etapas, sendo elas: pré-processamento, processamento e pós-processamento (SOTO et al., 2008), conforme apresentado
no fluxograma dado na Figura 16. Em cada uma destas etapas são executadas atividades específicas, as quais são apresentadas nas seções subsequentes.
Figura 16: Fluxograma geral para programas baseados em métodos numéri- cos. Pré-processamento Início Processamento Pós-processamento Fim 3.3.9.1 Pré-processamento
Como o objetivo deste trabalho não é estudar métodos para criação de geometrias (CAD) ou geração de malha, utiliza-se o programa Gmsh (GEU- ZAINE; REMACLE, 2009) para este fim. No entanto, os outros passos do pré- processamento são descritos no fluxograma apresentado na Figura 17.
Uma vez definida a geometria no programa Gsmh, uma malha é gerada e salva em um arquivo com formato específico, que é lido pela aplicação.
Também com os dados da geometria, torna-se possível definir o ma- terial de cada região do domínio, suas possíveis excitações e acoplamentos com possíveis circuitos magnéticos externos. Isto é feito através de um ar- quivo denominado setup, conforme exemplificado na Figura 18.
Desta maneira, com os arquivos de malha e setup, têm-se todos os dados necessários para a modelagem em si, finalizando esta etapa.
Em termos de implementação, todos os dados de pré-processamento são organizados e centralizados em uma única estrutura Python, facilitando assim o acesso e organização do código.
Figura 17: Fluxograma para a etapa de pré-processamento.
Início
Geometria
Aplicar materiais, excitações e definições dos possíveis circuitos
externos
Ler arquivo do setup Gerar malha
Ler arquivo de malha
Criar estrutura de pré-processamento Fim Definição do setup do problema Geração da malha
Figura 18: Exemplo de arquivo para o setup.
3.3.9.2 Processamento
De posse dos dados de pré-processamento, inicia-se a etapa de proces- samento, Figura 19.
O primeiro passo é verificar se existe alguma região do domínio na qual é imposta densidade de corrente elétrica. Caso exista, calcula-se o campo Hsao longo do domínio, neste caso, através da equação de Biot-Savart. Os resultados obtidos são escritos em um arquivo de solução de campos.
Além de densidade de corrente, o domínio pode contar com ímãs per- manentes. Caso isto ocorra, precisa-se somar ao campo anterior a contribui- ção dos ímãs, H0= Hs+ Hc.
Após definida a solução de campo magnético H0, a qual é aplicada no termo fonte do sistema matricial dado na Eq. (3.43), esta é lida do arquivo escrito previamente e armazenada em memória.
Uma vez definido o campo fonte, a malha gerada precisa ser expressa como uma rede de relutâncias. Para tal, cada aresta de malha 2-D ou cada face de malha 3-D é interpretada com um ramo do circuito magnético. Para ter esse controle e arbitrar o sentido de cada um destes ramos, cria-se uma lista destas faces, contendo as seguintes informações:
• Elementos que compartilham a face: Define o sentido do ramo, pois o ramo vai do elemento a, de, para o elemento b, para, conforme ilus-
trado na Figura 11;
• Nós (numeração global) da malha que compõe aquela face: Identifica cada face em relação à malha, o que é importante durante a aplicação das condições de contorno.
Com os dados de pré-processamento, resultados de campo magnético fonte e mapeamento das faces da malha, pode-se proceder com a integral dada na Eq. (3.43), resultando nas matrizes de relutâncias [ℜ] e de fontes [ f mm].
Caso o usuário tenha cadastrado algum circuito magnético externo no arquivo de setup, os valores das relutâncias magnéticas são calculados através das dimensões informadas e inseridos na matriz [ℜ]. Estes ramos são inseri- dos na lista de faces mencionada anteriormente e os valores de fonte de fmm são inseridos na matriz [ f mm].
O acoplamento entre a rede obtida através do MEFF com a rede ex- terna é oriundo da modificação desta lista de faces, pois esta contém as infor- mações de e para de cada ramo de ambos os circuitos (convertido da malha e circuitos externos). Desta forma, modificando uma destas informações (de ou para) de um ramo da malha para um nó na rede externa, acaba por conectar as duas redes. Verifica-se que este é um processo simples e computacionalmente leve.
Com a lista de faces definindo as conexões da rede como um todo, basta definir a matriz de incidências através desta e resolver o circuito mag- nético completo.
O resultado da solução do circuito é o fluxo para cada ramo da rede, ou seja, para cada ramo da rede externa e da rede obtida através do MEFF. Tais resultados são escritos em um arquivo para a etapa de pós-processamento.
Figura 19: Fluxograma para o processamento - Parte 1. Início Obter dados do pré-processamento Domínio com excitação? Fazer H0= Hs (Biot-Savart) Escrever solução de campos Domínio com ímã? Fazer H0= Hs+ Hc Escrever solução de campos Ler solução de campos 1 Excitação por corrente Excitação por ímã permanente sim não sim não
Figura 20: Fluxograma para o processamento - Parte 2. 1
Criar lista de faces baseada na malha Integrar equações conforme Eq. (3.43) Circuito externo? Adicionar ramos na lista de faces Calcular valor das
relutâncias
Adicionar ramos nas matrizes de relutâncias e fontes
Alterar lista de faces para acoplamento com
circuito externo 2 Acoplamento com circuito externo sim não
Figura 21: Fluxograma para o processamento - Parte 3.
Excluir faces sem fluxo das matrizez e
lista de faces 2
( n · B|Γ B = 0)
Criar matriz de inci- dências baseada na lista de faces Resolver circuito magnético Escrever valores de de fluxo magnético para todos os ramos
Fim
3.3.9.3 Pós-processamento
No estado atual do desenvolvimento, a etapa de pós-processamento, Figura 22, torna-se mais simples que as etapas anteriores, pois esta lê os re- sultados de fluxo magnético para as faces da malha e elabora a interpolação dada na Eq. (3.30). Os resultados, induções magnéticas no domínio completo ou em regiões específicas, são escritos em um arquivo de texto com formato específico para visualização no programa Gmsh ou outras ferramentas de aná- lise.
Figura 22: Fluxograma para o pós-processamento.
Início
Interpolar B através dos fluxos nas faces
Eq. (3.30) Escrever arquivos de pós-processamento para vizualização no programa Gmsh Fim 3.4 RESULTADOS
Os modelos utilizados para verificar a metodologia proposta anterior- mente seguem uma ordem de complexidade. Primeiro, um modelo simples 2-D, representando um tubo de fluxo ideal, é utilizado para ilustrar a matriz de rigidez do MEFF e seu acoplamento com circuitos externos. Após, mode- los mais realísticos em 2 e 3-D são analisados. Estes modelos são resolvidos completamente com o MEFF, através de acoplamentos com circuitos externos (MRR) e com o MEF clássico. Assim, os resultados podem ser comparados entre si.
Nas soluções com o MEF clássico, resolve-se a formulação em poten- cial vetor magnético A através do programa GetDP (DULAR et al., 1998b).
3.4.1 Tubo de fluxo ideal
Uma vez definida a formulação e o processo de implementação, necessita- se preferencialmente validar a matriz de relutâncias magnéticas obtidas, já que a formulação gera relutâncias próprias e mútuas entre as faces de cada elemento.
corretos é verificar a relutância equivalente de uma região conhecida. Para tal, define-se uma região simples e sem espraiamento de fluxo acoplada a um circuito magnético externo. Tal esquema e suas condições de contorno são ilustrados na Figura 23a. Esta região possui dimensões iguais, permitindo a analogia de que, se µ0= 1 e a relutância do circuito magnético externo é nula, o fluxo magnético que circula pela fonte é o próprio valor da fonte.