6.1. Comentários Iniciais
Nesse capítulo, são apresentadas as características mais relevantes do modelo numérico desenvolvido no âmbito desta dissertação. Com a modelagem numérica realizada, pretende-se avaliar a evolução do campo de temperatura no interior de pilares de concreto armado envolvidos ou não com revestimento contra o fogo.
A análise da evolução do campo de temperatura de um elemento estrutural ou de uma estrutura pode ser considerada, de forma simplificada, independente da distribuição de tensões nos elementos, dessa forma, é possível resolver o problema de análise de uma estrutura em duas fases separadas. Numa primeira fase realiza-se uma análise térmica para determinar a evolução de temperaturas nos elementos ao longo do tempo. Posteriormente, procede-se a análise mecânica determinando os deslocamentos e a distribuição de tensões provenientes das ações mecânicas e do campo de temperatura proveniente da ação térmica (BRATINA et. al, 2005).
No que segue, apresenta-se a descrição do modelo numérico térmico, onde a formulação foi implementada utilizando o software Matlab. O modelo tem por base o método das diferenças finitas e realiza a análise térmica em regime transiente, tendo como resultado a evolução dos campos de temperatura ao longo do tempo.
6.2. Método das Diferenças Finitas
Segundo Hoffman (2001), o método de diferenças finitas (MDF) é um procedimento numérico que resolve equações diferenciais parciais (EDP), por discretização do domínio físico contínuo em uma malha discreta finita, aproximando cada derivada parcial na EDP por aproximações de diferenças algébricas finitas. Ao substituir essas aproximações na EDP, será obtida uma equação algébrica de diferenças finitas para a variável dependente.
Na Figura 6.1 é ilustrada uma malha para a formulação de diferenças finitas de condução de calor no plano cartesiano para um problema bidimensional, onde será determinado o campo de temperatura na seção transversal do elemento.
Figura 6.1 - Domínio bidimensional discretizado.
Fonte: Autora (2018).
Os espaçamentos horizontais e verticais são dados respectivamente por ∆𝑥 e ∆𝑦, como mostra a figura anterior. Salienta-se que quanto menores esses espaçamentos, maior será a precisão dos resultados. Os índices i e k são utilizados para identificar as posições dos pontos nodais em relação aos eixos x e y na linha e na coluna da temperatura a ser encontrada.
Como se trata de um regime transiente, há variação da temperatura com o tempo, bem como no espaço, e, portanto, a solução através do método de diferenças finitas requer a discretização temporal, além da discretização espacial anteriormente mostrada. Isso é realizado selecionando um intervalo de tempo adequado (∆𝑡) e computacionalmente serão determinadas as temperaturas em cada ponto nodal, para cada intervalo de tempo. O índice j será utilizado para identificar cada passo do tempo a ser analisado. Assim, a equação 3.7 pode ser reescrita para uma análise bidimensional transiente na forma
𝜌𝑖,𝑘𝑗 . 𝑐𝑖,𝑘𝑗 .𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑥 (𝜆𝑖,𝑘𝑗 . 𝜕𝑇 𝜕𝑥) + 𝜕 𝜕𝑦 (𝜆𝑖,𝑘𝑗 . 𝜕𝑇 𝜕𝑦) (6. 1)
As derivadas parciais na EDP para cada ponto da malha são aproximadas através dos valores correspondentes aos pontos vizinhos pelo uso do teorema de Taylor. Pelo método de diferenças finitas, tem-se para as diferenciais de primeira e segunda ordem, respectivamente, as seguintes equações:
𝜕𝑇 𝜕𝑥 = 𝑇𝑖,𝑘− 𝑇𝑖−1,𝑘 ∆𝑥 (6. 2) 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 = 𝑇𝑖+1,𝑘− 2𝑇𝑖,𝑘+ 𝑇𝑖−1,𝑘 ∆𝑥2 (6. 3)
O MDF pode ser formulado por formas explícitas e implícitas de soluções para problemas de condução transiente. A formulação explícita nem sempre fornece resultados que convergem para uma solução estável, e, assim sendo, foi utilizada a formulação implícita nesse trabalho. Essa formulação é dita implícita porque as temperaturas nodais desconhecidas para o novo instante de tempo são determinadas majoritariamente pelas demais temperaturas nodais desconhecidas no mesmo passo de tempo. Assim, a determinação de uma temperatura nodal em algum tempo é dependente das temperaturas nos outros pontos nodais no mesmo instante.
Dessa forma, a equação governante para se obter a distribuição de temperaturas na seção transversal de um elemento, em regime transiente, pode ser expressa da seguinte forma
𝜌𝑖,𝑘𝑗−1. 𝑐𝑖,𝑘𝑗−1.𝑇𝑖,𝑘𝑗 −𝑇𝑖,𝑘𝑗−1 ∆𝑡 = 𝜆𝑖,𝑘 𝑗−1.𝑇𝑖−1,𝑘𝑗 +𝑇𝑖+1,𝑘𝑗 −2𝑇𝑖,𝑘𝑗 ∆𝑥2 + ( 𝜆𝑖,𝑘𝑗−1−𝜆𝑖−1,𝑘𝑗−1 ∆𝑥 . 𝑇𝑖,𝑘𝑗−𝑇𝑖−1,𝑘𝑗 ∆𝑥 ) + 𝜆𝑖,𝑘 𝑗−1.𝑇𝑖,𝑘−1𝑗 +𝑇𝑖,𝑘+1𝑗 −2𝑇𝑖,𝑘𝑗 ∆𝑦2 + (𝜆𝑖,𝑘𝑗−1−𝜆𝑖,𝑘−1𝑗−1 ∆𝑦 . 𝑇𝑖,𝑘𝑗 −𝑇𝑖,𝑘−1𝑗 ∆𝑦 ). (6. 4)
Para a solução do sistema de equações não lineares, é utilizado o método iterativo de
Newton-Raphson (QUADROS e BORTOLI, 2009).
6.3.Propriedades dos materiais e parâmetros de transferência de calor
Na elaboração do modelo numérico para a análise térmica, é necessário o conhecimento das propriedades mais relevantes dos materiais. Assim, as análises são realizadas tanto com os valores das propriedades variando com a temperatura, como também utilizando os valores simplificados encontrados em normas, já apresentados anteriormente no Capítulo 4. Tais valores
simplificados permitem obter a elevação de temperatura para toda a seção transversal, por meio de equações analíticas simples.
Além das propriedades termofísicas dos materiais, define-se a emissividade da superfície do concreto e parede de alvenaria, E=0,7, para o coeficiente de transmissão de calor por convecção utiliza-se para a face exposta ao fogo, αc = 25 W/(m2°C), e, para a face não exposta ao fogo, no
caso de pilares inseridos em paredes de alvenaria, considera-se coeficiente de convecção αc′ = 9 W/(m2°C) (EN 1991-1-2:2002). Ressalta-se que não foi considerado o mecanismo de condução
de calor na interface entre os materiais, concreto e alvenaria.
6.4. Ação térmica e condições de contorno
Na modelagem numérica, define-se como ação térmica a curva de aquecimento padrão ISO 834:1975, tratada em detalhe no Capítulo 2.
Assume-se, em todos os exemplos analisados, uma temperatura inicial para a seção transversal igual à temperatura ambiente, tomada como 20 °C.
Para solução numérica do problema, utiliza-se a condição de contorno de Neumann, que se caracteriza pela existência de um fluxo de calor no contorno do elemento conhecido em cada instante de tempo. A equação 6.5 descreve o fluxo por convecção e radiação, enquanto que a equação 6.6 descreve apenas o mecanismo de convecção.
−λ𝑇1,𝑘 𝑗 − 𝑇 0,𝑘𝑗 ∆𝑥 = αc∙ T∞− αc∙ 𝑇0,𝑘𝑗 + εσ ∙ 𝑇∞4 − εσ ∙ 𝑇0,𝑘𝑗 4 (6. 5) λ𝑇𝑖,𝑘 𝑗 − 𝑇 𝑖−1,𝑘𝑗 ∆𝑥 = αc′ ∙ T∞− αc′ ∙ 𝑇𝑖,𝑘𝑗 (6. 6)
O procedimento de cálculo do modelo numérico desenvolvido é apresentado no fluxograma da Figura 6.2. Inicialmente insere-se alguns dados de entrada, tais como: tempo de análise (t), espaçamentos horizontais e verticais da malha discretizada do domínio (∆𝑥 𝑒 ∆𝑦), discretização temporal (∆𝑡), temperatura ambiente (𝑡𝑎𝑚𝑏), largura (b) e altura (h) do elemento
estrutural analisado, coeficiente de convecção (𝛼𝑜), emissividade do material (𝜀) e a curva de incêndio padrão considerada (ISO 834). Posteriormente o programa prossegue calculando para a temperatura ambiente os valores das propriedades termofísicas dos materiais segundo as equações encontradas em normas (exceto nos exemplos onde foram considerados o uso dos valores simplificados). Para cada passo de tempo utiliza-se o método de Newton-Raphson para encontrar o valor da temperatura na face do pilar, com isso, utilizando o método de diferenças finitas calculam-se as temperaturas em cada ponto nodal da malha discretizada. Repete-se esse procedimento até o último passo de tempo, determinado pelo tempo de análise definido no início do modelo numérico. Por fim, o modelo gera mapeamentos da evolução da temperatura na seção transversal do pilar.
Figura 6.2 – Fluxograma de funcionamento do modelo numérico.
Fonte: Autora (2018).