Com o objetivo de se resolver o problema da elasticidade utilizando o método de discretização dos elementos finitos deve-se primeiro reescrever uma das equações do mo-delo em sua forma integral, “enfraquecendo”, portanto, os requerimentos de continuidade da solução. Detalhes sobre a forma estão explicitos na Seção 3.1.2. A equação passa a valer em sentidode médiasobre os subdomínios, devido a inserção de uma função peso na integral, (FELIPPA, 2005).
A forma integral da equação pode ser obtida por meio do cálculo variacional. A construção da forma variacional a partir da forma forte começa pela escolha de um dos campos, ver diagrama na Figura 4.6, e enfraquecer uma ou mais ligações. No caso, as ligações representam equações diferenciais que ligam as variáveis de campo. Ao enfraque-cer as ligações, gera-se um conjunto de novas equações em suaforma fraca, o que pode
ser entendido como uma etapa intermediária na passagem daforma fortepara aforma variacional, (FELIPPA, 2005).
Aforma variacionalé materializada em termos de um funcional,Π, que contém relações integrais dos campos de interesse do problema. Associando a forma variacional à um princípio variacional, por exemplo, fazer a primeira variação ser igual a zero,δΠ=0, retorna-se a forma forte do modelo. Em mecânica, o funcional é chamado de Energia Potencial Total e o princípio variacional de Princípio de Minimização da Energia Potencial.
A construção da forma variacional a partir da forma forte do modelo é descrita a seguir.
4.7.1 Construção da Forma Variacional
A construção do funcional para o problema tem início na forma forte e por meio de manipulações matemáticas, e.g., integração por partes e teorema da divergencia. Termina-se checando Termina-se a minimização do funcional retorna de fato a equação diferencial governante.
Notar que, para um problema específico, não existe apenas um mas vários funcionais podem ser aplicados, (BATHE, 1996, p. 116). As vantagens na utlilização das equações na forma variacional foram explicitadas na Seção 3.1.3.
Em Rao (2011, p. 295), a expressão variacional é obtida por meio da definição de energia potencial total como sendo a energia potencial da deformação elástica e uma parcela negativa do trabalho realizado por forças externas.
Em Felippa (2005), a construção da forma variacional consiste na seleção the campos de interesse primários para em seguida enfraquecer um ou mais conexões, i.e., equações que ligam as variáveis de campos. O processo de enfraquecimento produz a forma fraca, equivalente a obtida por um método de residuais ponderados. A forma fraca é vista como um meio termo entre a forma forte, diferencial, e a forma variacional, integral. Os passos para produção da forma variacional são:
1. Seleção dos campos de interesse primário,master field. No caso, o campos de des-locamento, ui, é escolhido como primário; e os de tensão e de deformação,σi j eεi j
como secundários.
2. Seleção das ligações fracas,weak links. Ligações são equações que relacionam os campos, podendo serfortesoufracas. As ligações fortes garantem a relação ponto-a-pontoenquanto as ligações fracas garantem a relação em termos de média, por meio de uma relação integral, i.e., soma no domínio, com um peso.
3. Construção da forma fraca. A forma fraca é construída escolhendopesospara as ligações fracas e integrando-os sobre o domínio;
4. Identificar na forma fraca o peso como sendo a variação de alguma variável física.
5. Identificar o funcional e verificar se a sua minimização retorna a equação diferencial.
4.7.2 Escolha da Variável Primária
O primeiro passo na construção da forma variacional é definir qual será a variável primária e consequentemente as secundárias. A escolha da variável primária define o caminho para dicretização das equações. Os deslocamentos serão escolhidos como variáveis de interesse primário.
4.7.3 Ligações Fracas
As ligações fracas escolhidas são as equações de balanço, ou equilíbrio, e as condi-ções de contorno de fluxo, ver Figura 4.7,
Ligações Fracas
σi j,j+bi=0, emΩ σi jnj=t¯i emΓt
(4.28)
Figura 4.7 – Ilustração do modelo da elasticidade linear com as conexões fracas, em linha pontilhada.
(FELIPPA, 2005)
4.7.4 Forma Fraca
A geração da forma fraca do modelo matemático representa um passo intermediário para construção da forma variacional. Para transformar uma equação da sua forma forte para a fraca utiliza-se o mesmo princípio estabelecido na construção do método dos resi-duais ponderados. Primeiro multiplica-se a equação por um campo vetorial diferenciável qualquer,vi, e em seguida calcula-se a integral no domínio:
Z
Ω
¡σi j,j+bi¢
vidΩ=0. (4.29)
Aplicando a regra do produto do cálculo, (σi jvi),j=σi j,jvi+σi jvi,j, ver Apêndice B.8, e o teorema da divergência, Apêndice B.7, no primeiro termo, chega-se a
Z
Ωσi j,jvidΩ= − Z
Ωσi jvi,jdΩ+ Z
Γσi jnjvidΓ. (4.30)
4.7.5 Identificando a Função Peso
A função pesovi, utilizada na construção da forma fraca, pode ser assumida como sendo a variação do campo de deslocamentos,δui. Essa escolha surge pois reconhece-se a expressão R
Ωσi jvidΩ como medida da energia interna de deformação elástica. Essa escolha é justificada de forma rigorosaa posteriori.
Alguns autores, partem, na construção da forma fraca, diretamente com uma variação dos deslocamento. Em mecânica esse procedimento é chamado de Teorema dos Deslocamentos Virtuais. Identificando o campo vetorialvi como sendo uma função peso, chega-se a exatamente a mesma construção por meio do Método de Residuais Ponderados.
4.7.6 Identificano o Funcional
Substituindo (4.30) em (4.29), e utilizandovi=δui, tem-se Z
Ωσi j,jvidΩ+ Z
ΩbividΩ=0
− Z
Ωσi jvi,jdΩ+ Z
Γσi jnjvidΓ+ Z
ΩbividΩ=0 Z
Ωσi jδui,jdΩ− Z
Γσi jnjδuidΓ− Z
ΩbiδuidΩ=0.
(4.31)
Identificandoδui,j=δεi j e substituindo o valor da tensão tração no contornoΓ,σi jnj=t¯i, chega-se a
δΠ= Z
Ωσi jδεi jdΩ− Z
ΩbiδuidΩ− Z
Γ
t¯iδuidΓ=0, (4.32) que corresponde aplicar a primeira variação da Energia Potencial Total igual a zero. Dessa forma, para materiais lineares elásticos é possível identificar o funcional por meio da definição,
Π[ui]def= 1 2 Z
Ωσi jεi jdΩ− Z
ΩbiuidΩ− Z
Γ
¯tiuidΓ. (4.33)
4.7.7 Princípio de Minimização da Energia Potencial
A energia potencial de um corpo elástico é definida como
Πdef=U−W (4.34)
onde,Urepresenta a energia potencial da deformação elástica eW é o trabalho das forças externas, de corpo e de superfície. O sinal negativo acompanhando o trabalho indica que ao realizar trabalho, que representa uma das forças de transferir energia, perde-se energia potencial, (COOK, 2002, p. 139).
O Princípio de Minimização da Energia Potencial Total diz:De todos os possíveis estados que um corpo pode assumir o estado que satisfaz as condições de equilíbrio faz a Energia Potencial Total ser mínima. Matematicamente esse princípio pode ser expresso com a primeira variação do funcional igualada a zero,δΠ=0.
A energia potencial de deformação elástica é definida como, Udef=
Z
ΩUdΩ, (4.35)
onde,U é a densidade de energia de deformação elástica dada por, (COOK, 2002, p. 142) e (BUCALEM; BATHE, 2011, p. 391)
U def= Z σx
0 σxdεx+ Z σy
0 σydεy+ Z σz
0 σzdεz+ Z σx y
0 σx ydγx y+ Z σxz
0 σxzdγxz+ Z σyz
0 σyzdγyz
(4.36) Caso o problema seja linear, essa expressão é reduzida ao seguinte resultado com as componentes expressas nas Equações (4.2) e (4.15).
U def= 1
2σi jεi j≡1
2σ:ε. (4.37)