Formulações de Programação Matemática do PFMB

Vários trabalhos encontrados na literatura são dedicados à solução do Problema de Fluxo Multiproduto por meio de métodos de resolução PLIM. Esses métodos podem requerer a solução de um número exponencial de subproblemas, fazendo com que algumas instâncias não sejam resolvidas em função do limite de tempo e/ou recursos computacionais existentes. Muitas vezes, a formulação utilizada influencia diretamente no desempenho desses resolvedores PLIM.

Este capítulo apresenta duas formulações para o problema, propostas a partir da dualização da formulação original do Problema de Fluxo Multiproduto Binário.

4.1 Formulação Original F

A formulação matemática do Problema de Fluxo Multiproduto Binário, denotada por F, foi apresentada em Alvelos (2005). Para melhor clareza nas apresentações das dualizações propostas, a formulação do PFMB será, novamente, detalhada neste capítulo, sendo denotada por F.

Considere uma rede direcionada representada por um grafo G = (N,A). O grafo G é dado por um conjunto den nós, denotado porN e por um conjunto de a arcos direcionados, denotado por A. Considere, ainda, um conjunto deh produtos, denotado por K.

Associado a cada arco a ∈ A, tem-se um par de nós (i, j) e um custo que é diferenciado de acordo com o produto, ou seja, o custo para transportar uma unidade de um dado produto por um dado arco não é necessariamente o mesmo para todos os produtos. O custo de transporte para cada produto, representado por ck

ij, denota o custo unitário para que o produto k trafegue no arco (i, j). A variável de decisão é representada porxk

ij. Essa variável está ligada à decisão de fazer passar, ou não, o produto k pelo arco (i, j). Deste modo, x^k_ij =1 se o arco pertence à rota para o fluxo do produto k e xk

ij=0, caso contrário. A capacidade do arco (i, j) é representada por u_ij. O parâmetro bk

i caracteriza o nó, ou seja, define se o nó ié origem ou destino para o produto k. Então b^k_i pode ser definido da seguinte forma:

4.2 FormulaçãoF_s: Dualização da restrição de capacidade 37

b^k_i =

 



1, se o nói é oferta para o produto k;

−1, se o nói é demanda para o produto k;

0, se o nói é um nó de transbordo para o produtok.

Sendork a quantidade do produtok a ser transportada do nó origem para o nó destino, a formulação original para o problema de fluxo, denotada por F é dada como segue: min ^X k∈K X (i,j)∈A c^k_ijr^kx^k_ij (4.1a) sujeito a: ^X j:(i,j)∈A x^k_ij − ^X j:(j,i)∈A x^k_ji =b^k_i, ∀i∈ N, ∀k ∈ K (4.1b) X k∈K r^kx^k_ij ≤u_ij, ∀(i, j)∈ A (4.1c) x^k_ij ∈ {0,1}, ∀ k ∈ K, ∀ (i, j)∈ A (4.1d) Em (4.1a) tem-se a função objetivo. Deseja-se encontrar os fluxos de menor custo total. Na restrição (4.1b) tem-se a conservação de fluxo, responsável por garantir o tráfego de cada produto, desde seu nó origem até seu nó destino. Em (4.1c) tem-se as restrições de capacidade, que limitam a quantidade de itens que trafegam em cada arco(i, j)da rede. Finalmente, em (4.1d) tem-se as restrições de integralidade para o problema.

4.2 Formulação F

: Dualização da restrição de

ca-pacidade

A partir da formulação original F (4.1) foi feita uma dualização da restrição de capacidade (4.1c). A restrição de capacidade impossibilita que os arcos sejam violados, restringindo o fluxo dos produtos de forma a não ultrapassar o limite das unidades totais permitidas nos arcos.

Ao se fazer a dualização desta restrição, a capacidade do arco pode ser violada. Contudo, uma penalização é introduzida na função objetivo, levando a um aumento no custo total de fluxo na rede, de acordo com as capacidades excedidas.

Consideres_ij como sendo a variável de folga relacionada à restrição de capacidade do arco(i, j). Sendoαum valor suficientemente grande, segue a formulaçãoF_s(4.2).

4.3 FormulaçãoF_t: Dualização da restrição de conservação de fluxo 38 min ^X k∈K X (i,j)∈A c^k_ijr^kx^k_ij +αsij (4.2a) sujeito a: ^X j:(i,j)∈A x^k_ij − ^X j:(j,i)∈A x^k_ji =b^k_i, ∀i∈ N, ∀k ∈ K (4.2b) X k∈K r^kx^k_ij −s_ij ≤u_ij, ∀(i, j)∈ A (4.2c) x^k_ij ∈ {0,1}, ∀ k ∈ K, ∀ (i, j)∈ A (4.2d) s_ij ≥0, ∀ (i, j)∈ A (4.2e)

Nessa nova formulaçãoF_s, o acréscimo da variável de folga s_ij permite exceder a capacidade do arco (i, j), viabilizando o fluxo de todos os produtos, uma vez que a restrição de conservação de fluxo é mantida inalterada. Essa variável contabiliza em quantas unidades o limite de cada arco foi excedido.

4.3 Formulação F

: Dualização da restrição de

con-servação de fluxo

Nesta nova formulação, fez-se a dualização da restrição de conservação de fluxo. A restrição de conservação de fluxo (4.1b) garante que todos os produtos sejam trafegados, ou seja, tem seu par origem-destino satisfeito.

A partir da formulação originalF (4.1), a dualização da restrição de conservação de fluxo possibilita que algum produto não satisfaça o seu par origem-destino. Com isso, o produto não possuirá fluxo na rede. Dualizando a restrição, acrescentou-se uma penalização na função objetivo, de forma que o custo total de fluxo na rede aumente de acordo com os produtos não roteados.

Para esta formulação, considere t^k_i como sendo a variável de folga relacionada à restrição de conservação de fluxo do produto k no nó i. Seja β um valor suficiente-mente grande, assim, a formulação F_t (4.3) é dada por:

min ^X k∈K X (i,j)∈A c^k_ijr^kx^k_ij +βt^k_i (4.3a) sujeito a: ^X j:(i,j)∈A x^k_ij − ^X j:(j,i)∈A x^k_ji − t^k_i ≤ b_i^k, ∀i∈ N, ∀k∈ K (4.3b) X k∈K r^kx^k_ij ≤u_ij, ∀(i, j)∈ A (4.3c) x^k_ij ∈ {0,1}, ∀ k ∈ K, ∀ (i, j)∈ A (4.3d) t^k_i ≥0, ∀i∈ N, ∀k ∈ K (4.3e)

Para melhor entendimento do papel desempenhado pela variável de folga t^k_i, suponha, sem perda de generalidade, um arco (i, j), em quei ej não são nó origem e nem nó destino para o produto k. Suponha, ainda, que o produto k não possa

4.3 FormulaçãoF_t: Dualização da restrição de conservação de fluxo 39

trafegar por este arco sem ultrapassar a sua capacidade. A fim de evitar a violação da restrição de capacidade (4.3c), o produto não poderá trafegar a partir do nó i. Então, o somatório da restrição de conservação de fluxo (4.3b) no nói será 1. Ora, i não é o nó-origem ou nó-destino para o produto k, logo, é um nó de transbordo, então bk

i = 0. Com isso, para satisfazer a restrição (4.3b), a variável tk

i terá que assumir o valor 1. Portanto, se existir uma variável tk

i = 1, para qualquer i ∈ N, significa que o produto k não foi roteado a partir do nó i, ou seja, não possui fluxo completo na rede.

Se o produtoknão encontra problemas em relação à capacidade nos arcos, então a restrição de fluxo será satisfeita de forma que a variável t^k_i terá o valor 0, ou seja, o produto será roteado.

Foi feita a comparação entre as três formulações aqui apresentadas. As for-mulações foram resolvidas pelo resolvedor CPLEX, com o limite de tempo de 100 segundos. A formulação F_t se comportou melhor, retornando soluções factíveis em tempo hábil, quando comparadas às outras formulações, ou apresentando número menor de nós abertos pela árvore de B&C. A descrição do comportamento da re-solução por método exato da formulação original F e das dualizações se dará no capítulo 6. A partir dos resultados desta comparação, decidiu-se pela utilização da formulação F_t para os algoritmos propostos.

Capítulo 5