Formula¸c˜ao N´o-Arco (N A)

A Figura 3.1 ilustra algumas possibilidades do grooming de tr´afego em um n´o. Nessa figura s˜ao representados: o tr´afego destinado ao n´o i, o tr´afego gerado por ele, e o tr´afego processado no n´o. A fibra de entrada e sa´ıda possui trˆes comprimentos de onda, que por sua vez podem suportar v´arias demandas de baixa velocidade. Note que o n´o i retira da rede todo o tr´afego destinado a ele (representado por d = i) e adiciona o tr´afego gerado por ele (representado por s = i). A agrega¸c˜ao de tr´afego, que caracteriza o problema de grooming de tr´afego, pode ser observada nos comprimentos de onda 1 e 2, de entrada e sa´ıda do n´o, e ´e explicitado pelas vari´aveis Csd

ij,1 e Xij,1, descritas posteriormente.

s = i d = i id ij

C

X

Figura 3.1: Ilustra¸c˜ao para o grooming de tr´afego no n´o i

i e j s˜ao n´os adjacentes da rede, ligados por uma conex˜ao bidirecional representada por ij e ji. Para o caso das redes opacas, tratado neste cap´ıtulo, ij e ji representam um par de fibras entre os n´os i e j. Contudo, o modelo pode ser facilmente estendido para redes com m´ultiplos pares de fibras, bastando para isso a inser¸c˜ao de um novo ´ındice para a diferencia¸c˜ao dos pares de fibras. s e d s˜ao, respectivamente, os n´os de origem e destino de uma demanda.

w ´e um comprimento de onda pertencente ao conjunto W .

Dados do problema:

E[i][j]: representa a matriz de adjacˆencias, descrevendo as liga¸c˜oes de uma topologia f´ısica.

|N | n´umero de n´os da rede, ou seja, a quantidade de elementos de conjunto N . |W | n´umero m´aximo de comprimentos de onda suportado por um enlace.

traf[s][d]: representa a matriz de tr´afego, onde o elemento da linha s e coluna d representa a demanda de tr´afego com origem em s e destino em d.

C quantidade m´axima de tr´afego transportado por um comprimento de onda.

Vari´aveis:

Xij,w ´e a quantidade de tr´afego no enlace ij sobre o comprimento de onda w (re-

do comprimento de onda no enlace ij. Csd

ij,w ´e a quantidade de tr´afego no comprimento de onda w do enlace ij, o qual tem

como origem e destino o par sd (representado na Figura 3.1).

Dsd,w ´e a fra¸c˜ao da demanda de tr´afego (traf[s][d]) sobre o comprimento de onda w.

OEOi vari´avel com o n´umero de convers˜oes ´optico-eletrˆonico-´optico (transceptores)

em cada n´o i.

Tendo j´a definidas as vari´aveis Csd

ij,w e Xij,w, pode-se voltar a Figura 3.1 para a

visualiza¸c˜ao da utiliza¸c˜ao dessas vari´aveis. Note que Xij,1 (a quantidade de tr´afego

no enlace ij sobre o comprimento de onda 1) recebe tr´afego de duas origens, uma demanda proveniente do comprimento de onda 1 e que ´e processada eletronicamente para ser agregada a outra proveniente do n´o i. Como aqui i = s, esta demanda ´e apresentada por Cid

ij,1.

Fun¸c˜oes objetivo: Dentro do contexto de minimiza¸c˜ao de custos existem v´arias abordagens, como, por exemplo, a minimiza¸c˜ao de caminhos ´opticos em uma topolo- gia virtual ou a minimiza¸c˜ao de comprimentos de onda em uma rede opaca. Neste trabalho s˜ao consideradas as seguintes fun¸c˜oes objetivo: i) minimizar o n´umero total de transceptores (3.1); ii) e minimizar a quantidade de transceptores no pior caso, i.e., o n´o com o maior n´umero de transceptores (3.2).

min :X

i

OEOi (3.1)

min : max{OEOi} (3.2)

Restri¸c˜oes:

C × XBij,w ≥ Xij,w, ∀ i, j, w; E[i][j]=1 e w ∈ W (3.3)

X

sd

X w Dsd,w = traf[s][d], ∀ s, d; s 6= d (3.5) X j C_ij,wsd −X j C_ji,wsd =    Dsd,w se i = s −Dsd,w se i = d zero se i 6= s e i 6= d ∀ s, d, i, w; s 6= d e w ∈ W (3.6) X j X w XBij,w = OEOi, ∀ i (3.7) Xij,w ∈ Z+, ∀ : i, j, w; E[i][j]=1 e w ∈ W (3.8) C_ij,wsd ∈ Z+, ∀ s, d, i, j, w; s 6= d, E[i][j]=1 e w ∈ W (3.9) Dsd,w ∈ Z+, ∀ s, d, w; s 6= d e w ∈ W (3.10) OEOi ∈ Z+, ∀ i (3.11) XBij,w ∈ {0, 1}, ∀ i, j, w; E[i][j]=1 e w ∈ W (3.12)

Descri¸c˜ao do modelo matem´atico:

Esse modelo tem como fun¸c˜ao objetivo a minimiza¸c˜ao do n´umero de transcep- tores e assim, pela restri¸c˜ao (3.7), reduzindo tamb´em o n´umero de comprimentos de onda usados nos enlaces, representado pela vari´avel XBij,w. A express˜ao (3.3)

indica que caso exista algum tr´afego sendo roteado pelo comprimento de onda w no enlace ij, representado por Xij,w, obrigatoriamente a vari´avel XBij,w deve assumir

o valor 1. Assim, tal express˜ao ´e usada para estabelecer a rela¸c˜ao entre as vari´aveis Xij,w e XBij.w. Al´em disso, como C ´e o parˆametro indicando a capacidade do com-

primento de onda, a restri¸c˜ao (3.3) tamb´em assegura que a quantidade de tr´afego em um comprimento de onda n˜ao exceder´a a capacidade do mesmo.

A express˜ao (3.4) pode ser chamada de restri¸c˜ao de grooming de tr´afego. A somat´oria de Csd

ij,w sobre sd indica que todas as demandas que tiverem alguma fra¸c˜ao

de tr´afego sendo roteado pelo comprimento de onda w e enlace ij s˜ao agregadas e atribu´ıdas `a vari´avel Xij,w. Assim, essa restri¸c˜ao permite o agrupamento de tr´afego,

que ´e um dos principais objetivos do grooming de tr´afego.

demanda da tr´afego (traf[s][d]), garantindo que todo tr´afego ´e atendido.

Nas equa¸c˜oes (3.6) tem-se a cl´assica restri¸c˜ao de conserva¸c˜ao de fluxo. A diferen¸ca entre as somat´oria, do lado esquerdo da igualdade, indica a quantidade de tr´afego de todas as demandas sd, que est´a entrando ou saindo de um determinado n´o i. Caso i seja igual a s, a somat´oria de todo tr´afego entrando ou saindo de s deve ser igual `a fra¸c˜ao dessa demanda distribu´ıda em cada comprimento de onda. Caso o n´o n˜ao seja nem origem e nem destino da demanda, ent˜ao a somat´oria das parcelas de tr´afego deve ser igual a zero, pois o tr´afego ´e apenas de passagem nesse n´o. Para o caso de i ser igual `a d, ent˜ao a explica¸c˜ao ´e an´aloga ao caso de i = s, por´em, a demanda aqui recebe o sinal negativo, que d´a um sentido ao fluxo do tr´afego. Assim, assegura-se que toda demanda ´e inserida na rede apenas no n´o de origem e retirado apenas no n´o de destino.

Na restri¸c˜ao (3.7), as somat´orias de XBij,w em j e w indicam a quantidade de

canais usados para interligar o n´o i `a todos os outros n´os fisicamente adjacentes. Assim essa restri¸c˜ao ´e usada para contabilizar o n´umero de transceptores existentes no n´o i.

As express˜oes (3.8), (3.9), (3.10) e (3.11) representam as restri¸c˜oes de n˜ao- negatividade e integralidade das vari´aveis Xij,w, Cij,wsd , Dsd,w e OEOi, respectiva-

mente. A restri¸c˜ao (3.12) garante que a vari´avel XBij,w ´e bin´aria.