Fractais

2.2.2.3.1 Conceito de Fractais

Os fractais são objetos geométricos construídos pela repetição de padrões em escalas cada vez menores (SCHMIDT, 2005). Segundo Mandelbrot (2011), os fractais são formas geométricas que podem ser separadas em partes, cada uma sendo a versão reduzida em escala do todo.

2.2.2.3.2 Determinismo e Aleatoriedade

O conceito de fractal remete ao entendimento de determinismo e aleatoriedade. Na visão determinística todos os eventos foram traçados desde o momento da existência e seu movimento seguinte é previsível, sendo considerado como a lei natural das coisas. A visão aleatória defende que os acontecimentos não derivam de qualquer estrutura ou ordem ao longo do tempo e criam o que chamamos de inovação e variedade (PETERS, 1994).

Na teoria fractal, a aleatoriedade e o determinismo, o caos e a ordem coexistem (PETERS, 1994). Nos gráficos de fractais é possível analisar como há essa coexistência: há uma aleatoriedade local, mas um determinismo global que cria uma estrutura estável. Aplicando ao mercado podemos verificar que a informação é considerada como a inovação, o que vai mudar o comportamento dos investidores.

O determinismo neste caso é como os mercados vão analisar a informação.

2.2.2.3.3 Propriedades

Segundo Peters (1994) os fractais possuem certas características que determinam sua existência que são:

a) Auto-similaridade: as partes são relacionadas com o todo de alguma forma. Em escalas maiores onde graficamente há um comportamento aleatório, e em outra escala é possível identificar um padrão.

b) Escala-invariante: não há uma escala característica a partir da qual derivam as seguintes. Os demais “ramos” podem ser originados a qualquer momento no fractal.

Usando como exemplo a figura abaixo, um fractal determinístico é aquele que possui uma similaridade geométrica, um padrão de repetição a cada escala (figura “a”). Um fractal aleatório, também conhecido pela denominação self-affine, é formado seguindo um padrão estocástico nas escalas em ambos os eixos, e este que será estudado na aplicação do método ao mercado de ações (figura “b”).

Figura 1- Tipos de Fractais Fonte: Schmidt, 2005

O que ambos possuem em comum é a dimensão (SCHMIDT, 2005), que descreve numericamente como os objetos estão distribuídos em um espaço, e também quão oscilatória é uma série no tempo.

A dimensão fractal é importante por reconhecer que um processo pode ser algo entre determinístico e aleatório. A dimensão pode ser calculada a partir da seguinte fórmula segundo Schmidt (2005):

(3)

Onde:

L = unidade de medida fixa ao estabelecer o tamanho do objeto a ser utilizado para cobrir o gráfico.

N(L) = número de objetos com L unidades de medida.

Utilizando como exemplo a Ilustração 1 é possível verificar que L é a medida do comprimento do lado de um dos quadrados gerados a partir do primeiro, e que a razão proposta identifica como está distribuída a nova forma em relação ao plano anterior.

Neste caso, consideramos N(L) = 5 e, considerando o comprimento L, a figura original tem L = 3 de medida de lado. Calculando a dimensão:

→ →

Para realizar cálculos será utilizada a metodologia R/S, ou Rescaled Range Analysis, que distingue os fractais dos outros tipos de séries utilizando o Coeficiente de Hurst, que faz a ligação da dimensão fractal com o comportamento de uma série.

A relação do coeficiente com a dimensão fractal é explicada, segundo Schmidt (2005), pela equação.

Onde:

D = dimensão fractal H = coeficiente de Hurst

2.2.2.3.4 Falha da Hipótese Gaussiana

Nas teorias atuais de mercado, a Teoria Moderna de Portfólio e as demais, que envolvem o estudo da especulação não diferenciam o investidor de curto e o de longo prazo, pois consideram o mercado eficiente, onde o preço reflete todas as

L

(4) Figura 2 - Cálculo da Dimensão

Fonte: Schmidt, 2005

informações disponíveis sobre aquele ativo. Se os retornos são distribuídos segundo o modelo de passeio aleatório (browniano), então os retornos são, em média, os mesmos independentemente do horizonte de tempo dos investidores.

Bachelier (1900) desenvolveu o modelo pioneiro do processo estocástico no qual as variações nos preços de um ativo eram variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com variância finita. De acordo com o Teorema do Limite Central, essas variações poderiam ser descritas por uma distribuição normal (RIBEIRO e LEAL, 2002).

2.2.2.3.5 Crítica à Hipótese da Eficiência de Mercado (HEM)

As origens da hipótese de eficiência de mercado (HEM) podem ser traçadas a partir de George Gibson que afirmou que as trocas de conhecimento público em um mercado aberto adquirem valores de acordo com o julgamento da melhor inteligência que lhes dizem respeito (GIBSON, 1889 apud SEWELL, 2011,p. 2, tradução nossa). Bachelier (1900) desenvolveu a matemática e a estatística do movimento browniano e a aplicação à especulação (COURTALT et al., 2000).

Taussig (1921) propôs o questionamento da real influência da relação entre a oferta e a demanda na determinação do preço fundamental de um ativo. Cowles (1933) analisou a performance de profissionais de investimento e concluiu que o os previsores do mercado não conseguem realmente prevê-lo. A intensificação dos estudos sobre o mercado eficiente veio no trabalho de Fama (1965) concluindo que o mercado segue o random walk, entretanto, Samuelson (1965) criou o primeiro argumento econômico formal de mercado eficiente. Outros autores contribuíram para os estudos dos mercados eficientes, e mais atualmente houve a discussão englobando a crise financeira de 2008, como foi proposto por Ball (2009) em seu trabalho "The global financial crisis and the efficient market hypothesis".

A premissa da teoria da Eficiência de Mercado é a de que todos os mercados financeiros são eficientes por refletir instantaneamente no preço dos ativos todas as informações novas que são relevantes (SCHMIDT, 2005). A hipótese propõe o caminho para avaliar a eficiência do mercado, considerando que em um mercado eficiente um investidor não consegue obter retornos maiores utilizando análise técnica ou fundamentalista já que todas as informações estão disponíveis. De

acordo com essa teoria, a frequência das mudanças de preço deveriam ser bem representadas pela distribuição normal (PETERS, 1994).

Duas noções são importantes para a definição da HEM segundo Schmidt (2005). A primeira é referente ao random walk ou passeio aleatório, que diz que os preços do mercado são aleatórios se suas variações são independentes e aleatórias. A segunda é referente à racionalidade do investidor, que incorpora as informações nos preços justos.

Segundo Fama (p. 387, 1970, tradução nossa) as condições para a eficiência do mercado de capitais são:

a) Não há custo de transação dos títulos em negociação;

b) Todas as informações estão disponíveis sem custo para todos os participantes do mercado;

c) Todos concordam sobre as implicações das informações atuais para o preço atual e distribuições de preços futuros de cada título.

Neste mercado, o preço dos títulos obviamente reflete todas as informações disponíveis. No entanto, o próprio Fama (1970) considera que essas premissas não refletem o mercado na prática e analisou a partir de vários níveis de eficiência em função da informação disponível.

O primeiro foi o nível de eficiência na forma fraca, que remete às informações disponíveis sobre os preços (ou retornos) passados. Quando a hipótese de eficiência foi suportada neste nível, passou-se ao nível de eficiência semi-forte onde foi verificada a velocidade do ajuste do preço a partir da divulgação de informações públicas. Por fim, a forma forte onde a preocupação é se algum investidor, ou grupo (como exemplo, a gerência de fundos mútuos) possui acesso restrito a informações relevantes para a formação de preços recentes.

Uma das críticas a HEM é a manutenção do conceito de preços justos e investidores racionais em momentos de bolhas e crises financeiras. A HEM não faz qualquer menção à liquidez do mercado, afirmando apenas que os preços são sempre justos, independentemente de haver liquidez ou não. Segundo Peters (1994):

Um mercado estável não é o mesmo que um mercado eficiente, como definido no HME. Um mercado estável é um mercado com liquidez. Se o mercado tiver liquidez, então o preço pode ser considerado como próximo ao “justo”. Entretanto, mercados nem sempre possuem liquidez. Quando há uma falta de liquidez, os investidores participantes estão dispostos a assumir qualquer preço que puderem, justo ou não. (p. 42, Tradução nossa)

É importante considerar que há diferença de horizontes de investimentos e que os investidores reagem de maneiras diferentes às informações ao considerar em que momentos elas impactarão nos preços das suas ações.

Segundo Peters (1994), a fonte da liquidez do mercado é a diferença entre os horizontes de investimento, dos conjuntos de informações e, consequentemente, do conceito de preço justo. É importante ressaltar que:

A HME não leva em consideração a história, uma vez que, em um mercado eficiente, toda a informação já está descontada nos preços correntes dos ativos.[...] O modelo de mercado eficiente reduz o agente [homo sapiens] ao homo economicus: decisor racional que busca defender seus interesses, utilizando-se de sua capacidade ilimitada de cálculo e de plena informação.

Esta hipótese pressupõe que todos têm a mesma capacidade matemática e o mesmo acesso a notícias. (GLEISER, 2002 apud HAYASHI, p. 7, 2002).

Quando o mercado está estável, o HEM e o CAPM funcionam bem por serem modelos de equilíbrio, e os novos modelos devem estar preparados para explicar as os acontecimentos fora da expectativa de equilíbrio (PETERS, p.44, 1994, tradução nossa).

2.2.2.3.6 Hipótese de Mercado Fractal

2.2.2.3.6.1 Conceito da Hipótese de Mercado Fractal

A Hipótese de Mercado Fractal nasce como uma alternativa à hipótese de eficiência de mercado descrita anteriormente, e dá uma base matemática para a análise de fractais ao verificar a estrutura semelhante em diversas escalas. Leva em consideração o impacto da liquidez e do horizonte de tempo do investimento no comportamento do investidor (PETERS, 1994).

Um mercado estável se mantém com investidores de vários horizontes de investimento. As perdas daqueles que negociam em curto prazo são sobrepostas por investidores de longo prazo que têm interesse em manter suas perspectivas futuras e não consideram as perdas de curtíssimo prazo como algo fora do normal.

2.2.2.3.6.2 Proposta da Hipótese de Mercado Fractal

Na Hipótese de Mercado Fractal o mercado se estabiliza sozinho quando há investidores com horizontes temporais diferentes, e por conta disso a teoria afirma que todos os investidores compartilham do mesmo risco quando é ajustado pela escala do tempo. O risco compartilhado explica porque a frequência de distribuição dos retornos parece a mesma quando os horizontes de investimento são diferentes (PETERS, 1994).

Remetendo ao conceito de fractal, o investidor de curto prazo possui uma parcela maior de aleatoriedade por trabalhar em intervalos menores para análise das informações disponíveis. Considerando o intervalo de tempo utilizado para a tomada de decisão, os ganhos e perdas serão considerados materiais mesmo que numericamente sejam inexpressivos, vide o intervalo da oscilação dos preços esperado pelo investidor de curto prazo. Em escalas maiores de tempo, onde estão os investidores de longo prazo, tem-se uma característica mais determinística, não sendo drasticamente impactados com oscilações isoladas, mas sim pelo resultado das oscilações diárias ajustadas para o seu tempo de retorno esperado. Os fractais seguem a aleatoriedade local e o determinismo global sendo, no caso do mercado, a escala determinada pelo tempo.

A principal consideração da Hipótese de Mercado Fractal é que:

(…) a informação é avaliada de acordo com o horizonte de investimento do investidor. Por conta da diferença de horizontes de investimento o valor da informação é diferenciado, e a difusão da informação também será desigual.

(...) os preços não irão refletir todas as informações disponíveis, mas somente a informação importante para aquele horizonte de investimento.

(PETERS, p. 49, 1994, tradução nossa)

As formas de análise do ambiente também são diferenciadas de acordo com a perspectiva do investimento. Investidores de longo prazo estão mais preocupados com fatores econômicos e resultados das empresas. Investidores de curto prazo fazem análises técnicas, de tendência e de liquidez das ações.

Em momentos de crise os investidores de longo prazo começam a participar das transações de curto prazo, aumentando a necessidade de liquidez do mercado e quebrando o equilíbrio.