4.3 Exemplos da construção AdS/BCFT dependente do tempo
4.3.2 Fronteira com boost
A segunda transformação não trivial (e que é um pouco mais simples do que a primeira), que pode ser aplicada na solução (4.41) é um boost (ou rotação hiperbólica) em torno do eixo-z, por exemplo. Considerando a matriz de rotação hiperbólica dada por
Λµν = cosh η − sinh η 0 − sinh η cosh η 0 0 0 1 . (4.68)
em que η representa a rapidez do boost ou parâmetro de boost, podemos aplicar isto à (4.41) e encontrar
x (t, z) = (tanh η) t + cot θ cosh η
z . (4.69)
Além de uma rotação hiperbólica de Q no plano x − t, o boost muda o ângulo aparente no plano x − z no qual a hipersuperfície intercepta a fronteira em z = 0 (figura4.11). O ângulo atual permanece θ.
Esta solução pode ser comparada com a solução (4.63). A equação (4.69) descreve uma interface que se move com velocidade constante. Na direção z a interface é inclinada, de
Figura 4.11: Interface estacionária (ciano) versus interface “boosted” (azul) no caso AdS3.
modo que o ângulo depende da velocidade. O perfil (4.63) é uma solução dinâmica descrevendo uma interface de tamanho finito caracterizada por uma escala adicional R, que sofre uma expansão acelerada. As paredes da bolha (4.63) movem assintoticamente (t → ∞) com a velocidade da luz. Consequentemente, no primeiros tempos (velocidade baixa) o ângulo de inclinação do plano x − z é próximo a θ. Em tempos posteriores o ângulo assíntota π/2 como
arccot R T cot θ
. (4.70)
Assim para pequenos valores de z as duas soluções são similares no sentido de que em qualquer dado t as paredes da bolha movem-se como uma interface do tipo (4.69) com cosh η = t/R.
Em física clássica, o estudo de um determinado sistema pode ser realizado dividindo este sistema em várias partes, examiná-las separadamente e, em seguida, reconstruir o sistema. Por outro lado, quando estudamos sistemas de natureza quântica, isto não pode ser feito, o que diferencia mecânica quântica de clássica. Mesmo que separemos os sistema em partes e eles não interajam, eles podem ser emaranhados. Um exemplo bastante simples em que o emaranhamento quântico pode ser visto é uma sistema de dois spins. Neste exemplo, o espaço de Hilbert total pode ser separado como um produto direto dos espaços de Hilbert de cada spin (os estados são claramente separáveis). Entretanto, o estado 1/2 (|↑↑i + |↓↓i) não admite separação e pode ser identificado como elemento de um spin ou de outro, ou seja, estão correlacionados[66].
Esta ideia deve continuar valendo para em sistemas contínuos, em TCQ. Em teorias de campos topológicas de (2 + 1)-dimensões, os sistemas não tem graus de liberdades dinâmicos e nestes casos foi percebido que a entropia de emaranhamento fornece um parâmetro de ordem útil para caracterizar diferentes fases [67, 68]. Por outro lado, questões mais recentes envolvendo a correspondência AdS/CFT tem tido respostas interessantes através do emaranhamento quântico dos estados no CFT. A entropia de emaranhamento holográfica foi proposta por Ryu e Takayangi em 2006 e será revisada no final deste capítulo.
5.1
Matriz de densidade e Emaranhamento
Um certo sistema físico quântico é descrito por um estado quântico inserido num espaço vetorial denominado de espaço de Hilbert, o qual denotaremos de H. A dimensionalidade deste espaço, dimH = n, é especificada de acordo com o sistema físico considerado. Além disso, os vetores ou estados são definidos como uma matriz coluna com n entradas complexas, chamada de ket e representado por |Ψi. Pode-se definir, também, que para cada ket existe um vetor no espaço dual, denominado de bra, e representado por hΨ|. A
representação matemática do que acabamos de descrever está mostrada abaixo. |Ψi = ψ1 .. . ψn e hΨ| ≡ |Ψi† = ψ1∗ · · · ψ∗ n . (5.1)
Note que o bra é definido como sendo a matriz transposta conjugada do ket, ou simplesmente dagger.
No espaço de Hilbert podemos definir o produto interno, tal que, se |Ψi e |Φi são dois estados físicos, então o produto interno entre eles será
hΦ|Ψi =
n
X
i=i
φ∗iψi. (5.2)
Além deste produto, existe outro chamado de produto externo cujo resultado é uma matriz n×n da forma |Ψi hΦ| = ψ1φ∗1 · · · ψ1φ†n .. . . .. ... ψnφ∗1 · · · ψnφ†n , (5.3)
Este tipo de produto servirá para definir a matriz de densidade que caracterizará o estado físico quântico de determinado sistema de muitas partículas. Como apresenta [69], a matriz de densidade representa um análogo quântico de uma distribuição de probabilidades clássica, uma vez que em mecânica quântica sempre trabalhamos com incertezas e probabilidades.
Agora, suponha que um sistema quântico seja o sistema de múltiplas partículas, ou seja, um sistema com múltiplos graus de liberdade [70], que pode ser decomposto em dois subsistemas, A e B. Esta decomposição é demarcada por uma fronteira artificial, chamada de superfície de emaranhamento, que particiona o espaço de Hilbert total como o produto direto dos espaços de Hilbert de cada subsistema H = HA⊗ HB, sendo B o complemento de A
(B ≡ Ac) [66]. Uma representação discreta desta configuração está apresentada na figura5.1. Nela podemos ver que um sistema quântico pode ser um estado puro não-emaranhado, ou seja, aquele que pode ser fatorizado como um produto direto de dois estados um de cada subsistema; ou um estado puro emaranhado, que é aquele que não é possível ser fatorizado como um produto
externo, assim como o anterior. Neste último caso dizemos que o subsistema A está emaranhado ao subsistema B (isto ficará mais claro logo a seguir). As setas azuis na figura5.1representam uma correlação entre as partículas. Perceba que, diferentemente do estado não emaranhado, o estado emaranhado, depois da separação, possuem partículas do subsistema A correlacionadas à partículas do subsistema B.
Figura 5.1: Separação de um sistema completo em dois subsistemas A e B, através da superfície de emaranhamento (linha tracejada). Esquerda: configuração de estado puro não-emaranhado, que pode ser escrita como uma fatorização de estados. Direita: configuração de estado emaranhado, que não pode ser escrito como uma fatorização de estados. Em ambos os casos a região hachurada é aquela que será “traçada fora”. As setas azuis representam uma correlação entre as partículas.
Como mostra [69], sempre que tivermos um estado que possa ser decomposto como um produto externo, como é o caso do estado puro (figura5.1esquerda), podemos obter informação de um dado subsistema (A, por exemplo) esquecendo seu complemento (B). Esta afirmação é comprovada da seguinte maneira: suponha que tenhamos tal estado fatorizado e que tenhamos um operador que atue apenas em um dos subsistemas; escolhemos A, por exemplo, e OA∈ HA. Calculando o valor esperado deste operador com respeito ao estado puro
considerado, o que obtemos é
hΨ| OA|Ψi = hΨB| ⊗ hΨA| OA|ΨAi ⊗ |ΨBi
= hΨA| OA|ΨAi hΨB|ΨBi
= hΨA| OA|ΨAi .
Contudo, não é sempre que temos um estado deste tipo, descrevendo um sistema quântico. Ao invés disto, temos um estado |Ψi ∈ H que não pode ser fatorizado e que os subsistemas estão emaranhados (figura5.1direita). Ainda assim, este estado pode ser pensado como um conjunto de estados puros com certa probabilidade {pi, |Ψii}, que nada mais é do que uma consequência
da álgebra linear, de modo que seja possível escrever |Ψi = X i pi ΨiA ⊗ ΨiB . (5.4)
Considerando que este estado seja um vetor unitário, esta condição implica quePn
i=1p 2 i = 1.
Para isso, assumimos, também, a condição de ortogonalidade entre os estados Ψi A|Ψ j A = Ψi B|Ψ j B = δ ij.
Com estas ideias em mente, podemos proceder do mesmo modo como antes, calcular o valor esperado do operador OA só que agora com respeito ao estado misto (5.4).
O que se obtém é hΨ| OA|Ψi = X i p2i ΨiA OA ΨiA = T rAρAOA,
onde definimos a matriz de densidade reduzida como sendo
ρA =
X
i
p2i ΨiA ΨiA . (5.5) Desta definição da matriz de densidade reduzida, e uma vez que Pn
i=1p 2
i = 1, então é fácil
verificar a seguinte propriedade T rAρA= 1. Uma observação a ser feita neste ponto a respeito
do emaranhamento entre os sistemas A e B é a seguinte: caso a equação (5.4) possua apenas um termo em sua expansão, ou seja, se |Ψi = |ΨAi ⊗ |ΨBi, então dizemos que o estado |ΨAi (ou
|ΨBi) é um estado puro e o subsistema A (ou B) é descrito pela matriz de densidade reduzida
ρA= |ΨAi hΨA| (ou ρB = |ΨBi hΨB|). Caso a equação (5.4) possua mais de um termo em sua
expansão, o estado |ΨAi é um estado misto e representado pela matriz de densidade da equação
(5.5).
Agora, se queremos fazer medidas em A, devemos somar sobre todos os estados de B, que nada mais é do que tirar o traço com respeito aos graus de liberdade do subsistema B. Portanto, a matriz de densidade reduzida que descreve o subsistema A pode ser escrita na forma
ρA= TrB|Ψi hΨ| . (5.6)
É fácil a verificação que para um estado |Ψi dado por (5.4), esta equação recupera (5.5).
A forma com que se mede o grau de emaranhamento quântico destes subsistemas é através da chamada entropia de von Neumann ou entropia de emaranhamento. Esta entropia mede o grau de “ignorância” que um subsistema tem com relação a outro e será discutido na próxima seção.