Função Seno

Esse problema contém 150 mil dados. A segunda coluna da matriz A é formada por elementos no intervalo [0, 3

2π], o vetor b consiste no seno desses valores. Vamos utilizar aproximação por um polinômio de grau 2. Utilizamos µ = 0, 001, τ = 0, 99995, β = 10,  = 10−10, 1 = 10−8, onde  e 1 são usados para a vericação do critério de convergência, e

σ = 10−10. BL BLPC p it tempo Fo it tempo Fo 1,1 12 1,0500 1,9369e+04 4 0,6600 1,9369e+04 1,2 12 1,2600 1,6417e+04 4 0,6700 1,6418e+04 1,3 3 0,4200 1,3951e+04 2 0,4400 1,3951e+04 1,4 3 0,4300 1,1882e+04 2 0,4400 1,1882e+04 1,5 2 0,3600 1,0144e+04 2 0,4500 1,0144e+04 1,6 2 0,3600 8,6791e+03 2 0,46700 8,6791e+03 1,7 2 0,3600 7,4418e+03 2 0,4400 7,4418e+03 1,8 2 0,3600 6,3946e+03 2 0,4700 6,3945e+03 1,9 3 0,4300 5,5082e+03 2 0,3800 5,5063e+03 Tabela 6.5.5: BL e BLPC.

PDBL PDBLPC p it tempo Fo it tempo Fo 1,1 2 0,4000 1,9369e+04 2 0,4900 1,9369e+04 1,2 2 0,3900 1,6418e+04 2 0,4800 1,6418e+04 1,3 2 0,3900 1,3951e+04 2 0,4800 1,3951e+04 1,4 2 0,3900 1,1882e+04 2 0,4800 1,1882e+04 1,5 2 0,4000 1,0144e+04 2 0,4800 1,0144e+04 1,6 2 0,3900 8,6791e+03 2 0,4900 8,6791e+03 1,7 2 0,4000 7,4418e+03 2 0,4900 7,4418e+03 1,8 2 0,4200 6,3945e+03 2 0,4900 6,3945e+03 1,9 2 0,3900 5,5063e+03 2 0,5000 5,5063e+03 Tabela 6.5.6: PDBL e PDBLPC.

Na Tabela 6.5.5 notamos a redução no número de iterações no método preditor- corretor.

Vamos considerar o caso em que p = 1, 9 e o método primal-dual barreira logarítmica para observar gracamente o resultado. Nesse caso obtivemos

x∗ =       0, 254878 0, 715752 −0, 233634       .

Temos como resultado uma aproximação quadrática dada pelo polinômio p(t) = −0, 233634t2_{+ 0, 715752t + 0, 254878.}

6.5. Implementação Eciente em C 123

Veja na Figura 6.8 que obtemos uma aproximação quadrática para a função seno em [0,5] quando utilizamos implementação eciente dos métodos de pontos interiores.

Capítulo 7

Conclusões

Os métodos de pontos interiores para resolver problemas de regressão polinomial apre- sentam melhor desempenho e menor esforço computacional que o método GNCS, podemos vericar isso em [7].

Nesse trabalho aperfeiçoamos os métodos de pontos interiores já existentes. Modi- camos a forma de calcular o ponto inicial, os resíduos e as direções dos métodos. Cada modicação teve sua contribuição para aperfeiçoar os métodos.

Com as modicações no ponto inicial conseguimos reduzir o número de iterações e o valor da função objetivo. O fato de conseguirmos diminuir o valor da função objetivo na solução ótima, mostra que os métodos antigos estavam parando antes. Com a modicação no ponto inicial, nos aproximamos mais da solução ótima global. Assim temos a possibilidade de escolher bons pontos de partida.

Com as modicações no cálculo dos resíduos, o tempo por iteração aumenta porque

a nova forma de calculá-los é mais trabalhosa que a forma antiga, mas a diferença de tempo é quase insignicante. Entretanto conseguimos diminuir o número de iterações nos métodos barreira logarítmica preditor-corretor e primal-dual barreira logarítmica preditor-corretor.

Com as modicações na forma de calcular as direções não conseguimos visualizar me- lhora apenas nos testes computacionais apresentados no Capítulo 6, entretanto vericamos que essas modicações realmente reduzem o número de operações necessárias em cada i- teração através do número de ops obtidos.

A nova formulação obtida através das modicações para os métodos de pontos inte- riores possibilita melhoria tanto nos testes computacionais em MATLAB quanto na imple- mentação eciente.

Na implementação eciente em C aproveitamos a estrutura matricial dos métodos para economizar memória. Isso é possível porque muitos valores deixam de ser armazenados. Com isso a complexidade computacional é reduzida e podemos resolver problemas de maior porte de forma eciente. Em particular, não é necessário armazenar nenhuma matriz durante a solução de um problema.

Os métodos de pontos interiores apresentam uma estrutura matricial que faz com que a implementação seja menos trabalhosa comparada à implementação do método GNCS, por exemplo, visto que o método necessita de um procedimento de busca linear que é com- putacionalmente muito caro.

127 de pontos interiores especializados para o problema de regressão pela norma Lp apresentam

melhor desempenho. Dentre os métodos de pontos interiores, o que apresenta melhor desem- penho em problemas de grande porte é o primal-dual barreira logarítmica preditor-corretor que, de fato, é o mais robusto entre aqueles discutidos neste trabalho.

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