Dada uma função f de domínio Df e valores em R , diz-se que:
r um número real m é minorante de f quando Ax Df, f(x) ≥ m ;
r uma função é minorada quando admitir um minorante; r um número real M é majorante de f quando
Ax Df, f(x) ≤ M ;
r uma função é majorada quando admitir um majorante; r uma função é limitada se for minorada e majorada, ou
seja, se existirem m e M tais que Ax Df, m ≤ f(x) ≤ M .
71. Considera o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} .
Seja f : A q R a função definida por f(x) = 2x + 1 .
a) Determina o contradomínio da função f . b) Justifica que a função f é limitada.
72. Seja g : R q R+ uma função tal que Ax R, g(x) < 5 .
Justifica que a função g é limitada.
73. Seja g : R q R uma função tal que Ax R, –3 ≤ g(x) ≤ 4 . Seja h : R q R a função definida por h(x) = –2g(x) + 5 . Justifica que a função h é limitada.
74. Sejam f , g , h e i as funções assim definidas:
f : [0, +[ q R tal que f(x) = x
g : ]0, +[ q R tal que g(x) = –1 x
h : {–2, –1, 0, 1, 2, 3} q R tal que h(x) = 4 – x2
i : [–5, 6] q R tal que i(x) = 2x + 4
j : R q R tal que j(x) = x3
k : R q R tal que k(x) = 6 x + 2
a) Indica quais destas funções são majoradas e indica, para cada uma, um majorante. b) Indica quais destas funções são minoradas e indica, para cada uma, um minorante. c) Indica quais destas funções são limitadas.
75. Sejam A e B subconjuntos de R disjuntos.
Seja f : A q R uma função tal que Ax A, –4 < x < 6 . Seja g : B q R uma função tal que Ax B, –1 < x < 8 .
Seja h : A B q R a função cujo gráfico é a união dos gráficos das funções f e g . Justifica que h é uma função limitada.
Exemplo: y f 1 x 1 Função limitada (Ax Df, –1 ≤ f(x) ≤ 2)
Monotonia
Dada uma função f , de domínio Df , e um conjunto A contido
em Df , diz-se que:
r f é constante em A se todos os elementos de A tiverem a mesma imagem;
r f é crescente em A se Aa, b A, b > a ¡ f(b) > f(a) ; r f é crescente em sentido lato em A se
Aa, b A, b > a ¡ f(b) ≥ f(a) ;
r f é decrescente em A se Aa, b A, b > a ¡ f(b) < f(a) ; r f é decrescente em sentido lato em A se
Aa, b A, b > a ¡ f(b) ≤ f(a) ;
r f é monónota em A se for crescente em A ou for decres-
cente em A ;
r f é monónota em sentido lato em A se for crescente em
sentido lato em A ou for decrescente em sentido lato em A . Uma função f diz-se:
r crescente, se for crescente em todo o seu domínio;
r crescente em sentido lato, se for crescente em sentido lato em todo o seu domínio;
r decrescente, se for decrescente em todo o seu domínio; r decrescente em sentido lato, se for decrescente em
sentido lato em todo o seu domínio.
&YFNQMPT y f x 1 1 y f x 1 1 y x 1 1 f Função constante Função decrescente f é decrescente em [–4, –1] . f é crescente em [–1, 3] . 77. Considera o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
Seja f : A q R a função definida pela seguinte tabela:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) –2 –1 9 9 8 5
Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições.
a) «A função f é crescente em {1, 2, 3} .» b) «A função f é crescente em {1, 2, 3, 4} .»
c) «A função f é crescente em sentido lato em {1, 2, 3, 4, 5} .» d) «A função f é crescente em sentido lato em {2, 3, 4} .» e) «A função f é decrescente em {4, 5, 6} .»
f ) «A função f é decrescente em {3, 4, 5} .»
g) «A função f é decrescente em sentido lato em {3, 4, 5, 6} .» h) «A função f é constante em {3, 4} .»
76. Seja f : R q R uma função limitada.
Extremos
Seja f uma função e seja a um valor pertencente ao domínio de f . Diz-se que:
rf (a) é o mínimo absoluto da função se f (a) for a menor das imagens; rf (a) é o máximo absoluto da função se f (a) for a maior das imagens;
rf atinge um mínimo relativo (ou local) em a se existir uma vizinhança de a tal que a imagem de f é a menor das imagens, considerando todos os objetos pertencentes a essa vizinhança; diz-se então que f (a) é um mínimo relativo (ou local) da função
f e que a é um minimizante de f ;
78. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. xOy , o gráfico de uma função g de domínio [–5, 5] .
Indica o valor lógico de cada uma das seguintes pro- posições.
a) «A função f é crescente em [–1, 3] .» b) «A função f é decrescente em [–5, –1] .» c) «A função f é decrescente em [–4, –2] .»
d) «A função f é crescente em sentido lato em [–1, 4] .» e) «A função f é decrescente em [–5, –1] [3, 5] .»
79. Considera o conjunto A = [–3, 4] .
Para cada uma das alíneas seguintes, representa, num referencial o.n. xOy , o gráfico de uma função de domínio A que seja:
a) crescente e negativa. b) decrescente e positiva.
c) não injetiva e decrescente em sentido lato.
d) decrescente em [–3, 0] , constante em [0, 2] e crescente em [2, 4] .
80. Seja g : R q R uma função decrescente. Sabe-se que g(3) = 5 .
Qual dos valores seguintes pode ser imagem de 1 por meio da função g ?
(A) 4 (B) –5 (C) 8 (D) 3
81. Mostra que:
a) a função f : R q R definida por f(x) = 3x – 4 é crescente; b) a função g : R q R definida por g(x) = –x + 2 é decrescente.
82. Seja f : R q R uma função decrescente.
Seja g : R q R a função definida por g(x) = –f(x) . Justifica que a função g é crescente.
y x O 1 1 continua
rf atinge um máximo relativo (ou local) em a se existir uma vizinhança de a tal que a imagem de a é a maior das imagens, considerando todos os objetos pertencentes a essa vizinhança; diz-se então que f (a) é um máximo relativo (ou local) da função
f e que a é um maximizante de f .
Dá-se o nome de:
rextremo absoluto a um máximo ou um mínimo absoluto;
rextremo relativo (ou local) a um máximo ou um mínimo relativo.
Exemplo:
2 é o máximo absoluto da função. –2 é o mínimo absoluto da função.
A função atinge um mínimo relativo em –3, em –1 e em 3. A função atinge um máximo relativo em –2, em 1 e em 4.
y f x 1 1 83. Considera o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Seja f : A q R definida pela tabela ao lado.
a) Indica o contradomínio da função f .
b) A função f tem um mínimo absoluto. Indica o seu valor. c) A função f tem um máximo absoluto. Indica o seu valor.
84. Seja g : [–1, 3] q R a função definida por g(x) = 4 – 2x .
a) Indica o contradomínio da função g .
b) A função g tem dois extremos absolutos. Indica-os.
85. Representa, sob a forma de um intervalo, cada uma das seguintes vizinhanças.
a) V2(5) b) V1(–4) c) V0,25
34
86. Determina, na forma de um intervalo, o resultado de cada uma das seguintes interseções.
a) [–3, 5] V2(4) b) [–4, +[ V1(–4)
87. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n.
xOy , o gráfico de uma função f de domínio [–5, 5] .
Indica:
a) o contradomínio da função f ; b) o máximo absoluto da função f ; c) o mínimo absoluto da função f ;
d) os máximos relativos da função f e respetivos ma-
ximizantes;
e) os mínimos relativos da função f e respetivos minimizantes. continuação y x O 1 1 x 1 2 3 4 5 6 f(x) 2 –1 –3 0 5 1
Concavidades
Dada uma função real de variável real f e um intervalo I contido no domínio de f , diz-se que:
ro gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em
I se, dados quaisquer três pontos A , B e C do gráfico, de
abcissas a , b e c pertencentes a I e tais que a < b < c , o declive da reta AB é inferior ao da reta BC ;
ro gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em
I se, dados quaisquer três pontos A , B e C do gráfico, de
abcissas a , b e c pertencentes a I e tais que a < b < c , o declive da reta AB é superior ao da reta BC .
Propriedades:
rO gráfico de uma função f tem a concavidade voltada para cima num dado intervalo I contido no domínio de f se e só se, dados quaisquer dois pontos A e B do gráfico de f , de abcissas a e b pertencentes a I , a parte do gráfico de abcissas estritamente situadas entre a e b ficar abaixo do segmento de reta [AB] .
rO gráfico de uma função f tem a concavidade voltada para baixo num dado intervalo I contido no domínio de f se e só se, dados quaisquer dois pontos A e B do gráfico de f , de abcissas a e b pertencentes a I , a parte do gráfico de abcissas estritamente situadas entre a e b ficar acima do segmento de reta [AB] .
89. Seja f : R q R a função definida por f(x) = 5x2 .
a) Sejam A e B dois pontos do gráfico de f de abcissas a e b , respetivamente, com
a < b .
Mostra que o declive da reta AB é dado por 5a + 5b .
b) Sejam P , Q e R três pontos do gráfico da função f , de abcissas p , q e r , respe-
tivamente, com p < q < r .
Justifica que o declive da reta PQ é menor que o declive da reta QR . O que podes concluir acerca do sentido da concavidade do gráfico da função f ?
90. Seja f : R q R a função definida por f(x) = –3x2 + 2x + 6 .
Justifica que o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo.
88. Sejam a e b números reais (a > 0) e seja n um número natural par. Seja f : R q R a função definida por f(x) = axn – b .
Mostra que –b é o mínimo absoluto da função f .
y x O f a A b B c C y x f O a A b B c C Concavidade voltada para cima Concavidade voltada para baixo