Funções Objetivo

As funções objetivo do problema foram definidas de acordo com o trabalho de Guder (2009), que pretendem maximizar o lucro da venda de energia elétrica, dado pelo retorno esperado, com menores riscos.

Os dados de entrada são os retornos esperados para cada tipo de contrato, considerando a contratação de 100% de cada um em um dado horizonte de tempo. Para encontrar o verdadeiro retorno da carteira, ca- da um dos contratos recebe um peso, que é o percentual de cada contrato destinado à venda de energia, cuja soma é igual a um. O peso de cada contrato resulta no indivíduo ou solução. Assim, cada cromossomo é formado pelos pesos de cada um dos contratos: bilateral, spot, opções do tipo call e opções do tipo put, formando um portfólio.

Cada portfólio terá um valor de retorno e de medidas de riscos: média-variância, Var e CVaR, que são as quatro funções objetivo do problema. Assim, o AG busca maximizar o retorno e minimizar as ou- tras três funções.

O retorno é calculado de acordo com os pesos atribuídos a cada contrato:

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Onde:

é o retorno total de acordo com a porcentagem de cada tipo de contrato.

são os pesos dos contratos bilaterais, spot,

call e put, respectivamente.

é o retorno esperado caso a energia elétrica fosse vendida so- mente com contrato bilateral.

é o retorno esperado caso a energia elétrica fosse vendida sem contrato, ou seja, ao preço spot.

é o retorno esperado caso a energia elétrica fosse vendida somente com contrato do tipo call.

é o retorno esperado caso a energia elétrica fosse vendida somente com contrato do tipo put.

A média-variância é a medida de risco proposta por Harry Markowitz (1952), calculada por:

Onde são os pesos do contrato e do contrato , respecti- vamente.

é a covariância entre os contratos e , também é dado de

entrada do problema.

O Valor sob Risco ou VaR (Value-at-risk) é outra medida de ris- co, que avalia a máxima perda que um portfólio pode ter em um deter- minado intervalo de tempo, considerando um determinado nível de con- fiança. O VaR é uma variável discreta, definida como o menor retorno ao longo do tempo, dado um nível de confiança .

Outra medida de risco é o Valor Esperado sob Risco ou Conditi- onal Value-at-Risk (CVaR) derivada do VaR. Diferentemente do VaR, o CVaR é a média das máximas perdas esperadas acima um determinado nível de confiança e ao longo de um horizonte de tempo (Oliveira, 2006).

Enquanto o VaR somente mostra o mínimo retorno que o comer- cializador de energia elétrica pode ter a um dado nível de confiança, o CVaR calcula a média das piores receitas além do nível de confiança. Neste trabalho, tanto o VaR como o CVaR são calculados ex-post.

4.2.1.2. Cromossomo proposto

Os indivíduos do AG proposto têm representação binária, cada contrato de energia possui 10 bits, totalizando 40 bits para cada cromos- somo (Guder, 2009). No entanto, caso o AG seja aplicado a outros pro- blemas de análise de portfólios de contratos com mais de quatro tipos de contratos, o tamanho de cada indivíduo aumentará 10 bits para cada contrato introduzido no portfólio.

A Figura 6 mostra um cromossomo completo que representa qua- tro contratos de energia, sendo os 10 primeiros bits o contrato spot, os próximos 10 bits o contrato bilateral, os próximos 10 bits o contrato de opção tipo call e os 10 últimos bits o contrato de opção tipo put.

Spot Bilateral Call Put

0011000100 0110010111 1000011000 0101010111

Figura 6 - Representação binária de um cromossomo

4.2.1.3. População Inicial

A população inicial é formada por indivíduos escolhidos aleatoriamente, permitindo assim, a diversificação da população.

4.2.1.4. Critério de Parada

O critério de parada do algoritmo genético usado é o número má- ximo de gerações. O AGMO continua calculando a aptidão, seleção, cruzamento e mutação enquanto o valor escolhido para o critério de pa- rada não é atingido. Quando o critério for satisfeito o algoritmo fornece- rá a população final encontrada.

4.2.1.5. Formação da população P

A primeira geração do AG usa somente os “ ” indivíduos encon- trados inicialmente, para aplicar os operadores genéticos. A partir da segunda geração, o AG cria uma população , que é formada pela soma da população atual com a população da geração anterior ,

tornando-se uma população duas vezes maior do que a população .

O somatório é necessário para que se possa calcular o rank e a distância de preenchimento. Ao somar as duas populações o elitismo é assegurado, pois as soluções dominadas da

solução anterior, que poderiam ter sido descartadas no cruzamento ou na mutação, agora terão novas chances de continuar na população atual (Deb et. al, 2002).

4.2.1.6. Cálculo da Aptidão

A função aptidão de cada indivíduo é dada pelo rank, assim o ob- jetivo principal do AG é minimizar o valor do rank para cada solução. A aptidão (rank) é calculada da seguinte forma:

Cálculo do rank Para até Para j até Se Se Se Se Fim se Fim se Fim se Fim se Fim para Fim para

Figura 7- Algoritmo para cálulo do rank

O rank de cada indivíduo é calculado de acordo com a não- dominância de Pareto. Cada solução i, pertencente à população P, é comparada com todas as outras soluções de P. Para cada solução j (qualquer) que possua necessariamente o retorno maior do que o retorno de i, a variância, o VaR e o CVaR menores do que os respectivos valo- res de i, pode-se dizer que a solução j domina solução i. Assim, o rank de i é acrescido de uma unidade.

Se o rank de um indivíduo for igual a 1, significa que nenhum in- divíduo o domina (não dominado), sendo tal indivíduo alocado na pri- meira fronteira ℱ , que é a chamada fronteira de Pareto. Se o rank do indivíduo for igual a 2, então este indivíduo é dominado somente por um outro indivíduo e ele será alocado na segunda fronteira ℱ . Se o rank do indivíduo for igual a 3, significa que somente outros dois indivíduos o dominam e este será alocado na terceira fronteira ℱ , e assim por di- ante. Portanto, para saber quantos indivíduos dominam uma solução, basta diminuir uma unidade do valor do rank. Por exemplo, um indiví- duo cujo rank seja 4, significa que ele é dominado por outros 3 indiví- duos.

O objetivo da alocação dos indivíduos em fronteiras é permitir que o cálculo da distância de preenchimento seja feito somente en- tre indivíduos da mesma fronteira. Pois a distância será usada como um segundo critério para formação da nova população e para a seleção, ambos descritos posteriormente.