5.2 Formula¸c˜ ao do Problema
5.2.4 Fun¸c˜ ao Crit´ erio de Equidade
Lema 5.4
A fun¸c˜ao f2 : S −→ IR tem as seguintes propriedades:
a) ´E cont´ınua em S ; b) ´E convexa em ◦ S ; c) Se num ponto ˆx de ◦
S , o m´aximo do conjunto {B1, . . . , Bn+1} for apenas atin-
gido para uma ´unica fun¸c˜ao Bj, para j = 1, . . . , n + 1, ent˜ao existe uma bola
centrada em ˆx, contida em S , onde f2 ´e de classe C∞;
d) f2(x) ∈ ]0, 1], ∀ x ∈ S .
Prova:
a) Como foi verificado no Lema 5.1 as fun¸c˜oes Bj, j = 1(1)n + 1 s˜ao cont´ınuas em S.
Note agora que se x pertence a S , ent˜ao f2(x) = k B(x) k∞. Como uma norma
´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua, temos f2 definida como a composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes
cont´ınuas.
b) No Lema 5.1 demonstrou-se que as fun¸c˜oes Bj, j = 1(1)n + 1, s˜ao convexas em S.
Como f2 = max{B1, . . . , Bn, Bn+1}, o seu epigrafo ´e a intersec¸c˜ao dos epigrafos
das fun¸c˜oes convexas B1, . . . , Bn+1. A intersec¸c˜ao de conjuntos convexos ´e um
convexo, pelo que o epigrafo de f2´e um convexo. Resultando que f2´e uma fun¸c˜ao
convexa em S [17, pag.78].
c) Se max{B1, . . . , Bn, Bn+1} = Bj e Bi 6= Bj, para i 6= j, num certo ponto x ∈ ◦
S , ent˜ao (pela continuidade da fun¸c˜ao de Erlang-B), existe uma bola centrada em
x contida em S , onde f2(x) = Bj(x), sendo portanto uma fun¸c˜ao de classe C∞
nessa bola.
d) A fun¸c˜ao de Erlang-B exprime uma probabilidade, pelo que f2(x) ∈ [0, 1]. Por
outro lado, f2(x) n˜ao pode ser zero, pois κ ´e um valor finito.
Como f2 ´e cont´ınua e S limitado e fechado, ent˜ao o teorema de Weierstrass garante a
existˆencia de um valor m´ınimo da fun¸c˜ao f2 em S . Caracterizamos no lema seguinte
o ponto onde esse m´ınimo ´e atingido.
Lema 5.5
A fun¸c˜ao f2 tem um ´unico m´ınimo local em S que ´e tamb´em m´ınimo global, num
ponto x∗∗, para o qual se verifica:
a) x∗∗ ´e a ´unica solu¸c˜ao em S do sistema de equa¸c˜oes:
B(a1, x∗∗1 ) = B(a2, x2∗∗) = · · · = B(an, x∗∗n ) = B an+1, κ − n X j=1 x∗∗j ! ; (5.20)
b) x∗∗ ´e um ponto interior de S , ou seja:
n
X
j=1
x∗∗j < κ ,
x∗∗j > 0, j = 1(1)n . (5.21)
Prova: Inicialmente note-se que sendo S limitado e fechado e f2 cont´ınua, f2 tem um
m´ınimo global em S . Por outro lado, note-se que f2 ´e uma fun¸c˜ao convexa definida
num dom´ınio convexo S . Ent˜ao, qualquer m´ınimo local de f2 em S ´e tamb´em m´ınimo
global de f2 em S . Resta ent˜ao provar que o m´ınimo global de f2´e atingido num ´unico
Para facilitar a prova, definimos o problema monocrit´erio seguinte: min
y∈IRn+1 g(y) = max {B(a1, y1) , B(a2, y2) , . . . , B(an, yn) , B(an+1, yn+1)}
s.a. n+1 X j=1 yj = κ (5.22) yj ≥ 0, j = 1(1)n + 1 .
O conjunto das solu¸c˜oes admiss´ıveis deste problema ser´a designado por Y ⊂ IRn+1⊕ . Usando uma ´obvia mudan¸ca de vari´avel, ´e f´acil de verificar que para provar o enunciado, basta provar que a solu¸c˜ao ´optima de (5.22), que designaremos por y∗∗, ´e ´unica e al´em disso cumpre:
B(a1, y1∗∗) = B(a2, y∗∗2 ) = · · · = B(an, yn∗∗) = B(an+1, y∗∗n+1) (5.23)
yj∗∗ > 0, j = 1(1)n + 1 . (5.24)
Usando a nota¸c˜ao I = {1, 2, . . . , n, n + 1}, definimos os seguintes conjuntos associados a cada ponto y ∈ Y :
L(y) = { j ∈ I : B(aj, yj) < g(y) } ,
M(y) = { j ∈ I : B(aj, yj) = g(y) } .
Note-se que M(y) n˜ao pode ser vazio, mas L(y) ∩ M(y) = ∅ e tamb´em L(y) ∪ M(y) = I. Refira-se tamb´em que se j ∈ L(y), ent˜ao yj > 0 pois, no caso de se ter yj = 0,
B(aj, yj) = 1, o que torna absurda a desigualdade B(aj, yj) < g(y). Ent˜ao,
∀ j ∈ L(y), yj > 0 . (5.25)
Vamos agora dividir a prova em duas partes:
(i) Provaremos inicialmente que qualquer minimizante de g em Y ´e solu¸c˜ao do sis- tema de equa¸c˜oes (5.23).
Suponhamos, por absurdo, o contr´ario. Seja ˆy um minimizante global da fun¸c˜ao em Y (que como vimos existe), mas que n˜ao verifica (5.23). Ent˜ao, L(ˆy) n˜ao
´e vazio. Tome-se um valor i ∈ L(ˆy) e um valor > 0 e defina-se um ponto ˘
y ∈ IRn+1, com as seguintes componentes:
˘ yi = yˆi− , ˘ yj = yˆj, ∀j ∈ L(ˆy)\{i} , ˘ yj = yˆj+ |M(ˆy)|, ∀j ∈ M(ˆy),
onde |M(ˆy)| designa o cardinal do conjunto M(ˆy). Por (5.25) ´e f´acil de verificar que para < ˆyi se tem ˘y ∈ Y , pois Pn+1j=1 y˘j = κ e ˘yj ≥ 0, j = 1(1)n + 1.
Por outro lado, ao passar do ponto ˆy para ˘y s´o o grupo i aumentou o bloqueio. Al´em disso, todos os grupos relativos ao conjunto M(ˆy) diminuiram o bloqueio. Pela continuidade da fun¸c˜ao de Erlang-B ´e poss´ıvel escolher um (0 < < ˆyi),
suficientemente pequeno de forma a que o bloqueio no grupo i aumente t˜ao pouco que n˜ao se torne o m´aximo do sistema no ponto ˘y. Ora, esta conclus˜ao leva a que
g(˘y) < g(ˆy) ,
pelo que ˆy n˜ao pode ser minimizante da fun¸c˜ao g em Y . Ent˜ao, o m´ınimo da fun¸c˜ao s´o pode ser atingido num ponto y∗∗ onde L(y∗∗) seja vazio, ou seja M(y∗∗) = I. Ent˜ao, ´e absurdo admitir que um minimizante de g em Y n˜ao
cumpre o sistema de equa¸c˜oes (5.23). Al´em disso, este sistema admite uma solu¸c˜ao em Y (note que admitir o contr´ario seria tamb´em admitir que g(y) n˜ao atinge m´ınimo em Y , o que ´e absurdo).
(ii) Provamos agora que a solu¸c˜ao de (5.23) em Y ´e ´unica e pertence ao interior de Y .
Veriquemos que (5.23) n˜ao pode ter duas solu¸c˜oes distintas em Y . Admita-se ent˜ao, por absurdo, que y ∈ Y e y0 ∈ Y s˜ao solu¸c˜oes distintas de (5.23). Seja β = Bj(aj, yj), j = 1(1)n + 1 e β0 = Bj(aj, y0j), j = 1(1)n + 1. Se as
solu¸c˜oes s˜ao distintas, ent˜ao pela monotonia da fun¸c˜ao de Erlang-B na vari´avel x, tem-se β 6= β0. Seja por exemplo β < β0. Ora, esta desigualdade implica que
yj > yj0, j = 1(1)n + 1. Mas isso ´e absurdo, pois se y e y
0 s˜ao pontos de Y ,
tem-se kyk1 = ky0k1 = κ. Ficando provada a unicidade da solu¸c˜ao de (5.23).
´
E por outro lado absurdo, admitir que alguma componente de y seja nula, pois isso levava a que o correspondente grupo apresentasse bloqueio igual a um. Ora o sistema Sn+1 n˜ao pode ter todos os grupos com bloqueio igual a um, pois κ > 0.
Ent˜ao podemos concluir que a solu¸c˜ao de (5.23) s´o pode ser um ponto situado no interior do conjunto S.
´
E ´obvio que a fun¸c˜ao f2 nos fornece uma adequada medida da qualidade de servi¸co
do sistema Sn+1. Al´em disso, ap´os este teorema (e especialmente pelo processo de
demonstra¸c˜ao apresentado) fica muito mais claro que a fun¸c˜ao f2 ´e um crit´erio de
equidade. Na verdade, na demonstra¸c˜ao efectuada verificou-se que se o sistema n˜ao se encontra na situa¸c˜ao de m´axima equidade (bloqueios iguais em todos os grupos), ent˜ao ´e poss´ıvel diminuir f2(medida de equidade) transferindo parte da capacidade atribuida
aos grupos que apresentam melhor qualidade de servi¸co para os grupos que apresentam pior qualidade de servi¸co. Outras medidas de equidade poderiam ter sido sugeridas na formula¸c˜ao do problema. Uma discuss˜ao especialmente dedicada a medidas de equidade pode ser encontrada em [15], embora no contexto de problemas de localiza¸c˜ao. Em Estat´ıstica Descritiva as medidas de dispers˜ao normalmente usadas (como o desvio padr˜ao) tamb´em podem ser usadas neste tipo de formula¸c˜oes. A fun¸c˜ao f2 (do tipo da
primeira que ´e discutida em [15]) parece-nos a mais adequada no contexto do sistema Sn+1. Na verdade, em muitas abordagens de sistemas e redes de teletr´afego verifica-se
a qualidade de servi¸co observando o bloqueio m´aximo apresentado. Nas formula¸c˜oes monocrit´erio de optimiza¸c˜ao desses sistemas, inclui-se normalmente uma restri¸c˜ao para garantir que todos os bloqueios sejam inferiores a um certo valor β, considerado o limite para a qualidade de servi¸co admiss´ıvel. Tal restri¸c˜ao na nossa nota¸c˜ao seria escrita como f2(x) < β.