Fun¸c˜ao de Branin Constante c = 0.13

Nesta se¸c˜ao, aumentamos o valor da constante c para 0.13, similarmente ao realizado por Branin ([18]). Com estas constantes a fun¸c˜ao continua apresentando cinco zeros. O efeito do aumento desta constante ´e uma modula¸c˜ao senoidal da reta definida por f1 = 0, como ser´a observado nos gr´aficos.

A seguir, ser˜ao apresentados os gr´aficos com as bacias de atra¸c˜ao de cada zero para cada algoritmo, seguidos de conclus˜oes e an´alises destas bacias e das equa¸c˜oes dos al- goritmos. −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x₁ x2 f 1=0 f₂=0

Figura 2.28: Bacias de atra¸c˜ao da fun¸c˜ao de Branin com c = 0.13 para o algoritmo de Newton

a) As bacias de atra¸c˜ao est˜ao encerradas dentro do locus determinado por det(Df) =

0.

b) Perto das fronteiras das bacias, por terem as componentes do vetor das linhas de campo ∆x uma norma de valor elevado, as trajet´orias podem n˜ao convergir ao zero mais pr´oximo.

c) A diferen¸ca do que acontece com a constante c = 0, a primeira componente do vetor de linhas de campo ∆x1 agora n˜ao depende exclusivamente de x1. Eis a raz˜ao

pela qual as bacias n˜ao mais apresentam formas de faixas estritamente verticais. d) Dentro da regi˜ao definida por_{−1 + 0.2754 < x}1 < 0.2754, se concentra a maior

quantidade de pontos a partir dos quais o algoritmo n˜ao conseguiu atingir nenhum zero em at´e 249 itera¸c˜oes. Por´em, a diferen¸ca do que acontece com a constante c = 0, a primeira componente do vetor de linhas de campo ∆x1 n˜ao ´e mais sempre negativa

dentro desta faixa.

e) Nos pontos pr´oximos `as singularidades estranhas, o zero a ser atingido pela tra- jet´oria ´e imprevis´ıvel.

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x₁ x2 f₁=0 f₂=0

Figura 2.29: Bacias de atra¸c˜ao da fun¸c˜ao de Branin com c = 0.13 para o algoritmo DNV

a) As bacias est˜ao encerradas dentro do locus det(Df) = 0, por´em, apresentam

formas bem mais irregulares que as apresentadas por este algoritmo com constante c = 0.

b) Perto das fronteiras das bacias, por terem as componentes do vetor das linhas de campo ∆x uma norma de valor elevado, as trajet´orias podem n˜ao convergir ao zero mais pr´oximo.

c) A diferen¸ca do que acontecia com a constante c = 0, agora o n´umero de pontos iniciais a partir dos quais a trajet´oria n˜ao atinge nenhum zero em at´e 249 itera¸c˜oes ´e similar `a quantidade apresentada pelo algoritmo de Newton, eliminando-se assim uma evidente vantagem deste algoritmo.

d) O algoritmo n˜ao apresenta singularidades estranhas dentro da janela definida. e) As trajet´orias s´o apresentam indetermina¸c˜oes nos zeros da fun¸c˜ao. Nestes pontos xk+1 = [0 0]T/0.

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 x2 f₁=0 f₂=0

Figura 2.30: Bacias de atra¸c˜ao da fun¸c˜ao de Branin com c = 0.13 para o algoritmo DJT

a) As bacias apresentam formas mais regulares que as dos algoritmos anteriores. Estas formas tamb´em parecem estar determinadas pelo locus det(Df) = 0.

b) Perto das fronteiras das bacias, e ao longo de uma ´area maior do que acontece com a constante c = 0, as linhas de campo ∆x tem uma norma de valor elevado, raz˜ao pela qual as trajet´orias podem n˜ao atingir o zero mais pr´oximo.

c) Existe uma regi˜ao de n˜ao convergˆencia muito similar, embora n˜ao idˆentica, `aquela apresentada com a constante c = 0. Tamb´em aqui se verifica que, dentro desta regi˜ao, as linhas de campo ∆x n˜ao tˆem sentidos constantes.

d) Embora as singularidades estranhas n˜ao possam ser definidas para este algo- ritmo, por n˜ao haver nenhuma invers˜ao de matriz, determinados pontos provocam que o algoritmo se comporte como diante de tais. Esses pontos s˜ao aqueles para os quais DT

f (x)f(x) = 0 e f(x) 6= 0. Nesses pontos as trajet´orias s˜ao indeterminadas. Foram

encontrados os seguintes pontos com estas caracter´ısticas x = [_{−1.7360 1.2574]}T_,

x = [_{−2.7356 1.7189]}T_{, x = [4.6164 − 1.0219]}T_{, x = [−4.2794 1.8882] e x =}

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x₁ x2 f₁=0 f₂=0

Figura 2.31: Bacias de atra¸c˜ao da fun¸c˜ao de Branin com c = 0.13 para o algoritmo DVJT

a) As bacias de atra¸c˜ao apresentam formas mais regulares que as dos outros algo- ritmos. As fronteiras est˜ao determinadas pelo locus de

sgnT_(DT

f f)DTf Dfsgn(DfTf) = 0 (o denominador de αk).

b) Por ser αk > 0, o sentido das linhas de campo ∆x ´e proporcional a [±1 ± 1]T.

Eis a raz˜ao pela qual, tamb´em aqui, algums das fronteiras das bacias s˜ao retas a 45◦_.

Tamb´em aqui a exce¸c˜ao se produzir´a se alguma componente do vetor de linhas de campo ´e igual a zero.

c) O algoritmo apresenta, tamb´em aqui, os mesmos pontos diante dos quais se comporta como diante de singularidades estranhas do que o algoritmo anterior, isto ´e, pontos definidos como DT

f (x)f(x) = 0 e f(x) 6= 0, j´a expressados com o algoritmo

anterior.

d) Tamb´em aqui os sentidos das linhas de campo ∆x est˜ao no mesmo quadrante que as linhas de campo do algoritmo DJT.

e) Aqui tamb´em existe uma regi˜ao de n˜ao convergˆencia dentro do n´umero de itera- ¸c˜oes testado similar `a apresentada com a constante c = 0. Dentro desta regi˜ao, o vetor de linhas de campo n˜ao apresenta sentido constante para todos os pontos.

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x₁ x2 f₁=0 f₂=0

Figura 2.32: Bacias de atra¸c˜ao da fun¸c˜ao de Branin com c = 0.13 para o algoritmo DJTV

a) As bacias de atra¸c˜ao apresentam formas totalmente irregulares.

b) Existe uma grande quantidade de pontos iniciais a partir dos quais as trajet´orias n˜ao conseguiram atingir nenhum zero dentro do n´umero de itera¸c˜oes testado. Embora todos os zeros foram achados a partir de algum ponto inicial testado.

c) O algoritmo continua n˜ao apresentando pontos que se comportem como singula- ridades estranhas, isto ´e, n˜ao existe nenhum ponto tal que DT

f (x)sgn(f(x)) = 0 a n˜ao

ser nos zeros da fun¸c˜ao (singularides essenciais).

Os algoritmos foram testados tamb´em para a mesma fun¸c˜ao com constante c = 1, a qual apresenta 15 zeros; estes gr´aficos n˜ao foram colocados por n˜ao mostrar diferen¸cas relevantes com respeito aos apresentados aqui.