Fun¸c˜ oes Exponencial e Logaritmo

Temos dificuldades an´alogas com as fun¸c˜oes exponencial e logaritmo, cuja defini¸c˜ao rigorosa nos ´e ainda muito dif´ıcil. A fun¸c˜ao logaritmo, iden- tificada pela sua propriedade de transformar produtos em somas, ou seja, pela identidade

log(xy) = log x + log y

foi introduzida pelo cientista escocˆes do s´eculo XVII John Napier. Ainda no s´eculo XVII, o jesu´ıta belga Gr´egoire de Saint Vincent descobriu a rela¸c˜ao desta fun¸c˜ao com a ´area sob a hip´erbole y = 1/x, rela¸c˜ao essa que explicamos abaixo. Mais tarde, j´a no s´eculo XVIII, o su´ı¸co Leonardo Euler, um dos maiores matem´aticos da Hist´oria, definiu as fun¸c˜oes exponencial e logaritmo. Devem-se a Euler muitas descobertas fundamentais que estudaremos neste

texto, em particular as identidades ex= lim n→∞  1 +x n n , log x = lim n→∞n( n √ x− 1) e eix = cos x + i sen x Foi tamb´em Euler que compreendeu que as fun¸c˜oes exponencial e logaritmo s˜ao inversas uma da outra, onde por fun¸c˜ao logaritmo(10_{) entendemos o}

logaritmo natural, ou de Napier, ou de base e. Mais precisamente, y = log x_{⇐⇒ x = e}y, onde e = lim

n→∞

 1 + 1

n n

A rela¸c˜ao do logaritmo de um real t > 0 com a hip´erboley = 1/x desco- berta por Gr´egoire de Saint Vincent est´a ilustrada na figura 2.2.9. Temos ent˜ao:

• Se t ≥ 1, o logaritmo de t ´e a ´area da regi˜ao limitada pelo eixo dos xx, pela hip´erbole y = 1/x, e pelas rectas verticais x = 1 e x = t, e • Se t ≤ 1, o logaritmo de t ´e o negativo dessa ´area.

1

1/t 1/s

1 t

s

Figura 2.2.9: Se t_{≥ 1, log t ´e a ´area da regi˜ao com 1 ≤ x ≤ t e 0 ≤ y ≤ 1/x.}

Sendo A e B as ´areas sob a hip´erbole, respectivamente entre x = s e x = 1, e entre x = 1 e x = t, ´e claro que

(1− s) · 1 < A < 1− s

s e

t_{− 1}

t · 1 < B < (t − 1),

10_{O leitor sabe provavelmente que existem fun¸c˜oes logaritmo para qualquer base a > 0,}

a 6= 1. O logaritmo natural, cuja base ´e o “n´umero de Euler” e = 2, 7182 · · · , designa-se frequentemente por “ln”, mas optamos aqui pela designa¸c˜ao log. Quando existe risco de ambiguidade, escrevemos log_a para designar o logaritmo de base a.

e conclu´ımos que, para qualquer t > 0, temos sempre t_{− 1}

t ≤ log t ≤ (t − 1).

Para organizar o nosso trabalho, e tal como fiz´emos para as fun¸c˜oes trigo- nom´etricas, sumarizamos no teorema 2.2.7 um conjunto de propriedades que demonstraremos mais adiante, e que ser˜ao entretanto a base para argumen- tos mais rigorosos sobre a fun¸c˜ao logaritmo.

Teorema 2.2.7. Existe uma fun¸c˜ao bijectiva log : R+→ R tal que

(a) log(xy) = log(x) + log(y), para quaisquer x, y_{∈ R}+ e (b) log(x)≤ x − 1, para qualquer x ∈ R+_.

Registamos aqui mais algumas propriedades elementares da fun¸c˜ao lo- garitmo, que s˜ao j´a consequˆencias do teorema anterior:

Corol´ario 2.2.8. Para quaisquer x, y > 0:

(a) log(1) = 0, log(1/x) =_{− log(x) e log(y/x) = log(y) − log(x),} (b) log(xn) = n log(x) para qualquer n_{∈ Z,}

(c) A fun¸c˜ao log ´e estritamente crescente em R+,

(d) x− 1

x ≤ log(x), para qualquer x ∈ R

+_.

Demonstra¸c˜ao. Deixamos a demonstra¸c˜ao de (a) e (b) como exerc´ıcio. Para provar (c), notamos de 2.2.7 (b) que log x < 0 quando x < 1, e conclu´ımos de (a) neste corol´ario que log x =− log(1/x) > 0 quando x > 1. Segue-se que, se y > x > 0, ent˜ao y/x > 1 e

log(y)_{− log(x) = log(y/x) > 0} Para provar (d), notamos que

− log x = log(_x1)_≤ 1 x − 1 = 1− x x =⇒ log x ≥ x− 1 x

A inversa de log ´e a exponencial exp : R_{→ R}+_{, e ´e usual escrever e}x _em

vez de exp(x). Temos portanto que

elog x= x, para qualquer x_{∈ R}+, e log(ex) = x, para qualquer x_{∈ R.} Os gr´aficos destas fun¸c˜oes est˜ao representados na Figura 2.2.10. Pode- mos tamb´em concluir do teorema 2.2.7 que

Teorema 2.2.9. A fun¸c˜ao exponencial ´e estritamente crescente em R, e

ex+y = exey, e−x = 1/ex, e0 = 1, ex _{≥ 1 + x.}

Temos ainda que (ex₎n_{= e}nx _{para qualquer x∈ R e n ∈ Z e}

Se x < 1, ex _≤ 1

1_{− x}. Observa¸c˜ao 2.2.10.

As fun¸c˜oes logaritmo e exponencial podem ser usadas para definir e calcular

potˆencias com expoentes arbitr´arios α, incluindo α irracional, desde que a base

x seja positiva. Recorde-se que

1. Potˆencias com expoente natural n: Definimos xn _{por indu¸c˜ao para qual-}

quer x_{∈ R e qualquer n ∈ N.}

2. Ra´ızes ´ındice-n: Dado um natural n, a ra´ız ´ındice-n de x_{∈ R ´e solu¸c˜ao} da equa¸c˜ao yn_{= x, e ´e designada por} √n

x ou x1/n_{. Quando x > 0 ´e f´acil}

verificar que y = en1log x´e a ´unica solu¸c˜ao positiva da equa¸c˜ao. Quando

x < 0 e n ´e par a equa¸c˜ao n˜ao tem solu¸c˜ao, e se n ´e ´ımpar a equa¸c˜ao tem sempre uma s´o solu¸c˜ao. Em particular, quando x < 0 e n ´e ´ımpar a solu¸c˜ao ´e dada por

n

√

x =₋n

p|x| = −e1

nlog |x|

3. Potˆencias com expoente racional m/n positivo: Se m, n ∈ N s˜ao copri- mos e a ra´ız √n

x existe ent˜ao definimos igualmente xm/n=x1/nm.

4. Potˆencias com expoente racional: Se x_{6= 0, q ∈ Q ´e positivo e a potˆencia} xq _{est´a definida ent˜ao definimos x}−q_{= 1/x}q_.

Se x > 0 ent˜ao a potˆencia xα _{est´a definida para qualquer racional α e temos}

xα = eα log x.

´

E por isso natural definir potˆencias com base positiva e expoente irracional por

Defini¸c˜ao 2.2.11 (Exponencial de base positiva). Se x > 0 e α ∈ R\Q ent˜ao

A identidade xα = eα log x passa assim a ser v´alida para qualquer expoente real α desde que x > 0, e ´e muito f´acil verificar que, se y ´e tamb´em positivo, temos sempre(11₎

xαxβ = xα+β, xαyα= (xy)α, (xα)β = xαβ

y = ex

y = log x y = x

Figura 2.2.10: Gr´aficos da exponencial e do logaritmo.

Defini¸c˜ao 2.2.12 (Seno e coseno hiperb´olicos). As fun¸c˜oes seno hiperb´o- lico e coseno hiperb´olico s˜ao definidas para qualquer x∈ R por

senh(x) = e

x_{− e}−x

2 e cosh(x) =

ex_{+ e}−x

2

A fun¸c˜ao seno hiperb´olico ´e ´ımpar e tem por imagem R. A fun¸c˜ao coseno hiperb´olico ´e par e tem por imagem o intervalo [1, +_{∞[. ´}E f´acil verificar que estas fun¸c˜oes satisfazem

(2.2.1) cosh2(t)_{− senh}2(t) = 1 , _{∀ t ∈ R .}

11_{As express˜oes do tipo x}α _{com x < 0 s˜ao ´uteis, mas a sua manipula¸c˜ao descuidada}

pode conduzir a grosseiros erros de c´alculo. Por exemplo, (−1)1/3= −1, mas(−1)1/62 n˜ao est´a definido, e (−1)2
1/6

= 1. Em particular, a regra elementar (xα₎β _{= x}αβ _{n˜ao ´e}

senh

cosh

tanh

Figura 2.2.11: Gr´aficos do seno, coseno e tangente hiperb´olicos.

Esta rela¸c˜ao mostra que os pontos (cosh t, senh t) pertencem `a hip´erbole com equa¸c˜ao x2 − y2 _{= 1, o que justifica o nome dado a estas fun¸c˜oes. Deve}

tamb´em notar-se que se definem fun¸c˜oes como a tangente hiperb´olica, secante hiperb´olica, e outras, por f´ormulas an´alogas `as referidas a prop´osito das fun¸c˜oes trigonom´etricas. Por exemplo,

tanh x = senh x cosh x =

ex_{− e}−x

ex_{+ e}−x.

Mais uma vez, existem fun¸c˜oes inversas, argsenh : R → R, argcosh : [1, +_{∞[→ [0, +∞[ e argtanh :] − 1, 1[→ R e ´e curioso notar que se podem} exprimir como

argsenh x = logx +px2_{+ 1}_{, argcosh x = log}_{x +}p_x2_{− 1}_{, e}

argtanh x = 1 2log

 1 + x 1_{− x}