Fun¸c˜ oes Mensur´ aveis - Outras Constru¸c˜ oes da Integral

2.6 Outras Constru¸c˜ oes da Integral

2.7.1 Fun¸c˜ oes Mensur´ aveis

=⇒ 1. (fun¸c˜oes mensur´_{aveis triviais) Considere f : X → R.}

(a) Prove que se Σ = P(X), então toda fun¸cão f é mensurável.

(b) Prove que toda fun¸cão constante f é mensurável (com rela¸cão a qualquer σ-álgebra). (c) Prove que IA: X → R é Σ-mensurável se, e somente se, A ∈ Σ.

(d) Considere Ψ = { ∅, X }. Quais são as fun¸cões f Ψ-mensuráveis?

=⇒ 2. Determine a menor σ-´algebra que torne mensur´avel uma fun¸c˜_{ao f : X → R que assuma} somente:

(a) 2 valores distintos; (b) 3 valores distintos.

3. Considere Σ = {A ⊂ R; A é enumerável ou A{ é enumerável}, uma σ-´_{algebra de R} pelo Exerc´ıcio 2, p.14. Determine se é Σ-mensurável:

(a) I[0,1]; (b) I_Q{.

→ 4. Considere X = { 1, 2, 3, 4 } e a σ-´_{algebra Σ = { ∅, { 1 }, { 2, 3, 4 }, X }.} (a) Quantas fun¸cões distintas f : X → X são Σ-mensuráveis?

(b) Repita o item (a) para a σ-´_{algebra Σ = { ∅, { 1, 2 }, { 3, 4 }, X }.} =⇒ 5. Prove que se f = aIA+ bIB é Σ-mensurável, então A, B ∈ Σ.

Dica: A ∩ B = f−1({ a + b }) ∈ Σ. 6. Prove o Lema 2.2, p.22.

Dica: Para provar que (i)⇒(ii), considere \

n∈N

{x; f (x) < a + 2−n}. 7. Prove que toda fun¸c˜_{ao f : R → R ´e Borel-mensur´avel se:}

(a) f é monótona; (b) f é cont´ınua.

Dica: (b) Toda subconjunto aberto de R pode ser escrito como a uni˜ao enumer´avel de intervalos abertos (Exerc´ıcio 12, p.15) .

=⇒ 8. Prove que toda fun¸cão Borel-mensur´_{avel f : R → R é Lebesgue-mensurável.} Dica: Existe diferen¸ca?

9. Prove que se f é Σ-mensurável e H ∈ Σ, então ef (x) = f (x)IH(x) =

(

f (x), se x ∈ H, 0 se x ∈ X \ H, ´

10. Prove que se f = IA+ 2IB é Borel mensurável, então A e B são borelianos.

11. Seja f ≥ 0 mensur´_{avel, com f : X → R. Prove que existe uma sequência monótona} crescente gn ≥ 0 tal que lim gn(x) = f (x) com gn uma fun¸cão simples.

Mais ainda, se X tem medida finita, Z

|f − gn|dµ ≤ 2−nµ(X).

Dica: Defina Ekn= {x ∈ X; k2−n≤ f (x) ≤ (k + 1)2−n}. Para k = 2n, Ekn= {f ≥

n}.

→ 12. Suponha que A gera a σ-álgebra T de subconjuntos de Y . Prove que φ : X → Y é (Σ, T)-mensurável se, e somente se, φ−1(E) ∈ Σ para todo E ∈ A.

→ 13. Neste exerc´ıcio utilizamos f para representar uma fun¸cão f : X → Y qualquer. (a) Qual a σ-álgebra em X que torna toda f mensurável?

(b) Qual a σ-´algebra em Y que torna toda f mensur´avel?

f é uma σ-álgebra. Prove que é a maior que torna f mensurável.

(d) Fixe f e uma σ-´algebra T em Y . Defina ΣT

f , {E ∈ P(X); f (E) ∈ T}. Prove que

ΣT_f é uma σ-álgebra. Prove que é a menor que torna f mensurável.

(e) No item (c), se (X, Σ, µ) ´e um espa¸co de medida ent˜ao (Y, TΣ_f, µf), com µf(E) ,

µ(f−1(E)), é um espa¸co de medida. Desta forma uma fun¸cão f definida em um espa¸co de medida induz a existência de um outro espa¸co de medida.

14. Seja Σ uma σ-´_{algebra de subconjuntos de X e f, g : X → R fun¸cões Σ-mensuráveis.} Prove que são Σ-mensuráveis f+_{, f}−_{, f ∧ g e f ∨ g, onde}

(f ∨ g)(x) , max(f (x), g(x)), (f ∧ g)(x) , min(f (x), g(x)).

2.7.2 Defini¸c˜ao da Integral

→ 15. Prove que a representa¸cão de uma fun¸cão simples não-nula f por

i=0

aiIEi ´e ´unica se

os ai’s são não-nulos e únicos e se os Ei’s são disjuntos.

Dica: f pode assumir somente um n´umero finito de valores (porque?). Defina Ei ,

f−1(bi), onde bi ´e cada um destes valores.

16. Sejam A, B, C, D conjuntos mensur´_{aveis com medida finita e a, b, c, d ∈ R.}

=⇒(a) Suponha que aIA= bIB+ cIC. Prove que aµ(A) = bµ(B) + cµ(C) (proibido integral,

por primeiros princ´ıpios).

(b) Suponha que aIA+ bIB = cIC+ dId. Prove que aµ(A) + bµ(B) = cµ(C) + dµ(D).

Dica: cuidado pois os números podem não ser distintos e os conjuntos podem não ser disjuntos.

17. O que ´e um espa¸co de Banach e um espa¸co de Hilbert?

→ 18. Em um espa¸co vetorial normado, se kf k = 0 ent˜ao f = 0. Dissemos que L1_{(X) ´}_{e um}

espa¸co vetorial normado. No entanto, pelo Teorema 2.14, p.27, se kf k = 0, ent˜ao f = 0 µ-qtp, ou seja, n˜ao necessariamente f = 0. Explique.

2.7. EXERC´ICIOS 37 Dica: Leia a p. 16.

=⇒ 19. (Lema de du Bois-Reymond4_{) Considere f : X → R uma fun¸c˜ao integr´avel em (X, Σ, µ).}

Prove que f = 0 µ-qtp em X se: (a)

f dµ = 0 para todo E ∈ Σ; (b) Z

f g dµ = 0 para toda g Σ-mensurável. Obs: resultado importante para o cálculo das varia¸cões.

Dica (para todos itens): suponha por contradi¸cão que o conjunto {x ∈ X; f (x) > ε} (ou {x ∈ X; f (x) < ε}) não possui medida nula. Use este conjunto ou sua fun¸cão caracter´ıstica. =⇒ 20. Prove que:

(a) A fun¸c˜ao 1/x 6∈ L1_{(1, ∞) mas pertence a L}p_{(1, ∞).}

(b) A fun¸c˜ao 1/x 6∈ L∞_(R). (c) A fun¸c˜ao f (x) = IZ(x)

x pertence a L ∞

(R).

21. Considere f , g : X → R fun¸cões simples. Prove que são fun¸cões simples: (a) |f |; (b) f + g (c) f ∨ g e f ∧ g, definidas no Exerc´ıcio 14, p.36.

22. Considere f , g : X → R fun¸cões integráveis. Prove que são fun¸cões integráveis f ∨ g e f ∧ g, definidas como no Exerc´ıcio 14, p.36.

23. Seja Y : Ω → R uma fun¸cão mensurável com rela¸cão a σ-álgebra de Borel. Seja φ : R → R uma fun¸cão mensurável com rela¸cão a σ-álgebra de Borel. Prove que X = φ ◦ Y ´

e mensurável com rela¸cão a σ-álgebra de Borel.

=⇒ 24. Seja (X, Σ, µ) um espa¸co de medida e f : X → R uma fun¸cão integrável. Prove que para todo ε > 0 existe uma fun¸cão simples gε : X → R tal que

|f − gε| dµ < ε. Dizemos

que as fun¸cões simples são densas no espa¸co das fun¸cões integráveis L1(X, Σ, µ). Dica: Considere f ≥ 0 inicialmente.

→ 25. Seja µ a medida de contagem (Exemplo 1.12, p.6) em N. Prove que uma fun¸cão f : N → R (uma sequência hf (n)in∈N) é µ-integrável se, e somente se, a série

f (n) ´e absolutamente convergente e nesse caso

Z f dµ = ∞ X n=0 f (n).

→ 26. Sejam µ1, µ2 duas medidas com dom´ınio na σ-´algebra Σ. Defina µ(E) , µ1(E) + µ2(E)

para E ∈ Σ. Prove que para qualquer fun¸c˜ao Σ-mensur´_{avel f : X → R,} Z f dµ = Z f dµ1+ Z f dµ2.

Dica: Assuma que f ´e fun¸c˜ao simples e depois que f ≥ 0.

ý 27. (extra) Seja dx a medida de Lebesgue. Prove que se f : X → R é integrável, então Z

f (x + a) dx existe e ´e igual a Z

f (x) dx para todo a ∈ R.

Dica: Comece com fun¸cões simples. Assuma que a medida de Lebesgue é invariante por transla¸cão.

2.7.3 Teoremas de Convergˆencia

=⇒ 28. Seja fn(x) = nI[0,1/n](x) com a medida de Lebesgue em R. Utilize-a para mostrar que a

condi¸cão do Teorema da Convergência Dominada |fn| ≤ g não pode ser retirada.

→ 29. Considere a sequência de fun¸cões reais hfnin∈N, todas integráveis e tais que ∞ X n=0 Z |fn| dµ ´

e finito. Prove que f (x) ,

∞ X n=0 fn(x) est´a definida qtp. e Z f dµ = ∞ X n=0 Z fndµ.

Dica: Assuma inicialmente que fn≥ 0.

30. Dada uma fun¸c˜_{ao f : R → R qualquer, defina para cada k ∈ R a fun¸c˜ao T}kf : R → R,

o truncamento de f por Tkf (x) ,      f (x), se |f (x)| ≤ k; k, se f (x) > k; −k, se f (x) < −k. Suponha que f ´e µ-integr´avel. Prove que:

(a) Tkf ´e mensur´avel; (b)R f dµ = lim k→∞

Tkf dµ.

2.7.4 Integral de Riemann × Lebesgue

=⇒ 31. Prove que toda fun¸cão escada é uma fun¸cão simples (em particular mensurável). Prove que f = I_Qé uma fun¸cão simples que não é uma fun¸cão escada. Assim o conjunto de fun¸cões simples é (bem) maior que o de fun¸cões escada.

32. Fixe uma fun¸c˜_{ao f : [a, b] → R. Dada uma parti¸cão qualquer do intervalo [a, b],} determine a fun¸cão escada s associada que seja a menor de todas com f ≤ s. Assim s deve ser constante entre os pontos da parti¸cão.

2.7.5 Teorema de Radon-Nikod´ym e Fubini

=⇒ 33. Prove que a rela¸cão ser dominada é transitiva. Dê um exemplo que prove que não é simétrica.

=⇒ 34.

(a) Dê um exemplo de medida σ-finita que não é finita.

(b) A medida de contagem (Exemplo 1.12, p.6) é finita? É σ-finita? (c) A medida δa de Dirac é finita? É σ-finita?

35. Seja (µn) uma sequˆencia de medidas em (Σ, X) com µn(X) ≤ 1. Defina λ : Σ → R

por λ(E) , ∞ X n=1 2−nµn(E).

2.7. EXERC´ICIOS 39 Prove que λ ´e uma medida e que µn λ para todo n.

=⇒ 36. Seja X = [0, 1] e Σ a σ-álgebra de Borel em X. Se µ é a medida de contagem (Exemplo 1.12, p.6) e λ a medida de Lebesgue, então λ µ, mas o Teorema de Radon- Nikodým não se aplica. Porque?

→ 37. Prove a unicidade de f no Teorema de Radon-Nikod´ym.

ý 38. (extra) Suponha que µ é uma medida numa σ-álgebra Σ de subconjuntos de X e f : X → R uma fun¸cão mensurável não-negativa. Para cada E ∈ Σ defina λ(E) ∈ [0, ∞] por: λ(E) , Z E f dµ. Prove que:

(a) λ é uma medida em Σ absolutamente cont´ınua com rela¸cão a µ. (b) λ é finita se, e somente se, f é integrável.

Cap´ıtulo 3

Probabilidade e Medida

Neste cap´ıtulo de duas páginas traduzimos o vocabulário da Teoria da Medida para o da Teoria de Probabilidade. Uma excelente referência é o cap´ıtulo IX do livro Measure Theory de P. Halmos.

Vamos come¸car com uma defini¸c˜ao b´asica.

DEFINIÇ ÃO 3.1 Dado um espa¸co de medida (Ω, Σ, µ), dizemos que é um espa¸co de probabilidade se µ(Ω) = 1. Neste caso denotamos a medida µ por P e dizemos que (Ω, Σ, P ) é um espa¸co de probabilidade.

• Ω ´e o espa¸co amostral.

• Os elementos da σ-álgebra Σ são os eventos, que podem ser um subconjunto próprio de P(Ω).

• A cada evento A ∈ Σ (elemento da σ-´algebra), associamos sua probabilidade, dada pela sua medida P (A).

• Uma fun¸cão mensur´_{avel com valores em R é chamada de vari´}avel aleatória.

• A integral _{R X P. é chamada de esperan¸ca da variável aleatória X com rela¸cão a} probabilidade P .

• Uma sequência (Xn)n∈N de variáveis aleatórias é chamada de processo estocástico

discreto. Uma fam´ılia (Xt)t∈R de variáveis aleatórias é chamada de processo es-

toc´astico cont´ınuo.

Exemplo 3.1 Considere um jogo onde se lan¸cam 2 dados a cada instante de tempo. Podemos considerar o processo estoc´astico discreto Xn igual a soma do valor dos 2 dados a cada

instante.

Um exemplo de processo estocástico cont´ınuo é Xt o valor de uma a¸cão a cada instante

de tempo.

O fato que o espa¸co de eventos é uma σ-álgebra significa, em linguagem coloquial, que dados eventos A e B são eventos também:

• a não ocorrência de A, isto é, A{_;

• a ocorrência de A ou B, isto é, A ∪ B; • a ocorrência de A e B, isto é, A ∩ B.

A necessidade de incluir uniões enumeráveis é mais sutil. Um exemplo desta necessidade aparece considerando um jogo de dados em que o jogador deve jogar o dado repetidamente até que apare¸ca o número 6. Dada a possibilidade do jogo nunca acabar e se repetir infinitamente, temos que considerar uniões infinitas enumeráveis de eventos.

A necessidade de assumir que X é mensurável provém do fato que queremos ser capazes de atribuir probabilidades para, por exemplo, que o valor de X esteja entre a e b. Dai aparece naturalmente a σ-´_{algebra de Borel em R.}

DEFINIÇ ÃO 3.2 Dois eventos A e B são ditos independentes se P (A∩B) = P (A)P (B). O conceito de independência entre eventos juntamente com o de probabilidade condicional, ambos sem correspondente na Teoria da medida, inicia o caminho que separa as duas teorias, fazendo com que a Teoria de Probabilidade seja muito mais do que simples aplica¸cão da Teoria da Medida.

Referˆencias Bibliogr´aficas

[1] Bartle R.G.; The Elements of integration and Lebesgue measure; John Wiley & Sons, Inc., New York, (1995). ISBN: 0-471-04222-6, MR1312157 (95k:28001).

[2] Fremlin, D. H.; Measure Theory. University of Essex, (2009). Endere¸co: http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm Acessado em ju- lho/2009.

[3] Halmos P.R.; Measure Theory; Van Nostrand, 1950; Halmos, Paul R. Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., (1950), MR0033869.

[4] The MacTutor History of Mathematics archive, http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/

[5] Royden, H. L.; Real Analysis; Macmillan Publishing Company, New York, (1988). ISBN: 0-02-404151-3, MR1013117 (90g:00004).

[6] Wikipedia. P´aginas: Measure, Lebesgue Measure e Sigma-Algebra. Endere¸co: http://en.wikipedia.org/wiki/Measure (mathematics), etc. Acessado em ju- lho/2009.

No documento Introdução à Teoria da Medida e Integral de Lebesgue (páginas 41-49)