Fundamentos da modelação matemática 24

A modelação é, segundo Nirmalakhandan (2001), o processo de aplicação de um modelo que descreva, adequadamente, o comportamento de um sistema real e que permita atingir determinados objectivos. A compreensão do comportamento dos sistemas, a exploração de novos conceitos teóricos, a previsão do desempenho do sistema e a minimização de experimentações físicas são algumas das vantagens da aplicação de um modelo matemático (Haug, 1993; Nirmalakhandan, 2001; Santo, 2001; Mason, 2006).

Desta forma, um modelo pode ser definido como uma representação simplificada dos processos que descrevem um sistema real, sendo constituído por um conjunto de equações que permite avaliar a relação entre variáveis (Santo, 2001; Motulsky e Christopoulos, 2003; Petric e Selimbašić, 2008). De acordo com Rennó e Santos (2000), os modelos podem ser agrupados tendo em consideração diferentes aspectos. No quadro 2.3. encontra-se apresentada uma breve descrição de cada tipo de modelo, tendo por base os conceitos descritos por vários autores (Rennó e Santos, 2000; Nirmalakhandan, 2001; Santo, 2001; Gertsev e Gertseva, 2004).

Quadro 2.3. Classificação e descrição dos diferentes tipos de modelo

Tipologia Modelo Descrição

Variáveis utilizadas

Estocásticos

Estes modelos recorrem a elementos probabilísticos (estatística no tempo ou séries temporais) para prever o comportamento do sistema. São utilizados quando, pelo menos, uma das variáveis envolvidas tem comportamento aleatório e, adicionalmente, têm uma componente determinística, que permite contemplar a sequência temporal ou a sequência espacial dos valores das variáveis.

Determinísticos

Neste tipo de modelos os resultados são determinados a partir das condições iniciais, não havendo recorrência a elementos probabilísticos, pelo que pressupõem um total conhecimento do sistema.

Relação entre variáveis

Empíricos

Estes modelos utilizam relações baseadas em observações, ou seja, a análise dos processos reduz-se à procura de uma relação causa-efeito entre as variáveis de entrada (dados de base) e as variáveis de saída (resultados obtidos). De um modo geral, são de grande simplicidade e utilidade, contudo pouco robustos dado que são específicos para a situação para a qual as relações foram estimadas.

Conceptuais

Este tipo de modelos é uma representação simplificada de parte ou da totalidade dos processos do sistema. Dado a sua complexidade, requerem um conjunto de informações e uma parametrização cuidada, com base em resultados obtidos experimentalmente.

Representação dos dados

Discretos

Este tipo de modelos representa fenómenos cuja variação é apresentada em intervalos de tempo. Em geral, quanto menor o intervalo de tempo maior será a precisão dos resultados do modelo.

Contínuos Modelos que representam fenómenos cuja variação é contínua.

Relação espacial

Pontuais

Os modelos pontuais (concentrados ou agregados) consideram que as variáveis de entrada e saída são representativas de toda a área estudada.

Distribuídos

Estes modelos consideram a variabilidade espacial encontrada nas diversas variáveis do modelo, ou seja, cada elemento disposto num determinado espaço pode ser tratado como um ponto que representa homogeneamente toda a sua área.

Dependência temporal

Estáticos Os modelos estáticos representam um fenómeno particular,

num determinado ponto temporal. Dinâmicos

Estes modelos utilizam o resultado de uma iteração como entrada para uma próxima iteração. Analisam a evolução temporal das diferentes variáveis.

A necessidade de elaborar um modelo que descreva um determinado fenómeno ou sistema, com determinado nível de detalhe ou escala temporal, segue um procedimento que se divide em quatro etapas fundamentais, como demonstra a figura 2.8. (Santo, 2001; Ferreira, 2006).

Figura 2.8. Esquema representativo das etapas de construção e de optimização de um modelo (Adaptado de

Vanrolleghem et al., 2003; Hamelers, 2004)

Primeiramente, é necessário identificar o problema e efectuar uma pesquisa rigorosa para conhecimento da relação entre variáveis, de modo a se proceder à selecção do modelo matemático, que melhor descreve o processo e os objectivos em estudo. De seguida, procede-se à formulação do modelo, descrevendo a complexidade das formulações matemáticas envolvidas e indicando as variáveis a optimizar e os parâmetros a estimar. Finalmente, é possível proceder à aplicação do modelo para obtenção de um conjunto de resultados, cuja interpretação é essencial para verificar a sua concordância com os resultados experimentais (Santo, 2001; Motulsky e Christopoulos, 2003; Hamelers, 2004).

Segundo Ferreira (2006), efectuada a formulação do modelo, outros aspectos devem ser tidos em conta, uma vez que a incerteza associada aos resultados da aplicação de cada modelo dependem não só da estrutura do modelo seleccionado, como também dos dados de entrada e dos valores iniciais adoptados para os parâmetros que representam o sistema. Assim, a implementação de parâmetros e condições iniciais que sejam previsíveis é crucial para a optimização de um modelo, contudo exigem a necessidade de se efectuar uma primeira abordagem empírica às condições iniciais do sistema.

Vanrolleghem et al. (2003) referem que a optimização do processo de modelação consiste, essencialmente, em minimizar a função objectivo até um determinado grau de precisão, através de algoritmos matemáticos específicos. No entanto, este procedimento poderá ter um elevado grau de complexidade associado, quando existe um elevado número de parâmetros a estudar ou dada a natureza conceptual do modelo. Assim, por vezes, torna-se impossível obter uma única combinação de parâmetros que descrevam correctamente o comportamento do sistema.

Os mesmos autores mencionam ainda que, sempre que o procedimento de calibração de um modelo se torne inviável pela determinação de soluções múltiplas, deve-se proceder, apenas, à alteração dos parâmetros sensíveis aos testes efectuados durante a calibração do modelo. Assim, torna-se indispensável reunir o máximo de informação possível que auxilie na elaboração de combinações de parâmetros realistas.