como conhe ci da, exce to quan to ao valor de u; valo res dife ren tes de u impli cam dife ren tes dis tri bui ções popu la cio nais, e, por tan to, esta mos inte res sa dos no valor de u. Se puder mos obter cer tos tipos de amos- tras da popu la ção, então, pode re mos des co brir algu ma coisa sobre u. O esque ma de amos tra gem mais fácil de tra ba lhar é a amos tra gem alea tó ria.
AMOS TRA GEM ALEATÓRIA
Se Y1,Y2, ...,Ynforem variá veis alea tó rias inde pen den tes com uma fun ção de den si da de de pro ba bi li da- de f (y;u) comum, então, {Y1, Y2, ..., Yn} é defi ni da como uma amostra alea tó ria a par tir de f (y;u) [ou uma amos tra alea tó ria a par tir da popu la ção repre sen ta da por f (y;u)].
Quando {Y1, ..., Yn} é uma amos tra alea tó ria a par tir da fun ção de den si da de f (y;u), tam bém dize mos que as Yisão amos tras independentes e iden ti ca men te dis tri buí das (ou i.i.d.) a par tir de f (y;u). Em alguns casos, não pre ci sa re mos espe ci fi car em sua tota li da de qual é a dis tri bui ção comum.
A natu re za alea tó ria de Y1, Y2, ..., Ynna defi ni ção de amos tra gem alea tó ria refle te o fato que são pos sí veis mui tos resul ta dos dife ren tes antes da amos tra gem ter sido efe ti va men te rea li za da. Por exem- plo, se a renda fami liar for obti da de uma amos tra de n 100 famí lias nos Estados Unidos, as ren das que obser va re mos em geral dife ri rão para cada amos tra dife ren te de 100 famí lias. Uma vez obti da uma amos tra, tere mos um con jun to de núme ros, diga mos, {y1, y2, ..., yn}, que cons ti tui rá os dados com os quais tra ba lha re mos. Se é ou não apro pria do assu mir que a amos tra é pro ve nien te de um esque ma alea- tó rio de amos tra gem, exige conhe ci men to sobre o efe ti vo pro ces so de amos tra gem.
Amostras alea tó rias a par tir de uma dis tri bui ção de Bernoulli são fre quen te men te usa das para ilus- trar con cei tos esta tís ti cos, e elas tam bém sur gem em apli ca ções empí ri cas. Se Y1, Y2, ..., Ynforem variá- veis alea tó rias inde pen den tes e cada uma for dis tri buí da como Bernoulli(u), de forma que P(Yi 1) 0 e P(Yi 0) 1 – u, então, {Y1, Y2, ..., Yn} cons ti tui rá uma amos tra alea tó ria a par tir da dis tri bui ção de Bernoulli(u). Como ilus tra ção, con si de re o exem plo das reser vas da empre sa aérea desen vol vi do no Apêndice B. Cada Yimos tra se o pas sa gei ro i com pa re ce para embar que; Yi 1 se o pas sa gei ro com- pa re ce e Yi 0, caso con trá rio. Dessa forma, u é a pro ba bi li da de de uma pes soa, esco lhi da alea to ria- men te na popu la ção de todas as pes soas que fize ram reser va, com pa re cer para o embar que.
Em mui tas outras apli ca ções, as amos tras alea tó rias podem ser assu mi das como reti ra das de uma dis tri bui ção nor mal. Se {Y1, ..., Yn} for uma amos tra alea tó ria a par tir de uma popu la ção Normal(m,s
2 ), então, a popu la ção será carac te ri za da por dois parâ me tros, a média m e a variân cia s2. O inte res se prin- ci pal geral men te resi de em m, mas s2é de inte res se por si mesma, pois fazer infe rên cias sobre m fre- quen te men te exige conhe ci men to de s2.
C.2 PRO PRIE DA DES DOS ESTI MA DO RES EM AMOS TRAS FINI TAS
Nesta seção, estu da re mos as cha ma das pro prie da des dos esti ma do res em amos tras fini tas. O termo “amos- tra fini ta” advém do fato de que as pro prie da des são váli das para uma amos tra de qual quer tama nho, não impor tan do o quan to ela é gran de ou peque na. Algumas vezes, elas são cha ma das de pro prie da des de amos tras peque nas. Na Seção C.3, tra ta re mos das “pro prie da des assimp tó ti cas”, que estão rela cio na das ao com por ta men to dos esti ma do res con for me o tama nho da amos tra cres ce sem limi tes.
ESTIMADORES E ESTIMATIVAS
Para estu dar as pro prie da des dos esti ma do res, deve mos defi nir o que enten de mos por esti ma dor. Dada uma amos tra alea tó ria {Y1, Y2, ..., Yn} reti ra da de uma dis tri bui ção popu la cio nal que depen da de um parâ me tro des co nhe ci do u, um estimador de u é uma regra que atri bui a cada resul ta do pos sí vel da amos tra um valor de u. A regra é espe ci fi ca da antes de extrair qual quer amos tra; em par ti cu lar, a regra será a mesma inde pen den te men te dos dados efe ti va men te obti dos.
Como um exem plo de um esti ma dor, seja {Y1, ..., Yn} uma amos tra alea tó ria de uma popu la ção com média m. Um esti ma dor natu ral de m é a média da amos tra alea tó ria:
(C.1)
Y é cha ma do de média amos tral, mas, dife ren te men te do dis cu ti do no Apêndice A, no qual defi ni mos a média amos tral de um con jun to de núme ros como uma esta tís ti ca des cri ti va, Y agora é visto como um esti ma dor. Dado qual quer resul ta do das variá veis alea tó rias Y1, ..., Yn, usa mos a mesma regra para esti mar m: sim ples men te cal cu la mos suas médias. Para resul ta dos de dados efe ti vos {y1, ..., yn}, a esti- mativa será sim ples men te a média da amos tra: Y (y1 y2 ... yn)/n.
EXEM PLO C.1
(Taxas de Desemprego nas Cidades)
Suponha que obte mos a seguin te amos tra de taxas de desem pre go de dez cida des nos Estados Unidos:
Nossa esti ma ti va da taxa média de desem pre go nas cida des dos Estados Unidos será y 6,0. Cada amos-
tra geral men te resul ta em uma esti ma ti va dife ren te. Porém, a regra para obter a esti ma ti va é a mesma, inde- pen den te de quais ou quan tas cida des apa re cem na amos tra.
De forma mais geral, um esti ma dor W de um parâ me tro u pode ser expres so como uma fór mu la mate má ti ca resu mi da:
W h(Y1,Y2, ..., Yn), (C.2) Y n 1
∑
Yi. n i 1 Y n 1∑
Yi. n i 1Cidade Taxa de Desemprego
1 5,1 2 6,4 3 9,2 4 4,1 5 7,5 6 8,3 7 2,6 8 3,5 9 5,8 10 7,5
para algu ma fun ção h conhe ci da das variá veis alea tó rias Y1, Y2, ..., Yn. Como no caso espe cial da média amos tral, W é uma variá vel alea tó ria, por que ela depen de da amos tra alea tó ria: se obti ver mos dife ren- tes amos tras alea tó rias da popu la ção, o valor de W pode mudar. Quando um con jun to par ti cu lar de núme ros, diga mos {y1, y2, ..., yn}, é agre ga do na fun ção h, obte mos uma esti ma ti va de u, repre sen ta da por w h(y1, y2, ..., yn). Algumas vezes W é cha ma do de esti ma dor por ponto e w de esti ma ti va por ponto, para dis tin gui-los dos esti ma do res por inter va lo e das esti ma ti vas por inter va lo, aos quais retor- na re mos na seção C.5.
Para ava liar os pro ce di men tos de esti ma ção, estu da mos várias pro prie da des da dis tri bui ção de pro ba bi li da de da variá vel alea tó ria W. A dis tri bui ção de um esti ma dor é mui tas vezes cha ma da de sua
distribuição amos tral, pois essa dis tri bui ção des cre ve a pro ba bi li da de de vários resul ta dos de W entre
dife ren tes amos tras alea tó rias. Como há um núme ro ili mi ta do de regras para com bi nar dados para esti- mar parâ me tros, pre ci sa mos de algum cri té rio lógi co para fazer a esco lha entre os esti ma do res, ou pelo menos para eli mi nar a con si de ra ção de alguns esti ma do res. Portanto, deve mos aban do nar o âmbi to da esta tís ti ca des cri ti va, na qual cal cu la mos coi sas como média amos tral para sim ples men te resu mir um acer vo de dados. Na esta tís ti ca mate má ti ca, estu da mos as dis tri bui ções amos trais dos esti ma do res.
Inexistência de Viés
Em prin cí pio, a tota li da de da dis tri bui ção amos tral de W pode ser obti da, dada a dis tri bui ção de pro- ba bi li da de de Yie a fun ção h. Em geral, é mais fácil enfa ti zar algu mas pou cas carac te rís ti cas da dis- tri bui ção de W ao o ava liar mos como um esti ma dor de u. A pri mei ra pro prie da de impor tan te de um esti ma dor envol ve seu valor espe ra do.
ESTIMADOR NÃO VIE SA DO
Um esti ma dor W de u será não vie sa do se
E(W) u, (C.3)
para todos os pos sí veis valo res de u.
Se um esti ma dor for não vie sa do, então, sua dis tri bui ção de pro ba bi li da de terá um valor espe ra do igual ao parâ me tro que ele supos ta men te esta rá esti man do. A inexistência de viés não sig ni fi ca que a esti- ma ti va que obte re mos com qual quer amos tra par ti cu lar será igual a u, ou mesmo muito pró xi ma de u. Particularmente, se pudés se mos extrair indefinidamente amos tras alea tó rias de Y da popu la ção, cal cu- lar uma esti ma ti va a cada vez, e depois cal cu lar mos a média des sas esti ma ti vas de todas as amos tras alea tó rias, obte ría mos u. Esse expe ri men to ideal é abs tra to por que, na maior parte das apli ca ções, temos ape nas uma amos tra alea tó ria com que tra ba lhar.
Para um esti ma dor vie sa do, defi ni mos seu viés con for me segue.
VIÉS DE UM ESTI MA DOR
Se W for um esti ma dor de u, seu viés é defi ni do como
A Figura C.1 mos tra dois esti ma do res; o pri mei ro não tem viés, e o segun do tem um viés posi ti vo.
Figura C.1
Um esti ma dor sem viés, W1, e um esti ma dor com viés posi ti vo, W2.
A ine xis tên cia de viés em um esti ma dor e o tama nho de qual quer pos sí vel viés depen dem da dis- tri bui ção de Y e da fun ção h. A dis tri bui ção de Y geral men te está fora de nosso con tro le (embo ra fre- quen te men te esco lha mos um modelo para essa dis tri bui ção): ela pode ser deter mi na da pela natu re za ou por for ças sociais. Entretanto, a esco lha da regra h é nossa, e se qui ser mos um esti ma dor não vie sa do, então, pre ci sa re mos esco lher h de manei ra apro pria da.
É pos sí vel mos trar que alguns esti ma do res podem ser não vie sa dos de forma bas tan te gené ri ca. Mostraremos agora que a média amos tral Y é um esti ma dor não vie sa do da média popu la cio nal m,
inde pen den te da dis tri bui ção popu la cio nal sub ja cen te. Usamos as pro prie da des dos valo res espe ra dos (E.1 e E.2) das quais tra ta mos na seção B.3:
Para os tes tes de hipó te ses, pre ci sa re mos esti mar a variân cia s2de uma popu la ção com média m. Definindo {Y1, ..., Yn} como a amos tra alea tó ria da popu la ção com E(Y) m e Var(Y) s
2
, defi ni mos o esti ma dor como
E(Y) E (1/n)E (1/n) (1/n)
冢Σ
n (1/n)(n ) . i 1m冣
冢
i 1Σ
nE(Yi)Σ
n i 1Yi冣
冣
冢
(1/n)Σ
n冢
i 1Yi冣
f (w) fdp de W1 fdp de W2 E(W1) E(W2) W E(Y) E (1/n)E (1/n) (1/n)冢Σ
n (1/n)(n ) . i 1m冣
冢
i 1Σ
nE(Yi)Σ
n i 1Yi冣
冣
冢
(1/n)Σ
n冢
i 1Yi冣
f (w) fdp de W1 fdp de W2 E(W1) E(W2) W(C.5)
que nor mal men te é cha ma do de variância amos tral. É pos sí vel mos trar que S2é um esti ma dor não- vie sa do de s2: E(S2) s2. A divi são por n 1, em lugar de n, leva em conta o fato de que a média m é esti ma da, em vez de conhe ci da. Se m fosse conhe ci da, um esti ma dor não vie sa do de s2
(Yi m)2, mas na prá ti ca m é rara men te conhe ci da.
Embora a ine xis tên cia de viés tenha um certo apelo como uma pro prie da de de um esti ma dor — de fato, seu antô ni mo, “vie sa do”, tem deci di da men te cono ta ções nega ti vas —, ela não está livre de pro- ble mas. Um ponto fraco da ine xis tên cia de viés é que alguns esti ma do res razoá veis, e até mesmo muito bons, são vie sa dos. Brevemente vere mos um exem plo.
Um outro ponto fraco impor tan te da ine xis tên cia de viés é que exis tem esti ma do res não vie sa dos que de fato são esti ma do res bas tan te pobres. Considere esti mar a média m de uma popu la ção. Em lugar de usar a média amos tral Y para esti mar m, supo nha que, após cole tar uma amos tra de tama nho n, des-
car te mos todas as obser va ções, exce to a pri mei ra. Ou seja, nosso esti ma dor de m será sim ples men te
W⬅ Y1. Esse esti ma dor será não vie sa do, pois E(Y) m. Esperançosamente, você per ce be rá que igno- rar todas as obser va ções, exce to a pri mei ra, não é um méto do pru den te de esti ma ção: ele joga fora a maio ria das infor ma ções da amos tra. Por exem plo, com n 100, obte re mos 100 resul ta dos da variá- vel alea tó ria Y, mas usa re mos somen te a pri mei ra delas para esti mar E(Y).