Fundamentos do modelo de crescimento de Bertalanffy e suas propriedades

A seguir, serão apresentados, passo a passo, começando a partir do componente interno do modelo, a lógica da estrutura do MCB, visando melhor compreender a aplicação desse modelo em manejo florestal. Assim, apresentam-se os resultados, passo a passo, das transformações dos componentes de duas equações tomadas como exemplos:

Equação 1: y1 = 50 * ((1- e ^ (-0,05 * t)) ^ 2 );

62 O primeiro passo do modelo (componente interno) consiste em multiplicar o coeficiente b (-,05 e -0,10), com sinal negativo, pela idade ou tempo (t), cujo produto (-b*t) é uma reta descendente negativa e representa a velocidade de crescimento do organismo. No exemplo, em relação à Equação 1, a Equação 2 apresenta coeficiente b duas vezes maior, logo a reta (-b*t) atinge o dobro de tamanho para uma mesma idade ou para um mesmo tamanho a sua idade corresponde à metade (Tabela 16 e Figura 13a).

O segundo passo consiste em transformar a reta com valor negativo anterior em uma curva aplicando-se o exponencial, resultando em uma curva positiva e descendente que varia de um a zero, razão pela qual o valor do coeficiente b é negativo (Tabela 16 e Figura 13b). Cabe ressaltar que o exponencial de -0,001 é igual a 0,999, de -1 igual a 0,37, de -4 igual a 0,018 e de -10 a 0,000045, possibilitando, como pode ser percebido mais adiante, estimar o valor do coeficiente b em função da longevidade e velocidade de crescimento de cada espécie. O terceiro passo consiste em subtrair de 1 o valor obtido no segundo passo (1-e^(-

b*t), ou seja, transformar a curva descendente, que varia de um a zero, em curva

complementar ascendente, que varia de zero a um (Figura 1c). Esta curva resultante não apresenta pontos de inflexão e nem de tangente, sendo uma curva típica com incremento decrescente com a idade. Baseando-se nos resultados obtidos até o presente passo, pode-se deduzir que, quanto maior o valor do coeficiente b, maior será a taxa de crescimento de um organismo vivo e menor a sua longevidade. Também, pode-se notar que a idade correspondente ao valor assintótico y tende a infinito.

O quarto passo consiste em aplicar sobre a curva anterior uma potência visando moldar a curva anterior e assim obter uma curva final típica de crescimento de organismos vivos, que é sigmoidal com pontos de inflexão e de tangência ((1 - e ^ ( -b * t )) ^ c ), para c > 1. Esta curva apresenta valor de tempo no eixo x e um valor relativo no eixo y que varia de zero a um (Figura 13d e Tabela 16).

O coeficiente c >1 provoca uma diminuição da curva mais acentuada para valores próximos de zero e menos acentuada para os valores próximos de um, e essa diminuição aumenta com o aumento do valor desse coeficiente como segue:

0,1^2 = 0,01 ou -90%; 0,1^3 = 0,001 ou -99%; 0,1^4 = 0,0001 ou -99,9%; 0,5^2 = 0,25 ou -50%; 0,5^3 = 0,125 ou -75%; 0,5^4 = 0,0625 ou - 87,5%; 0,9^2 = 0,81 ou -10%; 0,9^3 = 0,729 ou -19%; 0,9^4 = 0,6561 ou -27,1%.

Essa propriedade do coeficiente c do MCB é bastante útil para simular o crescimento de espécies da floresta nativa que apresentam, como nos casos das espécies secundárias tardias e climáxicas, um crescimento inicial relativamente lento.

63 a ) P a s s o 1 : -b * t -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0,05*t -0,10*t b ) P a s s o 2 : e ^ ( -b * t ) - 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 e^(-0,05*t) e^(-0,10*t) c ) P a s s o 3 : 1 - e ^ ( -b * t ) - 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1-e^(-0,05*t) 1-e^(-0,10*t) d ) P a s s o 4 : ( 1 - e ^ ( -b * t ) ) ^ c - 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 (1-e^(-0,05*t))^2 (1-e^(-0,10*t))^4 e ) P a s s o 5: a * ( ( 1 - e ^ ( -b * t ) ) ^ c ) - 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 - 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 50*((1-e^(-0,05*t))^2) 100*((1-e^(-0,10*t))^2)

f) INCREMENT O: ICA e IMA

- 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ICA y1 ICA y2 IMA y1 IMA y2

Fonte: elaborada pelo autor.

Figura 13. Estrutura do modelo de crescimento de Bertalanffy a partir do seu componente interno (-b*t) e

transformações sucessivas incidentes até obter a curva final de crescimento e seus incrementos. Sendo o valor do coeficiente c < 1, o aumento do crescimento inicial da árvore é inversamente proporcional ao valor desse coeficiente, afetando mais a porção do crescimento inicial da curva e menos a porção do crescimento final da curva, como segue:

0,1^0,8=0,158 ou +58,5%; 0,1^0,4=0,398 ou +291,1% 0,1^0,2=0,631 ou +531,0%; 0,5^0,8=0,574 ou +14,9%; 0,5^0,4=0,758 ou +51,6% ;

64 0,5^0,2 = 0,871 ou +74,1%;

0,9^0,8=0,919 ou +2,1%; 0,9^0,4=0,959 ou + 6,5%; 0,9^0,2 =0,979 ou +8,8%.

As espécies pioneiras que colonizam as clareiras ou áreas desmatadas da floresta tropical apresentam um crescimento inicial geralmente muito rápido, podendo apresentar uma curva de crescimento com o valor do coeficiente c ≤ 1, como por exemplo, de crescimento em altura das espécies Cecropia sp e Jacaranda sp.

Tabela 16. Resultados, passo a passo, dos cálculos seqüenciais envolvidos no modelo de Bertalanffy para as

equações E1 (y1 = 50*((1-e^(-0,05*t))^2)) e E2 (y2=100*((1- e^(-0,10*t))^4)), segundo idade

Idade Passo 1 (-b*t) Passo 2 e^(-b*t) Passo 3 1- e^(-b*t) Passo 4 (1- e^(-b*t))^c Passo 5 (final) a*((1- e^(-b*t))^c) (t) E1 E2 E1 E2 E1 E2 E1 E2 y1 y2 1 -0,05 -0,10 0,9512 0,9048 0,0488 0,0952 0,0024 0,0001 0,12 0,01 5 -0,25 -0,50 0,7788 0,6065 0,2212 0,3935 0,0489 0,0240 2,45 2,40 10 -0,50 -1,00 0,6065 0,3679 0,3935 0,6321 0,1548 0,1597 7,74 15,97 20 -1,00 -2,00 0,3679 0,1353 0,6321 0,8647 0,3996 0,5590 19,98 55,90 30 -1,50 -3,00 0,2231 0,0498 0,7769 0,9502 0,6035 0,8152 30,18 81,52 40 -2,00 -4,00 0,1353 0,0183 0,8647 0,9817 0,7476 0,9287 37,38 92,87 50 -2,50 -5,00 0,0821 0,0067 0,9179 0,9933 0,8426 0,9733 42,13 97,33 60 -3,00 -6,00 0,0498 0,0025 0,9502 0,9975 0,9029 0,9901 45,15 99,01 70 -3,50 -7,00 0,0302 0,0009 0,9698 0,9991 0,9405 0,9964 47,03 99,64 80 -4,00 -8,00 0,0183 0,0003 0,9817 0,9997 0,9637 0,9987 48,19 99,87 90 -4,50 -9,00 0,0111 0,0001 0,9889 0,9999 0,9779 0,9995 48,90 99,95 100 -5,00 -10,00 0,0067 0,0000 0,9933 1,0000 0,9866 0,9998 49,33 99,98

Fonte: Elaborada pelo autor.

O quinto e último passo consiste em multiplicar os valores da curva-base anterior pelo coeficiente a, que é o valor assintótico da variável (y), ou seja, transforma a curva do passo anterior que esteve em escala relativa (0,00≤y≥1,00) para a escala real da variável y (0,00≤y≤a) (Tabela 13 e Figura 13e). Sendo assim, multiplicando o coeficiente a por um fator k, poderá obter curva anamórfica k vezes maior do organismo para qualquer idade I.

A curva de crescimento desse modelo apresenta vários pontos importantes para o manejo florestal, cujas abreviaturas e definições desses termos utilizadas no corpo desta tese são as seguintes:

I → idade da árvore (nos textos subseqüentes, coeficiente do modelo referente à idade

será citado como t e a idade propriamente dita da árvore com I), medida em ano e apresenta os seguintes pontos notáveis: IICA = idade em que culmina o ICA; IIMA =

idade em que culmina o IMA; ID40 = idade da árvore com diâmetro igual a 40cm;

y→ tamanho ou porte da árvore e apresenta os seguintes pontos notáveis: yI = tamanho

ou porte da árvore na idade I indicada; yICA = porte ou tamanho da árvore no ponto

de inflexão da curva, ou seja, quando o ICA atinge o seu valor máximo; yIMA =

porte ou tamanho da árvore no ponto de tangente da curva, ou seja, quando o IMA atinge o seu valor máximo; ymax = porte ou tamanho máximo da árvore (assíntota),

que no modelo de Bertalanffy é igual ao valor do coeficiente a;

ICA → incremento corrente anual. É a diferença de porte ou tamanho da árvore

ocorrida num intervalo de tempo sucessivo de um ano: ICA = ∆y∆t para ∆t = um

ano ou ICA = ytn - yt(n-1), e ICAmax é o valor máximo atingido na sua culminação,

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IMA → incremento médio anual. É a razão entre o porte ou tamanho da árvore e sua

idade: IMA = y/t e IMAmax é o valor máximo atingido na sua culminação, ou seja

do ponto de tangente da curva de crescimento.

Tomando-se como exemplo a curvas de crescimento e incrementos da árvore 2 ilustrada na Figura 13, tem-se os seguintes valores: IICA = 14; IIMA = 23; yt14 = yICA = 32,22; yI23 = yIMA = 65,53; ICAMax = 4,21; IMAmax = 2,83; ID40 = 15,86; a = ymax =100. Baseando-se

nestes valores, esta árvore pode ser descrita como: espécie de grande porte com diâmetro máximo de 1 m; espécie de rápido crescimento com um incremento corrente máximo de 4,21cm.ano-1 ao atingir 14 anos de idade e com um diâmetro de 32,22cm; atinge 40cm de diâmetro aos 15,86 anos de idade; seu incremento médio culmina, aos 23 anos de idade, com 2,83cm.ano-1 e apresenta um diâmetro de 65,53cm.

Baseando-se na estrutura do modelo y = a * (( 1 - e ^ ( -b * t )) ^ c), tendo a = 100; e = 2,71828182845905; b = -0,10; t = 100; c = 4 que resulta em y =100*((1-2,7183^(- 0,10*100))^4) = 99,9818412647497, podem ser isolados cada um desses termos (incógnita) como segue:

t = Ln ((( y / a ) ^ ( 1 / c ) -1 ) * -1 ) / -b

b = Ln((( y / a ) ^ ( 1 / c ) -1 ) * -1 ) / a c = Ln ( y / a ) / Ln ( 1 -e ^ ( -b * t ))

Substituindo-se as variáveis das fórmulas apresentadas pelos valores numéricos, são obtidos os valores desconhecidos de idade (t), coeficiente b e coeficiente c, como seguem:

t=Ln(((99,9818/100)^(1/4)-1)*-1)/-0,10 = 100 b=Ln(((99,9818/100)^(1/4)-1)*-1)/100 = -0,10

c =Ln(99,9818/100)/Ln(1-2,7183^ (-0,10*100)) = 4,00

O ponto de inflexão da curva de crescimento (Figuras 13e e 13f) é obtido através da derivada segunda de y, sendo que o ponto crítico distinto de zero é obtido aplicando-se a seguinte fórmula:

ddy = Ln ( 1 / c ) / b

ddy = Ln(1/4)/-0,10 = 13,8629436111989

Aos 13,86 anos de idade, essa árvore apresenta um D = 31,64cm ou 31,64% do seu porte máximo (yICA/ymax*100).

O incremento corrente anual máximo (ICAmax) é a diferença de diâmetro atingido nas idades de IICA+0,5 eIICA-0,5 (14,36 e 13,36 anos de idade), ou seja, ICAmax = yt4,36-yt13,36 =

33,749 - 29,532 = 4,216cm. Cabe ressaltar que para o manejo utilizam-se os dados de incremento correspondente à idade com número inteiro e, neste caso, o ICAmax passa a ser a diferença entre diâmetros atingidos aos 14 e 13 anos de idade: ICAmax = yt14-yt13 = 33,219 -

28,006 = 4,212cm.

O incremento médio anual (IMA) é o produto do diâmetro dividido pela idade, sendo o seu IMAmax = yt23,3663/t= 66,5924/23,3663= 2,8499cm e, como no caso anterior, para a

idade com o número inteiro passa a ser: IMAmax = yt23/t = 65,5346/23 = 2,8493cm.

5.1.2. Comportamento do crescimento da árvore em função das variações dos