Quando um sistema f´ısico capaz de oscilar autonomamente estabelece uma liga¸c˜ao com outro sistema f´ısico semelhante, ´e poss´ıvel observar um ajuste das oscila¸c˜oes correspondentes a ambos os sistemas, de tal maneira que estas ocor- rem mantendo uma rela¸c˜ao definida entre os per´ıodos de vibra¸c˜ao. Em termos convencionais, o processo de sincroniza¸c˜ao ´e definido como um acerto das es- calas de tempo das oscila¸c˜oes, devido `a intera¸c˜ao entre os processos oscilantes. Os conceitos utilizados na defini¸c˜ao, tais como oscila¸c˜ao autˆonoma, liga¸c˜ao entre os sistemas, per´ıodos de vibra¸c˜ao e simultaneidade das oscila¸c˜oes, ser˜ao expandidos e usados ao longo deste cap´ıtulo.
Um dos requerimentos para a observa¸c˜ao do sincronismo entre dois ou mais sistemas se satisfaz quando um ou todos os sistemas que interagem possuem a capacidade de oscilar por si mesmos. Este tipo de comportamento ´e inerente a cada elemento em quest˜ao e portanto, as escalas de amplitude e de tempo das oscila¸c˜oes ficam completamente determinadas pelas propriedades intr´ınsecas do sistema. Assim, a partir de condi¸c˜oes iniciais arbitr´arias, as oscila¸c˜oes se- guem os mesmos regimes, sendo este atributo conhecido como robustez. A apari¸c˜ao de oscila¸c˜oes auto-sustent´aveis deve-se principalmente `a existˆencia de processos n˜ao lineares na resposta do sistema quando ele ´e submetido a uma perturba¸c˜ao. Tais n˜ao linearidades imp˜oem condi¸c˜oes para as caracter´ısticas de vibra¸c˜ao do sistema. No entanto, as oscila¸c˜oes n˜ao podem ser continua- mente mantidas dado que h´a sempre uma quantidade de dissipa¸c˜ao atrav´es de diversos processos f´ısicos. Logo, para manter a oscila¸c˜ao com amplitude cons- tante e sem amortecimento, ´e necess´ario injetar energia ao processo. A fonte de energia garante a ocorrˆencia do fenˆomeno de oscila¸c˜oes auto-sustent´aveis.
Os conceitos de amplitude, frequˆencia e fase, permitem uma descri¸c˜ao com- pleta da oscila¸c˜ao no caso de comportamentos peri´odicos; quando colocados
4.1. FUNDAMENTOS DO SINCRONISMO 61
em contato, dois sistemas deste tipo interagem de maneira fraca ou forte. A apari¸c˜ao e a forma do sincronismo est´a relacionada com a intensidade desta in- tera¸c˜ao, al´em da dependˆencia com os parˆametros pr´oprios dos sistemas. Uma vez que o sincronismo se estabelece, os sistemas atingem uma frequˆencia co- mum de oscila¸c˜ao e uma diferen¸ca de fase limitada. Nos sistemas ca´oticos ´e necess´ario redefinir cuidadosamente esta no¸c˜ao de sincronismo devido ao fato de que os ´ultimos n˜ao apresentam uma ´unica frequˆencia de oscila¸c˜ao e como consequˆencia a defini¸c˜ao da fase torna-se diferente.
4.1.1
Travamento de frequˆencia e fase
O travamento de frequˆencia entre dois osciladores com frequˆencias f1 e f2 que
permanecem acoplados, ocorre quando um deles modifica sua pulsa¸c˜ao pas- sando a oscilar numa frequˆencia que ´e um m´ultiplo ou uma fra¸c˜ao racional de vezes a frequˆencia do segundo, isto ´e f1
f2 =
p q, com
p
q = racional; por´em o
segundo n˜ao sofre a influˆencia do primeiro. Embora o acoplamento unidirecio- nal de osciladores peri´odicos seja classificado como o caso de sincronismo mais simples, este n˜ao corresponde rigorosamente `a no¸c˜ao de sincroniza¸c˜ao devido a que ´e preciso uma influˆencia bidirecional de maneira que os sistemas ajus- tam suas pulsa¸c˜oes e passam a ter uma frequˆencia comum, a qual depende das frequˆencias naturais dos osciladores e das constantes de acoplamento [65]. O travamento de frequˆencia ou sincronismo induzido, pode acontecer quando os osciladores correspondem a dois diferentes sistemas f´ısicos ou a dois modos de movimento de um ´unico sistema f´ısico.
A fase de um sistema oscilante descreve o estado das oscila¸c˜oes num instante de tempo. Para oscila¸c˜oes harmˆonicas, a fase ´e o argumento da fun¸c˜ao. Repre- sentada pelo angulo de rota¸c˜ao, uma mudan¸ca na fase de 2π rad, implica um retorno para o estado f´ısico inicial. A derivada da fun¸c˜ao de fase em rela¸c˜ao ao tempo corresponde `a frequˆencia angular, ent˜ao, a frequˆencia corresponde `a taxa de crescimento da fase.
Para elucidar os conceitos de travamento de frequˆencia e travamento da fase, consideremos o fenˆomeno mais simples, onde um ´unico oscilador, cuja fase va- ria uniformemente ´e fracamente perturbado por um est´ımulo externo. Este problema corresponde ao sincronismo do oscilador ciclo-limite influenciado ex- ternamente. A equa¸c˜ao do oscilador simples, o qual ser´a chamado de oscilador 1 ´e ˙θ = ω, onde θ ´e a fase do oscilador 1 e ω a sua frequˆencia angular de oscila¸c˜ao. Se o est´ımulo externo for peri´odico (oscilador 2), com fase Θ e frequˆencia angular Ω, ent˜ao ˙Θ = Ω. A intera¸c˜ao entre os osciladores est´a caracterizada pela diferen¸ca entre as suas frequˆencias. Devido ao fato de que o est´ımulo ´e fraco, este age apenas modificando a fase (amplitude permanece constante) do oscilador 1. Uma equa¸c˜ao que modela a intera¸c˜ao pode-se es-
4.1. FUNDAMENTOS DO SINCRONISMO 62
crever como [1]:
˙
θ = ω + Asin(Θ− θ). (4.1)
Na equa¸c˜ao 4.1, A ´e um parˆametro n˜ao nulo que representa a capacidade do oscilador 1 de modificar a sua frequˆencia instantˆanea na presen¸ca do est´ımulo. Se Θ > θ, ent˜ao ˙θ > ω, dado pela equa¸c˜ao 4.1. Para descrever a intera¸c˜ao considera-se a diferen¸ca de fase ϕ = Θ−θ entre os osciladores. Adicionalmente, define-se o parˆametro µ = (Ω− ω) /A e o tempo adimensional τ = At. Ent˜ao se tem que:
˙
ϕ = µ− sin(ϕ). (4.2)
O oscilador 1 responde diminuindo ou incrementando a sua frequˆencia depen- dendo da fase do oscilador 2, no momento em que esta encontra-se adiantada ou atrasada em rela¸c˜ao com a sua pr´opria fase. Uma descri¸c˜ao completa deste modelo pode-se achar em [65] e [1]. Assim ´e essencial olhar para a diferen¸ca na fase ϕ = Θ− θ. Em fun¸c˜ao do parˆametro µ ´e poss´ıvel conhecer os regimes f´ısicos do sistema composto pelos osciladores acoplados unidirecionalmente.
1. Caso µ = 0.
Ω = ω. 1 e 2 oscilam com a mesma frequˆencia,
dϕ
dt =−sin(ϕ). (4.3)
Os estados estacionarios s˜ao : ϕest = 0 ou m´ultiplos de 2π. Quando
ϕ = 0→ Θ = θ. O estado f´ısico dos osciladores ´e de total sincronismo,
permanecendo com frequˆencias e fases iguais (sincronismo induzido).
2. Caso 0 < µ < 1, −1 < µ < 0.
Os estados estacionarios neste caso s˜ao : ϕest = arcsin(µ). Com au-
tovalor dado pela equa¸c˜ao: λ = d((µ−sin(ϕ)))dϕ
ϕest
= −cos(ϕest). H´a duas
solu¸c˜oes de equil´ıbrio:
• Uma solu¸c˜ao est´avel com 0 < ϕest < π/2 → cos(ϕest) > 0 →
λ < 0.
• Uma solu¸c˜ao inst´avel com π/2 < ϕest < π → cos(ϕest) < 0 →
λ > 0
O estado estav´el com diferen¸ca de fase n˜ao nula implica que h´a trava- mento de fase. Aqu´ı, os osciladores permanecem com uma diferen¸ca de fase constante. Se µ > 0 ent˜ao Ω > ω, as frequˆencias angulares s˜ao
4.1. FUNDAMENTOS DO SINCRONISMO 63
diferentes.
3. Caso µ = 1.
Os estados estacionarios neste caso s˜ao : ϕest = arcsin(1) = π/2. Com
autovalor dado pela equa¸c˜ao: λ = d((µ−sin(ϕ)))dϕ
ϕest
=−cos(ϕest) = −k cos(π/2) =
0. O ponto de equilibrio corresponde neste caso a um ponto de sela-n´o.
4. Caso µ > 1.
Para este caso n˜ao h´a pontos fixos, e como consequˆencia n˜ao h´a tra- vamento de fase. O gr´afico que ilustra este fenˆomeno se apresenta na figura 4.1(c).
4.2. SINCRONISMO DE CAOS 64