3. ANÁLISE DE DECISÃO MULTICRITÉRIO (ADM)
3.4. Fuzzy analytic hierarchy process (FAHP)
Apresentação do método 3.4.1.
Como foi apontado anteriormente, o método FAHP é a evolução do AHP, através da incorporação da lógica fuzzy. Isto é feito pois o método AHP não considera as imprecisões existentes, o que pode acarretar em dificuldades para uma tomada de decisão acertada.
Neste método, ao invés de atribuir valores determinísticos às comparações, são utilizados parâmetros linguísticos, aos quais serão atribuídos uma função de pertinência fuzzy. Dessa forma, as incertezas e ambiguidades do julgamento são consideradas. Os demais passos seguem a lógica do método AHP tradicional.
19 Além disso, a cada etapa da decisão é adicionada uma medida de imprecisão, a qual é representada pelo grau de fuzzificação (𝛿). Este grau é atribuído a todas as comparações pareadas do processo decisório, possibilitando a incorporação da imprecisão ao processo de tomada de decisão.
Estruturação do método 3.4.2.
A primeira etapa consiste na definição dos critérios e alternativas de escolha. Os critérios são oriundos da decomposição do processo decisório em diferentes aspectos, e são representados pelo vetor Cn = (C1, C2, C3,...Cn). Por outro lado, as alternativas de escolha são aquelas que serão analisadas e hierarquizadas, e são representadas pelo vetor An’ = (A1, A2, A3,...An’).
Em seguida, são feitas as comparações pareadas de todos os critérios. Com isso, será possível a atribuição de pesos aos critérios definidos e, consequentemente, a constatação de quais aspectos do processo decisório são mais relevantes.
O passo seguinte é a realização de comparações pareadas das alternativas sob o ponto de vista de cada critério, o que permitirá a atribuição de pesos a elas. Assim, poderá ser feita a hierarquização destas alternativas, o que constitui o output do método FAHP.
É importante notar que ambas as comparações pareadas mencionadas (de critérios e alternativas) são baseadas na escala de Saaty, apresentada junto ao modelo AHP.
Números fuzzy triangulares 3.4.3.
Um número fuzzy caracteriza-se por uma função de pertinência μA(x) que assume valores no intervalo [0,1].
Segundo Saxena et al. (2010), existem diversas possibilidades de funções de pertinência (triangular, trapezoidal, gaussiana, etc). Porém, pelo fato de simplificar o tratamento de dados, a função triangular é a mais utilizada.
Adotando a função de pertinência triangular, um número fuzzy pode ser representado da seguinte forma:
20 (l,m,u)
Onde:
l = limite inferior;
m = valor modal (valor de pertinência = 1); u = limite superior.
Figura 3: Representação de um número fuzzy triangular Fonte: Elaborado pelas autoras
Sejam A = (l1, m1, u1) e B = (l2, m2, u2) números fuzzy triangulares. Suas operações matemáticas são as seguintes:
a) Adição: A + B = (l1, m1, u1) + (l2, m2, u2) = (l1+l2, m1+m2, u1+ u2) b) Multiplicação: A*B = (l1*l2, m1*m2, u1* u2)
c) Inverso: (l1, m1, u1) −1 ≈ (1/u1, 1/m1, 1/l1)
O grau de imprecisão do julgamento é representado pelo grau de fuzzificação (𝛿). Assim sendo, supondo-se uma comparação pareada entre os elementos i e j, na qual i é preferível a j, o valor modal m do número fuzzy triangular correspondente desta comparação é um dos valores da escala de Saaty. Enquanto isso, os valores l e u descrevem a imprecisão do julgamento, que, como mencionado anteriormente, é influenciada pelo grau de fuzzificação (𝛿). Quando a função de pertinência é considerada simétrica, tem-se:
21 Assim, o número fuzzy triangular associado à comparação entre os elementos i e j, onde ambos são distintos e i é preferível a j, e onde está dado o valor de m é:
(m- 𝛿, m, m+ 𝛿) Seu respectivo inverso (comparação entre j e i) é:
(1/(m+ 𝛿), 1/m, 1/(m- 𝛿))
Contudo, é preciso destacar duas importantes exceções: quando o valor de m na comparação pareada for igual a 1 (i e j igualmente preferíveis) ou quando for igual a 9 (extremo superior da escala de Saaty):
Quando m=1, o número fuzzy triangular associado a esta comparação é: (1/(1+ 𝛿), 1, 1+ 𝛿)
Quando m=9, o número fuzzy triangular associado a esta comparação é: (9-𝛿, 9, 9)
Desenvolvimento do método 3.4.4.
Após obter os resultados de todas as comparações pareadas, deve-se incorporar o grau de fuzzificação (𝛿), de modo a transformar o valor dado pelo especialista (m) num número fuzzy triangular (m-𝛿, m, m+𝛿). Isto é feito para todas as comparações pareadas, resultando em uma matriz de comparações fuzzy:
Tabela 2: Matriz de comparação pareada de critérios
𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 𝑪𝟒 𝑪𝒏 𝑪𝟏 (1,1,1) (𝐿12, 𝑀12, 𝑈12) (𝐿13, 𝑀13, 𝑈13) (𝐿14, 𝑀14, 𝑈14) (𝐿1𝑛, 𝑀1𝑛, 𝑈1𝑛) 𝑪𝟐 (𝐿21, 𝑀21, 𝑈21) (1,1,1) (𝐿23, 𝑀23, 𝑈23) (𝐿24, 𝑀24, 𝑈24) (𝐿2𝑛, 𝑀2𝑛, 𝑈2𝑛) 𝑪𝟑 (𝐿31, 𝑀31, 𝑈31) (𝐿32, 𝑀32, 𝑈32) (1,1,1) (𝐿34, 𝑀34, 𝑈34) (𝐿3𝑛, 𝑀3𝑛, 𝑈3𝑛) 𝑪𝟒 (𝐿41, 𝑀41, 𝑈41) (𝐿42, 𝑀42, 𝑈42) (𝐿43, 𝑀43, 𝑈43) (1,1,1) (𝐿4𝑛, 𝑀4𝑛, 𝑈4𝑛) 𝑪𝒏 (𝐿𝑛1, 𝑀𝑛1, 𝑈𝑛1) (𝐿𝑛2, 𝑀𝑛2, 𝑈𝑛2) (𝐿𝑛3, 𝑀𝑛3, 𝑈𝑛3) (𝐿𝑛4, 𝑀𝑛4, 𝑈𝑛4) (1,1,1)
Fonte: Elaborado pelas autoras
A partir dos valores da matriz, será possível realizar operações matemáticas com os números fuzzy de modo a calcular os pesos dos critérios. Após, deve-se comparar os números fuzzy triangulares associados a cada par de alternativas e, utilizando-se dos pesos calculados para os critérios, será possível chegar a hierarquização final.
22 Primeiramente, deve-se somar os valores encontrados para l, m e u nas colunas e nas linhas da matriz de comparações fuzzy, de modo a obter um número fuzzy triangular representativo da linha (𝑙𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎, 𝑚𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎, 𝑢𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎) e da coluna (𝑙𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎, 𝑚𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎, 𝑢𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎) de cada um dos elementos (critérios e alternativas).
Após, é necessário fazer a soma das somas das colunas de todos os elementos (𝑙Σ𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎, 𝑚Σ𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎, 𝑢Σ𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎), obtendo os dados necessários para o cálculo da Medida Sintética Fuzzy (S), representado pela seguinte expressão matemática:
Si = (llinha, mlinha, ulinha) ⊙ (1/l∑coluna,1/m∑coluna, 1/u∑coluna), (2) onde a multiplicação Fuzzy, deve obedecer à seguinte regra matemática:
A⊙B = (l1, m1, u1) ⊙ (l2, m2, u2) = (l1* l2, m1* m2, u1* u2)
As medidas sintéticas fuzzy serão utilizadas para hierarquizar os elementos da matriz de comparações, através, inicialmente, da comparação dois a dois dos “S” de cada um dos elementos com o dos demais. Esta comparação é feita através do cálculo de V (𝑆𝑖 ≥ 𝑆𝑗), o qual representa o grau de possibilidade de 𝑆𝑖 ser maior ou igual a 𝑆𝑗.
Segundo Chang (1996), para fazer a comparação de dois números fuzzy triangulares convexos que se interceptam, devem ser utilizadas as equações a seguir:
V (M1 ≥ M2) = 1 se e somente se m1 ≥ m2 e
V (M2 ≥ M1) = MaiorValor (S1 ∩ S2) = (l1 – u2) / [(m2 – u2) – (m1 – l1)] (3) A figura a seguir ilustra os cálculos descritos acima:
Figura 4: Comparação entre dois números Fuzzy triangulares Fonte: Chang (1996)
23 Além disso, o grau de possibilidade de um determinado número fuzzy M ser maior que k números fuzzy 𝑀𝑖 (i = 1, 2, ... , k) pode ser definido como:
V(M ≥ M1, M2,..., Mn) = V[(M ≥ M1) e (M ≥ M2)...e (M ≥ Mn)] = min V(M ≥ Mi) , i = 1,2,...n (4)
Logo, após a realização de todas as comparações pareadas possíveis de “S”, a comparação global do S de um elemento Ci com o de todos os outros é realizada da seguinte forma:
d(Ci) = V (S ≥ S1, S2,..., Sn) = Min (V (Si ≥ Sa), V (Si ≥ Sb), V (Si ≥ Sc), ..., V (Si ≥ Sn)) (5)
O vetor W’, definido como W’ = [d(Ci), d(Ca), d(Cb), d(Cc), ..., d(Cn)], depois de normalizado (W), será o vetor dos pesos de cada elemento (critério ou alternativa de escolha).
Para exemplificar o método FAHP e facilitar sua compreensão, será apresentado a seguir um exemplo numérico proposto por Chang (1996).
Exemplo 3.4.5.
Em uma universidade, o cargo de professor de Pesquisa Operacional está vago e há 3 candidatos na disputa. Cada um deles será chamado de 𝐴1, 𝐴2 e 𝐴3, respectivamente. Um comitê foi designado para decidir qual dos 3 é melhor qualificado para o cargo e, para tal, identificaram 4 critérios de decisão, designados por 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 e 𝐶4.
As opiniões dos especialistas foram levantadas e a resultante matriz de comparações pareadas fuzzy dos critérios é apresentada a seguir:
Tabela 3: Matriz de comparações pareadas dos critérios
𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 𝑪𝟒
𝑪𝟏 (1, 1, 1) (0.86, 1.17, 1.56) (0.67, 1, 1.5) (0.33, 0.39, 0.49) 𝑪𝟐 (0.64, 0.85, 1.16) (1, 1, 1) (2.5, 3, 3.5) (0.95, 1.33, 1.83) 𝑪𝟑 (0.87, 1, 1.49) (0.29, 0.33, 0.40) (1, 1, 1) (0.4, 0.5, 0.67) 𝑪𝟒 (2.04, 2.56, 3.03) (0.55, 0.75, 1.05) (1.49, 2, 2.5) (1, 1, 1)
24 A partir dos dados da matriz, aplica-se a fórmula (2) para o cálculo das Medidas Sintéticas Fuzzy (S) para cada critério:
𝑆1 = (2.86, 3.56, 4.55) ⊙ ( 1 23.18, 1 18.88, 1 15.59) = (0.12, 0.19, 0.29) 𝑆2 = (5.09, 6.18, 7.49) ⊙ ( 1 23.18, 1 18.88, 1 15.59) = (0.22, 0.32, 0.48) 𝑆3 = (2.56, 2.83, 3.56) ⊙ ( 1 23.18, 1 18.88, 1 15.59) = (0.11, 0.15, 0.23) 𝑆4 = (5.08, 6.31, 7.58) ⊙ ( 1 23.18, 1 18.88, 1 15.59) = (0.21, 0.33, 0.49)
Usando as fórmulas (3) e (4), pode-se fazer a comparação entre as Medidas Sintéticas calculadas acima:
V (𝑆1 ≥ 𝑆2) = 0.22−0.29 (0.19−0.29)−(0.32−0.22) = 0.35 V (𝑆1 ≥ 𝑆3) = 1 V (𝑆1 ≥ 𝑆4) = 0.21−0.29 (0.19−0.29)−(0.33−0.21) = 0.32 V (𝑆2 ≥ 𝑆1) = 1 V (𝑆2 ≥ 𝑆3) = 1 V (𝑆2 ≥ 𝑆4) = 0.21−0.48 (0.32− 0.48)−(0.33−0.21) = 0.96 V (𝑆3 ≥ 𝑆1) = 0.73 V (𝑆3 ≥ 𝑆2) = 0.06 V (𝑆3 ≥ 𝑆4) = 0.10 V (𝑆4 ≥ 𝑆1) = 1 V (𝑆4 ≥ 𝑆2) = 1 V (𝑆4 ≥ 𝑆3) = 1
Enfim, usando a fórmula (5) obtém-se o vetor W’ = (0.32, 0.96, 0.06, 1). Normalizando, chega-se ao vetor de pesos dos critérios 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 e 𝐶4: W = (0.13, 0.41, 0.03, 0.43).
25 Tendo comparado os critérios entre si, é a vez de comparar as alternativas (𝐴1, 𝐴2 e 𝐴3) sob a perspectiva de cada critério. A seguir, as matrizes resultantes destas comparações:
Tabela 4: Matriz de comparações pareadas das alternativas sob cada critério Tabela 4-a 𝐶1 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴1 (1, 1, 1) (0.67, 1, 1.15) (0.54, 0.75, 1.1) 𝐴2 (0.67, 1, 1.15) (1, 1, 1) (0.4, 0.5, 0.6) 𝐴3 (0.91, 1.33, 1.85) (1.5, 2, 2.5) (1, 1, 1) Tabela 4-b 𝐶2 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴1 (0.33, 0.33, 0.34) (0.28, 0.33, 0.39) (0.25, 0.33, 0.42) 𝐴2 (0.29, 0.33, 0.4) (0.33, 0.33, 0.34) - 𝐴3 (0.24, 0.32, 0.43) - (0.33, 0.33, 0.34) Tabela 4-c 𝐶3 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴1 (0.33, 0.33, 0.34) (0.27, 0.33, 0.40) (0.28, 0.33, 0.39) 𝐴2 (0.29, 0.32, 0.4) (0.33, 0.33, 0.34) (0.21, 0.32, 0.47) 𝐴3 (0.28, 0.32, 0.39) (0.21, 0.32, 0.47) (0.33, 0.33, 0.34) Tabela 4-d 𝐶4 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴1 (1, 1, 1) - (0.95, 1.25, 1.59) 𝐴2 - (1, 1, 1) (1.5, 2, 2.5) 𝐴3 (0.95, 1.29, 1.59) (0.4, 0.5, 0.67) (1, 1, 1) Fonte: Elaborado pelas autoras com base em Chang (1996)
Como feito anteriormente para os critérios, essas matrizes são usadas para calcular os pesos de cada alternativa sob cada critério separadamente. Os resultados são apresentados na matriz seguinte:
26 Tabela 5: Matriz dos pesos das alternativas sob cada critério
𝐴1 𝐴2 𝐴3
𝐶1 0.28 0.21 0.51 𝐶2 0.66 0.16 0.19 𝐶3 0.35 0.33 0.32 𝐶4 0.22 0.42 0.36
Fonte: Elaborado pelas autoras com base em Chang (1996)
Por último, adiciona-se os pesos por alternativa multiplicados pelos pesos do critério correspondente, resultando num escore final para cada candidato (representados pelas alternativas). Este resultado encontra-se na seguinte tabela:
Tabela 6: Matriz de escores finais das alternativas
𝐴1 𝐴2 𝐴3
0.41 0.28 0.25
Fonte: Elaborado pelas autoras com base em Chang (1996)
Analisando a tabela acima, conclui-se que o candidato 𝐴1 é o candidato preferível.
27
4.
ESTUDO DE CASO
O contato inicial com a temática deste estudo se deu através de material disponibilizado pelo professor-orientador deste projeto, que forneceu os subsídios para a compreensão geral do tema. Em seguida, a revisão teórica apresentada nos capítulos anteriores permitiu a realização do estudo prático que será exposto neste capítulo.
A pesquisa de campo ocorreu no dia 08/10/2014, data em que foram realizadas as entrevistas em profundidade com especialistas para identificação dos critérios mais relevantes na seleção de projetos, no âmbito da análise de risco.
Após, foi elaborado um formulário de comparação pareada para preenchimento por parte dos especialistas, de modo a possibilitar a utilização do método FAHP para cálculo das métricas. Os resultados são apresentados ao final do capítulo.