Generalização do Teorema de Russo-Seymour-Welsh

Nesta seção provamos uma generalização do clássico Teorema de Russo-Seymour- Welsh, para modelos de arestas independentes, usando a Proposição 3.4 da seção an- terior. O próximo teorema é uma extensão do Teorema de Russo-Seymour-Welsh para o modelo de aglomerados aleatórios com condições de fronteira periódica.

Teorema 3.3 (Teorema de Russo-Seymour-Welsh). Dados α > 1, q ≥ 1. Existe uma constante c(α) > 0 tal que para todo m > αn > 0

φP_p

sd,q,m(Ch([0, αn] × [0, n])) ≥ c(α).

Demonstração. Seja

R = T(n₂,0)([0, n] × [0, αn]),

o retângulo que se obtêm transladando, por um vetor (n

2, 0), o retângulo rotacionado

[0, n] × [0, αn]. Consideramos agora retângulos não rotacionados em R2 denidos por    Rv j = [j n 2, (j + 1) n 2] × [j n 2, (j + 3 2) n 2] Rh j = [j n 2, (j + 3 2) n 2] × [(j + 1 2) n 2, (j + 3 2) n 2] ,

para j ∈ [0, b2αc − 1], onde bxc denota o maior inteiro menor que x. Observamos mais uma vez, que na denição tanto de Rv

j quanto Rhj o produto cartesiano que os dene

não obedece a convenção feita no início do capítulo, isto é, estes produtos cartesianos não denotam retângulos rotacionados e sim retângulos na rede Z2_.

Figura 3.8: Uma combinação de cruzamentos dos retângulos pequenos cri- ando um cruzamento no retângulo R = T(n₂,0)([0, αn] × [0, n]).

Observando que \

j∈[0,b2αc−1]



Ch(Rhj) ∩ Cv(Rjv) ⊂ {Cruzamento ao longo de R}, (3.12)

temos a seguinte estimativa para o cruzamento horizontal de R φP_p sd,q,m(Ch([0, αn] × [0, n])) = φ P psd,q,m(Cruzamento ao longo de R) ≥ Y j∈[0,b2αc−1] φP_p sd,q,m(Ch(R h j))φPpsd,q,m(Cv(R v j)) ≥ c2(b2αc−1) = c(α),

onde na primeira desigualdade usamos a equação (3.12) e a Desigualdade FKG. Na última desigualdade usamos a Proposição (3.4).

O próximo teorema nos diz que se p > psd, a probabilidade de cruzar horizontalmente

um retângulo contido no toro de tamanho n é próxima de um para toros de tamanho n arbitrariamente grandes.

Teorema 3.4. Sejam q ≥ 1 e p ≥ psd. Então existe uma constante c0(p) > 0 tal que

para todo n > 0, temos que

φP_p,q,8n(Ch([0, 4n] × [0, n])) ≥ 1 − n−c

0_(p)

. Demonstração. Considere o evento

Observe que o evento B é invariante por translações no toro e também satisfaz φP_p,q,8n(B) por simetria z}|{_{= φ}P psd,q,8nCh  [0, 8n] ×h0,n 2 i Teorema 3.3 z}|{ ≥ c(16).

Suponha que p > psd. Uma vez que o evento B é crescente e invariante por trans-

lações, então pelo Teorema (3.2), existe  = (p, q) e c = c(p, q) tal que φP_p

sd,q,8n(B) ≥ 1 − cn

−

. (3.13)

Se o evento B ocorre, então algum dos 32 retângulos [j4n, (j + 1)4n] × [in

2, i n

2 + n], (i, j) ∈ {0, 1} × {0, 1, . . . , 15},

deve ser cruzados de cima para baixo. Denote estes eventos por Aij. Assim temos que

B ⊂ [

(i,j)∈{0,1}×{0,1,...,15}

Aij

e

Aij = T (Ch([0, 4n] × [0, n]))

∀(i, j) ∈ {0, 1} × {0, 1, . . . , 15} e para alguma translação T . Usando (3.13) e a Desi- gualdade FKG segue que

1 − cn− ≤ φP p,q,8n(B) = 1 − φP_p,q,8n(Bc) ≤ 1 − φP p,q,8n   \ (i,j)∈{0,1}×{0,1,...,15} Ac_ij   ≤ 1 − Y (i,j)∈{0,1}×{0,1,...,15} φP_p,q,8n(Ac_ij) = 1 −1 − φP_p,q,8n( Ch([0, 4n] × [0, n]) ) 32 . Isto implica que φP

p,q,8n(Ch([0, 4n] × [0, n]) ) ≥ 1 − (cn−)

1 32.

Cap´ıtulo

4

CÁLCULO DO PONTO CRÍTICO pc

O próximo teorema é o núcleo deste trabalho. Deduções rigorosas do cálculo do ponto crítico eram previamente conhecidas em três casos.

Para q = 1 (percolação de Bernoulli) foi provado por Kesten em 1980 que o ponto crítico é pc(1) = 1/2. Para q = 2, o modelo pode ser relacionado com o modelo de

de Ising, cujo cálculo de Baxter e Yang permite obter o valor de pc(2). Finalmente,

para q sucientemente grande, a prova conhecida é baseada no fato de que o modelo de aglomerados aleatórios exibe uma transição de fase de primeiro ordem. A prova é validada para valores de q maiores que 25.72. Mencionamos também que deduções não rigorosas da temperatura crítica do modelo de Potts foram feitas com q ≥ 4, em 1978, usando argumentos não-geométricos baseados nas propriedades analíticas do Hamiltoniano.

Para q ≥ 1, sabemos do Capítulo 2 que o parâmetro crítico existe. Nossa meta agora é explorar a dualidade do modelo de aglomerados aleatórios para calcular o valor do ponto crítico.

Teorema 4.1 (V. Beara, Duminil-Copin [2]). Seja q ≥ 1. O ponto crítico pc= pc(q)

do modelo de aglomerado aleatório com parâmetro q denido sobre a rede Z2 _satisfaz:

pc = psd ≡

√ q 1 +√q

onde psd é o ponto auto-dual denido no Capítulo 2, Denição 2.7, pag. 31.

A prova deste teorema será feito como consequência dos dois seguintes lemas.

4.1 - Cota inferior para o ponto crítico: p

≥ p

A prova desta desigualdade é ligeiramente fácil. Esta prova usa uma construção clássica conhecida como Argumento de Zhang. Este argumento foi inicialmente usado no caso do modelo de arestas independentes mas estende-se facilmente para o modelo de aglomerados aleatórios. A heurística para a validade desta desigualdade é a seguinte: se assumimos que pc< psd, a conguração em psd deve conter um aglomerado aleatório

innito primal e um aglomerado aleatório innito dual, já que o modelo de aglomerados aleatórios dual está na fase supercrítica também. Intuitivamente a coexistência destes

aglomerados implica a existência de mais de um aglomerado aleatório innito, o que contradiz o Teorema da unicidade do aglomerado aleatório innito (Teorema (2.12)). Lema 4.1 (Argumento de Zhang). Se q ≥ 1, então

φ0_p

sd,q,Z2(0 ↔ ∞) = 0.

Como consequência, pc≥ psd.

Demonstração. Suponha que φ0

psd,q,Z2(0 ↔ ∞) > 0. Então este modelo com p = psd

está na fase supercrítica, isto é, pc> psd. Portanto

φ0_p

sd,q,Z2(N = 1) = 1, (4.1)

onde N é a variável a aleatória que conta a quantidade de aglomerados aleatórios abertos innitos. Dena o evento

Rn =

(

O único aglomerado aleatório (aberto) innito em Z2_{\ [−n, n]}2 _{intercepta [−n, n]}2

) .

Note que a sequência de eventos {Rn : n > 0} é crescente, logo pelo teorema da

continuidade da medida temos 1 = φ0_p sd,q,Z2(N = 1) = lim_n→∞φ 0 psd,q,Z2(Rn) ≤ lim_n→∞φ 0 psd,q,Z2([−n, n] 2 _{↔ ∞).}

Assim dado  > 0 existe n0 ∈ N tal que se n ≥ n0 então

|φ0_psd,q,Z2([−n, n]2 ↔ ∞) − 1| < .

Logo podemos escolher m sucientemente grande de maneira que φ0_p

sd,q,Z2([−m, m]

2 _{↔ ∞) > 1 − . (4.2)}

Fixando m0 ≥ n0, seja Ae (resp. Ad, Ac, Ab) o evento :

• O segmento {−m0} × [−m0, m0] (resp. {m0} × [−m0, m0], [−m0, m0] × {m0},

[−m0, m0] × {−m0} ) está em um aglomerado innito em Z2\ [−m0, m0]2,

onde e ≡esquerda, d ≡direita, c ≡cima, b ≡baixo. Por invariância por rotação do modelo de aglomerados aleatórios temos

φ0_p

sd,q,Z2(Ae∩ Ad) = φ

0

psd,q,Z2(Ac∩ Ab). (4.3)

Por outro lado, segue de (4.2) que φ0_p

sd,q,Z2(Ae∪ Ad∪ Ac∪ Ab) = φ

0

psd,q,Z2([−m0, m0]

2 _{↔ ∞) > 1 − . (4.4)}

Usando o Truque da Raiz Quadrada" (veja apêndice) temos φ0_p sd,q,Z2(Au) ≥ 1 − [1 − φ 0 psd,q,Z2(Ae∪ Ad∪ Ac∪ Ab)] 1 4, u = e, d, c, b. (4.5)

Segue das desigualdades (4.4) e (4.5) que φ0_p

sd,q,Z2(Au) ≥ 1 −  1

Observe que os eventos Au, onde u = e, d, c, b são eventos crescentes, logo por (4.6) e pela Desigualdade FKG φ0_p sd,q,Z2(Ae∩ Ad) ≥ φ 0 psd,q,Z2(Ae)φ 0 psd,q,Z2(Ad) ≥ (1 −  1 4)2 ≥ 1 − 2 1 4. (4.7)

Usando a identidade (4.3) e que φ0

psd,q,Z2 é estocasticamente dominado por φ

1 psd,q,Z2, obtemos φ1_p sd,q,Z2(Ac∩ Ab) ≥ 1 − 2 1 4. (4.8)

Antes de prosseguir lembramos dois fatos importantes sobre este modelo a) o ponto auto-dual é dado por p∗_(p

sd) = psd;

b) a medida dual de φ0

p,q,Z2 é φ1_p∗_,q,Z2∗.

Seja A∗

c (resp. A∗b) o evento a face (12, 1 2) + [1 − n, n − 1] × {n − 1} (resp. ( 1 2, 1 2) + [1 −

n, n − 1] × {1 − n}) está em um aglomerado innito na conguração dual, no exterior do quadrado (1

2, 1

2) + [1 − n, n − 1]

2_{. Usando a dualidade, as observações a) e b) e as}

estimativas feitas acima, podemos armar que para todo n ≥ m + 1 φ0_p sd,q,Z2(Ae∩ Ad∩ A ∗ c∩ A ∗ b) ≥ φ 0 psd,q,Z2(Ae∩ Ad) φ 1 p∗_(p sd),q,Z2∗(A ∗ c∩ A ∗ b) ≥ φ0 psd,q,Z2(Ae∩ Ad) φ 1 psd,q,Z2∗(A ∗ c∩ A ∗ b) ≥ (1 − 214)2 > 1 − 414,

onde na primeira desigualdade usamos a Desigualdade FKG e o fato b), na segunda desigualdade o fato a) e na terceira desigualdade usamos as equações (4.7) e (4.8) simultaneamente. Isto é, φ0_p sd,q,Z2(Ae∩ Ad∩ A ∗ c ∩ A ∗ b) > 1 − 4 1 4. (4.9)

Agora considere o evento

B = {toda aresta dual em (1₂,1₂) + [1 − n, n − 1]2 está aberta} Note que os eventos B e Ae∩ Ad∩ A∗c∩ A

∗

b dependem de estados de arestas disjuntas.

Usando a estimativa (4.9) e aplicando as propriedades de Domínio de Markov e Energia Finita, temos que

φ0_p sd,q,Z2(B) > 0 e φ 0 psd,q,Z2(B|Ae∩ Ad∩ A ∗ c∩ A ∗ b)) > 0, (4.10) consequentemente φ0_p sd,q,Z2(N ≥ 2) ≥ φ 0 psd,q,Z2(B ∩ Ae∩ Ad∩ A ∗ c∩ A ∗ b) > 0.

chegando assim a uma contradição com (4.1), que garante a unicidade do aglomerado aleatório innito na fase supercrítica quase certamente.

Figura 4.1: Passos da prova de que pc≥ psd.