2.2 O Princ´ıpio da Reflex˜ ao
4.1.7 Generaliza¸c˜ ao do problema de pintar as casas
Em uma pra¸ca circular, h´a n casas idˆenticas. Um pintor disp˜oe de p cores dife- rentes para pintar as casas. De quantos modos isso pode ser feito se casas adjacentes n˜ao podem ter a mesma cor?
Solu¸c˜ao: Seja Rn o n´umero de maneiras de pintar as n casas com p cores. Seguindo o
mesmo racioc´ınio do exemplo anterior, temos que ao acrescentar 1 casa entre a casa 1 e a n−´esima casa, temos uma nova configura¸c˜ao com duas situa¸c˜oes poss´ıveis:
Situa¸c˜ao 1: (A 1a casa e a n−´esima casa tem cores diferentes)
Assim, como a 1a casa e n−´esima casa tem cores diferentes a (n + 1)−´esima casa
poder´a ser pintada de (p − 2) cores diferentes. E as casas de 1 at´e n poder˜ao ser pintadas de Rn maneiras. Assim,
Rn+1= (p − 2) · Rn.
Situa¸c˜ao 2: (A 1a casa e n−´esima casa tem a mesma cor)
Como a 1a casa e a n−´esima casa tem a mesma cor, a (n + 1)−´esima casa poder´a
ser pintada de (p − 1) cores diferentes, e al´em disso, as casas de 1 at´e n − 1 poder˜ao ser pintadas de Rn−1 maneiras, j´a que a n−´esima casa j´a esta com a mesma cor da
1a casa.
Logo,
Rn+1= (p − 1) · Rn−1.
Portanto, temos
Rn+1 = (p − 2) · Rn+ (p − 1) · Rn−1,
que ´e uma recorrˆencia de segunda ordem. Por´em, temos que observar que a express˜ao acima ser´a v´alida apenas para n ≥ 3, pois quando n = 1 temos apenas uma casa e
seguindo o racioc´ınio anterior, ao acrescentarmos mais uma casa na configura¸c˜ao j´a n˜ao conseguiremos ter a situa¸c˜ao 2, pois, a 2a casa j´a ser´a adjacente a 1a casa e portanto, n˜ao poder˜ao ter a mesma cor. Analogamente, quando n = 2, ao acrescentarmos mais uma casa na configura¸c˜ao n˜ao ser´a poss´ıvel ter a situa¸c˜ao 2, pois a 1a casa tamb´em j´a ser´a adjacente a 2a casa. Logo,
Rn+1= (p − 2) · Rn+ (p − 1) · Rn−1 para n ≥ 3,
e pode ser escrita como
Rn+1− (p − 2) · Rn− (p − 1) · Rn−1 = 0,
que tem como equa¸c˜ao caracter´ıstica associada, r2− (p − 2) · r − (p − 1) = 0, em que as
ra´ızes s˜ao dadas por
r1 = p − 1 e r2 = −1.
Pelo Teorema 1.1.3, temos que todas as solu¸c˜oes da recorrˆencia s˜ao dadas por Rn = c1· (p − 1)n+ c2· (−1)n,
com c1 e c2 constantes.
Para encontrarmos as constantes c1 e c2 precisaremos de dois valores iniciais.
Seguindo o mesmo racioc´ınio do exemplo anterior, para n = 3, temos R3 = p·(p−1)·(p−2).
Da mesma forma, para n = 4, seguindo os casos apresentados no exemplo anterior, teremos R4 = p · 1 · (p − 1) · (p − 1) + p · (p − 1) · (p − 2) · (p − 2) R4 = p · (p − 1)2+ p · (p − 1) · (p − 2)2 Substituindo R3 e R4 em Rn= c1· (p − 1)n+ c2· (−1)n, temos c1· (p − 1)3+ c2· (−1)3 = p · (p − 1) · (p − 2) c1· (p − 1)4+ c2· (−1)4 = p · (p − 1)2+ p · (p − 1) · (p − 2)2
Desenvolvendo as equa¸c˜oes, temos (p − 1)3· c 1− c2 = p · (p − 1) · (p − 2) (p − 1)4· c1+ c2 = p · (p − 1)2+ p · (p − 1) · (p − 2)2
Somando as equa¸c˜oes ficamos com
seguindo que
(p − 1)3· (1 + p − 1) · c1 = p · (p − 1) · (p − 2 + p − 1 + p2− 4p + 4)
p · (p − 1)3· c1 = p · (p − 1) · (p − 1)2
c1 = 1.
Da´ı, substituindo na primeira equa¸c˜ao, obtemos
c2 = (p − 1)3− p · (p − 1) · (p − 2) c2 = (p − 1) · [(p − 1)2− p · (p − 2)] c2 = (p − 1) · ( p2−2p + 1 −p2+2p) seguindo que c2 = p − 1. Logo, Rn= (p − 1)n+ (p − 1) · (−1)n.
N˜ao ´e dif´ıcil perceber que para n = 1 teremos R1 = p e para n = 2 obtemos
R2 = p · (p − 1). Portanto,
R1 = p
R2 = p · (p − 1)
Considera¸c˜oes Finais
Neste trabalho foram abordadas diversas t´ecnicas de Contagem que n˜ao s˜ao co- mumente trabalhadas no Ensino B´asico e nem no Ensino Superior. Verificamos como a Permuta¸c˜ao Ca´otica e a Recorrˆencia podem ser pertinentes para resolver diversos tipos de problemas dos principais concursos de admiss˜ao aos cursos superiores. Nesse sentido, abordamos alguns mais simples, como quest˜oes do Enem e alguns mais elaboradas, como as quest˜oes do IME e da UFRJ. Averiguamos tamb´em que o Princ´ıpio da Reflex˜ao ´e efi- ciente para resolver o problema da Fila do Cinema e que o N´umero de Catalan se encaixa perfeitamente como solu¸c˜ao para o caso onde temos m = n. O Princ´ıpio das Gavetas de Dirichlet serviu para provar problemas que n˜ao se preocupam com a contagem e sim com a existˆencia de agrupamentos que cumprem determinadas propriedades.
Enquanto professora e pesquisadora acredito que ´e necess´ario estimular o racioc´ınio e a descoberta, e para isso, foram sugeridos alguns problemas para o Ensino M´edio para resgatar o pensar matem´atico e ir al´em de conceitos ou f´ormulas. Esses problemas foram elaborados com n´ıveis de dificuldades diferentes e podem ser resolvidos com alguma das t´ecnicas apresentadas no trabalho.
Embora n˜ao seja uma ´area nova, acreditamos que a An´alise Combinat´oria ´e uma ´
area que ainda tem muito a ser pesquisada e desenvolvida. Ao longo do trabalho foram estudados novos m´etodos que podem ser aplicados para obter solu¸c˜oes de problemas neste ramo, al´em de aperfei¸coar os j´a trabalhados. Durante a pesquisa em busca de materiais para o trabalho, podemos perceber que os N´umeros de Catalan n˜ao servem apenas para resolver o problema da Fila do Cinema, e que outros diversos problemas de contagem o tem como solu¸c˜ao. Julgamos importante, para trabalhos futuros continuar com pesquisas nesse campo e trazer mais problemas resolvidos com essa t´ecnica objetiva e acess´ıvel para diferentes p´ublicos, em especial para os alunos do Ensino M´edio, como em um dos problemas descrito no Cap´ıtulo 4. Da mesma forma, acreditamos que o Princ´ıpio da
Reflex˜ao pode ser estudado para ser aplicado em outros problemas, al´em dos trabalhados no texto.
Finalmente, esperamos que o trabalho ajude professores e alunos que procuram informa¸c˜oes de An´alise Combinat´oria e que sirva como fonte de inspira¸c˜ao e estudo para popularizar o uso de novos m´etodos de Contagem al´em dos j´a tradicionais Permuta¸c˜ao, Combina¸c˜ao e Arranjo.
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