GEOMETRIA FRACTAL

2.6.1 Introdução

O entendimento, a compreensão dos fenômenos e a modelagem de objetos naturais são tais que transcendem o interesse visual. Os objetos da natureza tem sido alvo de estudos pela linguagem fractal. Este entendimento da complexidade da natureza, por meio da linguagem fractal, oferece uma oportunidade indispensável para revitalização educacional (LOPES e VIEIRA, 2001). As áreas de atuação da geometria fractal são diversas e neste item se faz referência apenas da sua aplicação na Física do Solo.

2.6.2 Teoria fractal

A geometria fractal (do latim fractus que significa fracionário) é uma nova teoria matemática que pode descrever objetos com formas geométricas complexas e que possuam alto grau de auto-semelhança, isto é, que apresentem a mesma aparência em diferentes escalas.

Na natureza ocorrem superfícies irregulares e fragmentadas cujas formas são dificilmente representáveis e mensuráveis e esforços têm sido desenvolvidos para encontrar alguma ordem por trás desses complexos e caóticos sistemas da natureza.

A geometria fractal se apresenta como uma ferramenta capaz de descrever os fenômenos que são considerados imprevisíveis, aleatórios ou caóticos (MESQUITA, 2002) e

diferencia-se da geometria clássica ou Euclidiana por permitir a representação dos sistemas naturais com formas mais diversas possíveis e em diferentes escalas.

Pela capacidade de representação dos fenômenos naturais, os fractais podem ser utilizados em diversas áreas de conhecimento. Por exemplo, os fractais estão presentes nas formas das nuvens, nos cristais de neve, na superfície e forma de moléculas, nas formas das plantas, nos fenômenos ecológicos, no corpo humano, no estudo de diferentes fenômenos geológicos, como na cartografia de falhas sísmicas, ilhas, continentes e rios (MESQUITA, 2002).

A geometria fractal também tem sido utilizada na Geotecnia e as diferentes aplicações abrangem a caracterização de materiais rochosos, os estudos de rugosidade de juntas, a capacidade de retenção de água em solos e a condutividade hidráulica não saturada, entre outras.

Quanto à propriedade de retenção de água no solo diversos autores têm proposto modelos com base numa organização fractal da estrutura do solo (GIMENEZ et al.,1997). Isto é possível visto que a mencionada estrutura possui características da geometria fractal como hierarquização que se manifesta, por exemplo, na organização de tamanhos dos agregados (macro a micro escala) e auto-semelhança, parecendo idênticos independentemente da escala em que se apresentam.

GIMENEZ et al., (1997), PACHEPSKY et al., (2000), entre outros, têm realizado revisões sobre as aplicações da geometria fractal nas previsões tanto das propriedades de retenção de água como da condutividade hidráulica nos solos não saturados.

Segundo MANDELBROT (1967) um conjunto fractal pode ser definido da forma seguinte: D n n

r

C

N

=

Onde Nn representa o número de objetos de dimensão linear característica rn, C representa uma constante de proporcionalidade, e D a dimensão fractal.

A equação (2.22) também pode ser expressa de outra forma com a finalidade de se obter D, onde os subscritos n e (n+1) identificam duas escalas quaisquer do objeto.

)

/

ln(

)

/

ln(

=

r

r

N

N

D

A dimensão D pode ser um valor inteiro e nesse caso equivale à geometria Euclidiana, ou seja, representaria a dimensão de objetos como pontos, linhas, planos, espaços (D = 0,1,2 e 3 respectivamente), no entanto a dimensão fractal é um número fracionário.

Estes conceitos podem ser aplicados a um objeto quadrado, onde a Figura 2.27 mostra uma série de exemplos.

Figura 2.27. Objetos fractais com diferentes dimensões: a) D=0; b)D=1; c)D=2; d)D=1,89 (TURCOTTE, 1992).

Na Figura 2.27a, um quadrado de lado unitário é dividido em nove quadrados de lado r1=1/3, reservando-se apenas um e descartando os outros oito restantes. Nesse caso, N1=1 pois

corresponde ao número de quadrados remanescentes na primeira etapa. Numa segunda etapa, repete-se o procedimento para o quadrado remanescente, donde resta um quadrado de lado r2=1/9 , pois os demais quadrados são descartados. Analogamente à primeira operação obtém-se

N2=1. Esses valores substituídos na equação (2.23) fornecem D=0 o que na geometria clássica é

compatível com a dimensão de um ponto.

Na Figura 2.27b, os dois estágios são similares aos da Figura 2.27a obtendo-se r1=1/3 e

r2=1/9. A diferença é que os quadrados retidos nos dois estágios foram N1=3 e N2=9

respectivamente. Com estes valores a equação (2.23) determina uma dimensão D=1 que representa a dimensão de uma linha.

Na Figura 2.27c, r1=1/3 e r2=1/9 são similares aos anteriores, porém neste caso não são

retirados os quadradros subdivididos em nenhum dos estágios, conseqüentemente tem-se N1=9 e

N2=64. A dimensão resulta D=2 que representa a dimensão de um plano.

Figuras similares podem ser construídas com outras variantes e particularmente na Figura 2.27d, no primeiro estágio é retirado o quadrado central resultando N1=8 e no segundo é

repetido o procedimento nos quadrados remanescentes, obtendo-se N2=64. Destes valores e

lembrando que r1=1/3 e r2=1/9 tem-se, da expressão (2.23), o valor D=1,89 que caracteriza o

bidimensional, e reproduz a dimensão de um objeto que seria impossível de ser caracterizado da mesma forma na geometria clássica.

Existem na literatura diferentes modelos ou fractais deterministicos tais como a ilha de Koch, o Cantor set, o dragão, etc. A Figura 2.28 mostra exemplos de transformação de elementos simples passando a serem fractais determinísticos e logo para sua aproximação à geometria da natureza, sendo que no exemplo 2 a imagem final foi reproduzida com o fractal deterministicos denominado Cantor set.

No caso da última linha e última coluna, trata-se de uma imagem de satélite da região do Pantanal mato-grossense, que reproduz o elemento fractal mostrado na última linha e penúltima coluna (hexagonal), isto leva a crer que a natureza obedece a regras algorítmicas, ou seja, pode ser analisada e traduzida pela linguagem fractal (VIEIRA e LOPES, 2000)

Elementos Embrião Fractal Estágio 1 Algoritmo Imagem Fractal Estágio 2 Imagem Fractal Estágio N Interpretação Exemplo 1 Algoritmo Galhos de Árvore Exemplo 2 Algoritmo Perfil do Relevo Exemplo 3 Algoritmo

Figura 2.28. Elementos de fractais, fractais determinísticos e imagens finais de aproximação com objetos naturais (VIEIRA e LOPES, 2000).

Um dos fractais utilizado por diversos autores (TYLER e WHEATCRAFT, (1990), RIEU e SPOCITO (1991), entre outros) como um modelo de fluxo no meio poroso é a esponja de Menger que resulta do tapete de Sierpinski estendido para três dimensões e que é ilustrado na Figura 2.29.

Figura 2.29. Esponja de Menger.

A determinação de D a partir da Esponja de Menger pode ser exemplificada a seguir:

Um cubo maciço de aresta com tamanho unitário (Figura 2.29a) é dividido em 27 cubos de aresta r1=1/3 e logo se retiram os cubos posicionados no centro de cada face e ao longo da

normal a essa face, de forma a criar um “túnel” em cada uma dessas direções como mostrado na Figura 2.29b. Isso feito restam 20 cubos com aresta r1=1/3 (N1=20, ou seja, N1=27-7). No

segundo estágio é repetido o mesmo procedimento (Figura 2.29c) obtendo-se r2=1/9 e N2=400,.

Com base nesses resultados e a partir da equação (2.23) a dimensão fractal resulta D=2,73. Em objetos naturais esse parâmetro é obtido com o auxílio de medições que consistem em quantificar alguma propriedade desse objeto cuja estrutura possui unidades com formas regulares e diferentes tamanhos característicos L. Se a propriedade cumpre as características de hierarquização ou escalonamento fractal (unidades maiores contendo unidades menores e as menores contendo outras menores ainda sucessivamente) e formas similares em qualquer escala, então será fractal e o número de unidades de um tamanho característico N(L), é relacionado com L de acordo com a expressão (2.24):

D

L

L

N(

)

α

Segundo GIMÉNEZ et al., (1997), quando se trata de um meio poroso este pode ser separado em diferentes espaços fractais onde a relação (2.24) pode ser expressa da forma seguinte:

Dc

r

r

C

α

Onde a equação geral é função do raio de um espaço em que o escalonamento fractal se dá para uma determinada característica Cr que pode ser a massa (M), superfície (S) ou volume do poro (V).

Diversos trabalhos têm observado que materiais como solos e rochas possuem características (massa dos agregados, volume e superfície dos poros, distribuição de fragmentos, entre outros) que se aproximam de um escalonamento fractal. Um resumo de dimensões Dm, Ds ou Dv para diferentes tipos de solos pode ser encontrado em GIMÉNEZ et al., (1997) e que na prática foram obtidos através de diferentes métodos como da capacidade monocamada, da absorção multicamada, da porosimetria e do box counting, entre outros. Informações adicionais sobre algumas técnicas de determinação da dimensão fractal em solos pode ser encontrada em BIRDI (1993).